ÔN TẬP CHƯƠNG III

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_4=(-1;2;1)\).

Một véc-tơ chỉ phương của của đường thẳng \( d \) là \( \overrightarrow{u}=(1;-1;2) \).

Đường thẳng \((d)\colon \displaystyle\frac{x}{3}=\displaystyle\frac{y+2}{-1}=\displaystyle\frac{z+4}{1}\) có một véc-tơ chỉ phương có tọa độ là \((3;-1;1)\).

Ta có \(d\colon \begin{cases} x=2+2t \\ y=-3t \\ z=-3+5t\end{cases}\ (t\in \mathbb{R})\) suy ra véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}=(2;-3;5)\).

\(\overrightarrow{AB}=(-1;0;2)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Đường thẳng thẳng \(d\) có \(\overrightarrow{u}=(1;-2;0)\).

Đường thẳng \(d\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u}=(1;2;4)\) làm véc-tơ chỉ phương.

Ta có \(\overrightarrow{u}=(1;3;-2) \) hay \(\overrightarrow{u}=(-1;-3;2)\).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;1;3)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=\left(1;\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{3}{2}\right)\) cũng là một véc-tơ chỉ phương của \(d\).

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u} =(5;-8;7)\).

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{a}=\left(-5;2;1\right)\).

Đường thẳng \(d\) có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-2;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;2)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

\(\overrightarrow{AB}=(-3;4;-2).\) Vậy đường thẳng \(AB\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}(-3;4;-2)\)

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=(1;3;-2)\).

Trục \(Oy\) có véc-tơ chỉ phương \((0;1;0)\). Quan sát đáp án ta thấy chỉ có véc-tơ \(\overrightarrow{u_2}\) thỏa mãn.

Trục \(Oz\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{k} = \left(0;0;1\right)\).

Đường thẳng \(\Delta\) cắt mặt phẳng \((Oxy)\) tại điểm \(A(4;11;0)\).

Ta thấy \(B(1;2;3)\in \Delta\) và \(B'(1;2;-3)\) là điểm đối xứng của điểm \(B\) qua mặt phẳng \((Oxy)\).

Đường thẳng \(\Delta'\) đi qua các điểm \(A, B'\). Ta có \(\overrightarrow{AB'}=(-3;-9;-3)\), từ đó suy ra \(\overrightarrow{u}=(1;3;1)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta'\).

\((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(-1;-2;5)\).

\((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_Q=(2;-1;3)\).

Suy ra \(\left[\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q\right]=(-1;13;5)\neq\overrightarrow{0}\).

Vậy \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=\left[\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q\right]=(-1;13;5)\).

Chọn \(A(-3;1;1), B(-1;2;-2)\) thuộc \(d\), ta có các điểm \(A'(0;1;1)\), \(B'(0;2;-2)\) là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) trên mặt phẳng \((Oxy)\), khi đó \(\overrightarrow{u} =\overrightarrow{A'B'} = (0;1;-3)\).

Gọi \( \overrightarrow{u}_d \), \( \overrightarrow{u}_{d'} \) và \( \overrightarrow{n}_P \) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của \( d \), \( d' \) và véc-tơ pháp tuyến của \( (P) \).

Khi đó \( \overrightarrow{u}_{d'}=\left[\overrightarrow{u}_d,\overrightarrow{n}_P\right] =(1;0;-1)\).

Điểm \(M\in d\Rightarrow M\left(-1+2t;t;2+t\right)\), \(A\) là trung điểm của \(MN\Rightarrow N\left(3-2t;-2-t;2-t\right)\).

Điểm \(N\in (P)\Rightarrow 3-2t-2-t-2\left(2-t\right)+5=0\Leftrightarrow t=2\).

\(\Rightarrow M\left(3;2;4\right)\), \(N\left(-1;-4;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left(-4;-6;-4\right)=-2\left(2;3;2\right)\).

Lấy các điểm \(A(2; -3; 1) \in d, \, B(3; -1; 4) \in d\).

Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\, B\) lên mặt phẳng \((Oyz)\).

\(\Rightarrow\) \(M(0; -3; 1)\, N(0; -1; 4)\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{u}_{\Delta} = \overrightarrow{MN} = (0; 2; 3)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}=(2;3;-4)\), \(\overrightarrow{n}=(2;-3;1)\) lần lượt là vec-tơ chỉ phương của \(d\) và vec-tơ pháp tuyến của \((P)\). Mặt phẳng \((d;d')\) có một vec-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n'}=[\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}]=(9;10;12)\). Đường thẳng \(d'\) là giao tuyến của \((P)\) và \((d;d')\) nên có một vec-tơ chỉ chương là \(\overrightarrow{u'}=[\overrightarrow{n'};\overrightarrow{n}]=(46;15;-47)\).

Cho \(t=2\Rightarrow \begin{cases} x=1+2=3\\ y=2-2=0\\ z=2.\end{cases}\)

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\displaystyle\frac{2-1}{1} = \displaystyle\frac{2}{2} =\displaystyle\frac{-1+2}{1}\) (thỏa mãn).

Vậy điểm \(P\) thuộc đường thẳng \(d\).

Thay tọa độ điểm \(M(2;-1;3)\) vào \(d\) ta được \(\displaystyle\frac{3}{2}\neq\displaystyle\frac{-3}{-1}\neq\displaystyle\frac{3}{3}\). Vậy \(M \notin d\).

Đường thẳng \(d\colon \displaystyle\frac{x+2}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{1}=\displaystyle\frac{z+2}{2}\) đi qua điểm \(Q(-2;1;-2)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N(1;5;2)\).

Với \( M(1;2;-1) \) ta có \( \begin{cases}1=1-t\\2=2+2t\\-1=-1-2t\end{cases} \Leftrightarrow t=0\) nên \( M\in d \).

Với \( N(6;-8;9) \) ta có \( \begin{cases}6=1-t\\-8=2+2t\\9=-1-2t\end{cases}\Leftrightarrow t=-5 \) nên \( N\in d \).

Với \( P(-6;16;-14) \) ta có \( \begin{cases}-6=1-t\\16=2+2t\\-14=-1-2t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=7\\t=7\\t=\displaystyle\frac{13}{2}\end{cases}\Rightarrow \) hệ vô nghiệm nên \(P\notin d\).

Với \( Q(-19;42;-41) \) ta có \( \begin{cases}-19=1-t\\42=2+2t\\-41=-1-2t\end{cases}\Leftrightarrow t=20 \) nên \( Q\in d \).

Thay toạ độ các điểm vào phương trình đường thẳng \(d\) thì chỉ có điểm \(D(3;0;3)\) thoả mãn.

Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình ta thấy \(\displaystyle\frac{-1}{1}=\displaystyle\frac{2}{-2}\neq \displaystyle\frac{0}{2}\) nên \(M\notin d\).

Với \(t=1\) ta có một điểm thuộc \(d\) là \((1;5;4)\).

Vì \(H \in (d)\) \(\Rightarrow H(1;4+2t;-2t)\), \(\overrightarrow{AH}=(-1;5+2t;-1-2t)\).

\((d)\) có vtcp \(\overrightarrow{u}=(0;2;-2)\). \[\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=0 \Leftrightarrow (-1)0 +(5+2t)2+(-1-2t)(-2)=0 \Leftrightarrow 8t+12=0 \Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{-3}{2}.\] Suy ra \(H(1;1;3)\).

Vậy \(a+2b+3c=12\).

Đường thẳng \((\Delta)\) đi qua \(M(-1;-4;0)\), có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(1;2;1)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \((\Delta)\colon \begin{cases} x=-1+t\\ y=-4+2t\\ z=t. \end{cases}\)

Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((\Delta)\). Khi đó \(P\in (\Delta) \Rightarrow P(-1+t;-4+2t;t)\).

Ta có \(\overrightarrow{AP}=(-3+t;-4+2t;t-1)\).

Vì \(\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{u}_{\Delta}\) nên \(\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{u}_{\Delta} = 0 \Leftrightarrow 1\cdot (-3+t) + 2\cdot(-4+2t) + 1\cdot (t-1) = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow P(1;0;2)\).

Tọa độ giao điểm \(M\) thỏa mãn hệ phương trình \[\left\{\begin{aligned} &x+y-z-1=0\\ &\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-2}{1}=\displaystyle\frac{z-3}{2}\end{aligned} \right.\]

Giải hệ trên, được nghiệm \((3;3;5)\). Từ đó điểm \(M(3;3;5)\).

Toạ của \(d\) và \((P)\) là nghiệm của hệ phương trình: \[\left\{\begin{aligned}&x=-7+3t & & (1) \\ &y=-10+4t & & (2) \\ &z=4-2t & & (3) \\ &x+2y-3z-12=0 & & (4)\end{aligned}\right.\] Thay \((1)\), \((2)\), \((3)\) vào \((4)\) ta được \(t=3\).

Vậy \(M(2;2;-2)\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((P)\).

Dễ thấy điểm \(M(3;-1;0)\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) nên giao điểm của \(d\) và \((P)\) là \(M(3;-1;0)\).

Do \(A\in \Delta\) nên \(A(1+t;2-t;1+2t)\).

Mặt khác \(A\in (P)\) nên \(1+t+2(2-t)+1+2t-5=0\Leftrightarrow t=-1\).

Suy ra \(A(0;3;-1)\).

Thế \(d'\) vào \(d\) ta được: \[\displaystyle\frac{8 + t}{2}=\displaystyle\frac{1 - 4t}{3}=\displaystyle\frac{14 + t}{4}\Leftrightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{8 + t}{2}=\displaystyle\frac{1 - 4t}{3} \\ \displaystyle\frac{1 - 4t}{3}=\displaystyle\frac{14 + t}{4}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 24 + 3t=2 - 8t \\ 4 - 16t=42 + 3t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t= - 2 \\ t= - 2\end{cases} \Leftrightarrow t= - 2.\] Vậy \(I\left(3; 7; 18\right)\).

Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) nên \(M\left(-1+3t;1+t;3t\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left(3t-6;t+1;3t-2\right)\) và \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-5;1\right)\).

Tam giác \(ABM\) vuông tại \(M\) khi và chỉ khi \[\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AM}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow -3(3t-6)-5(t+1)+3t-2=0\Leftrightarrow t=1.\] Khi đó tọa độ điểm \(M(2;2;3)\).

Gọi \(H(6 - 4t; -2 - t; -1 + 2t)\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\). Ta có \(\overrightarrow{AH} = (5 - 4t; -3 - t; -2 + 2t)\) và \(\overrightarrow{u}_d = (4, 1, -2)\). Do \(AH \perp d\) nên \(\overrightarrow{AH}. \overrightarrow{u}_d = 0\)

\(\Leftrightarrow 4(5 - 4t) + 1 (-3 - t) - 2(-2 + 2t) = 0\)

\(\Leftrightarrow t = 1.\) Vậy tọa độ điểm \(H\) là \(H(2; -3; 1)\).

Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\left(2 \text{;}0 \text{;1}\right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Suy ra \((P)\) nhận \(\overrightarrow{u_d}=(1;2;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((P):(x-2)+2y+z-1=0 \Leftrightarrow x+2y+z-3=0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\), suy ra \(H=d \cap (P)\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\begin{cases} \displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y}{2}=\displaystyle\frac{z-2}{1}\\ x+2y+z-3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-y=2\\ y-2z=-4\\ x+2y+z-3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=1\\ y=0\\ z=2.\end{cases}\)

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(3;-2;1)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) là: \(3x-2y+z-21=0\).

Gọi \(H(1+3t;-2-2t;t)\in d\Rightarrow H\in (P)\Rightarrow 3(1+3t)-2(-2-2t)+t-21=0\Leftrightarrow t=1\).

\(\Rightarrow H(4;-4;1)\).

Đường thẳng đi qua \(M\) song song với \(d\) có phương trình \(\displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{y+1}{1}=\displaystyle\frac{z}{-3}\). Khi đó tọa độ của \(N\) là nghiệm của hệ \[\begin{aligned} \begin{cases} \displaystyle\frac{x-1}{-1}=\displaystyle\frac{y+1}{1}=\displaystyle\frac{z}{-3}\\ x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=-2\\ z=3.\end{cases}\end{aligned}\] Vậy \(MN=\sqrt{11}\).

\(H \in \Delta \Rightarrow H(t+1;2t;t+2)\), \(\overrightarrow{MH}=(t-1;2t;t+1)\). \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(\Delta\) suy ra \[\begin{aligned} \overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{u}_{\Delta} = 0 \Leftrightarrow t-1 + 4t + t+1 =0 \Leftrightarrow t=0. \end{aligned} \] Vậy tọa độ điểm \(H(1;0;2)\).

Gọi \(A(m;1+2m;-1-m)\), \(B(1+2n;-1+n;-2n)\), \(C(3;1-3c;4c)\). Do \(B\) là trung điểm của \(AC\) nên ta có \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}\) \(\Leftrightarrow \begin{cases} -m+2n+1=2-2n\\ n-2m-2=2-3c-n+1\\ m-2n+1=4c+2n\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=\displaystyle\frac{-7}{3}\\ n=\displaystyle\frac{-1}{3}\\ c=0.\end{cases}\)

Khi đó \(\overrightarrow{BA}=(\displaystyle\frac{8}{3};\displaystyle\frac{7}{3};\displaystyle\frac{-2}{3}) \Rightarrow \overrightarrow{u}=(8;7;-2) \Rightarrow T=8+7=15\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\begin{cases} x=1+2t\\ y=3-t\\ z=1+t.\end{cases}\)

Tọa độ giao điểm \(I\) của \(d\) và mặt phẳng \((P)\) là nghiệm \((x;y;z)\) của hệ \[\begin{cases} x=1+2t\\ y=3-t\\ z=1+t\\ 2x-3y+z-2=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=3\\ y=2\\ z=2\\ t=1.\end{cases}\] Suy ra \(I(3;2;2)\), hay \(a+b+c=3+2+2=7\).

Ta có \(\Delta\colon \begin{cases} x=1+t\\ y=2t\\ z=2+t\end{cases}\Rightarrow \Delta\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;2;1).\)

Vì \(H\in \Delta\) nên \(H(1+t;2t;2+t)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-1;2t;t+1).\)

Ta có \(\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t-1+4t+t+1=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow H(1;0;2).\)

Gọi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \( \Delta\), suy ra \(B(2+t;1-2t;2t)\) và \(\overrightarrow{AB}(3+t;-2t;2t-6)\).

Ta có \[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=0 \Leftrightarrow 3+t+4t+4t-12=0 \Leftrightarrow t=1.\] Vậy hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(\Delta\) là \(B(3;-1;2)\).

Gọi \(H(x;y;z)\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) \(\Rightarrow H\in d\).

Do đó \(H(t;1-t;-1+2t)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=(t-1;1-t;2t-5)\).

Vì \(MH\perp d\) nên \(\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{u_{d}}=0\)

\(\Leftrightarrow 1\cdot(t-1)-(1-t)+2(2t-5)=0\Leftrightarrow t=2\).

Suy ra \(H\left(2;-1;3\right).\)

Gọi \(M=d\cap AB \Rightarrow M(1+2t;-1+t;2-t)\).

\(\overrightarrow{u}_d=(2;1;-1)\), \(\overrightarrow{AM}=(2t;t-3;-t+3)\).

Ta có: \[\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{u_d}\Leftrightarrow 2\cdot 2t + t-3 -(-t+3)=0\Leftrightarrow 6t-6=0 \Leftrightarrow t=1.\] Đường thẳng \(AB\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AM}=(2;-2;2)=2(1;-1;1)\) nên có phương trình là \(AB\colon \begin{cases} x=1+t \\ y=2-t\\ z=-1+t.\end{cases}\)

Điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(AB\) nên \(\Rightarrow B(1+b;2-b;-1+b)\).

\(B\in (P) \Leftrightarrow (1+b)+(2-b)+2(-1+b)+1=0 \Leftrightarrow b=-1\).

\(\Rightarrow B(0;3;-2)\).

Gọi \(M(-1+t;-3+2t;-2+2t)\in d\Rightarrow \overrightarrow{AH}=(t-4;2t-5;2t-2)\). Véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}=(1;2;2)\).

Vì \(\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{u}\) nên \(\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow 1(t-4)+2(2t-5)+2(2t-2)=0\Leftrightarrow t=2.\)

Suy ra \(M(1;1;2)\), gọi \(A'(x;y;z)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d\) thì \(\begin{cases} x=2\cdot 1-3=-1\\ y=2\cdot 1-2=0\\ z=2\cdot 2-0=4.\end{cases}\)

Do đó \( A'(-1;0;4).\)

Giả sử \(A\), \(B\) tồn tại. Vì \(A\in d_1\Rightarrow A(1+2a;1-a;-1+a)\), \(B\in d_2\Rightarrow B(-2+3b;-1+b;2+2b)\).

Ta có \(\overrightarrow{MA}=(2a-1;2-a;a+5)\), \(\overrightarrow{MB}=(3b-4;b;2b+8)\).

Vì \(M,\ A,\ B\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\) cùng phương. Điều này tương đương với \[\begin{aligned} & \begin{cases} 2a-1=k(3b-4)\\ 2-a=kb\\ a+5=k(2b+8)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2a-3kb+4k=1\\ a+kb=2\\ a-2kb-8k=-5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1 \\ kb=1 \\ k=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=1\\ b=2.\end{cases} \end{aligned}\] Vậy \(A(3;0;0),\ B(4;1;6)\) và \(AB=\sqrt{(4-3)^2+1^2+6^2}=\sqrt{38}\).

\(\bullet\) \(B \in d_1\) nên \(B(1 + b; -1 - b; 2b)\). \(C \in d_2\) nên \(C(c; 1 + 2c; c)\).

\(\bullet\) \(\overrightarrow{AB} = (b-4; 2 - b; 2b - 5)\) và \(\overrightarrow{AC} = (c - 5; 2c + 4; c-5)\).

\(\bullet\) \(A,\ B,\ C\) thẳng hàng

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} (2 - b)(c - 5) - (2b - 5)(2c + 4) = 0\\ (2b - 5)(c-5)-(b - 4)(c -5) = 0\\ (b-4)(2c+4)-(2-b)(c - 5) = 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} -5bc-3b+12c+10 = 0\\ bc-5b-c+5=0\\ 3bc-b-10c-6\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} -5bc-3b+12c+10 = 0\\ -28b+7c+35=0\\ 14b-7c-21=0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} b=1\\ c=-1.\end{cases} \end{aligned}\]

\(\bullet\) Ta có \(B(2;-2;2)\) và \(C(-1;-1;-1)\) nên \(BC = \sqrt{19}\).

Giao điểm của \(\Delta\) và \((P)\) là điểm \(I(1;1;1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1;-1)\) và mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I(1;1;1)\) và có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right]=(2;-3;1)\).

Phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases} x=1+2t\\ y=1-3t\\ z=1+t\end{cases}\).

Từ đó tìm được giao của \(d\) và \((Oxy)\) là điểm \(M(-1;4;0)\).

Véc-tơ chỉ phương của \(d_1\), \(d_2\) lần lượt là \(\overrightarrow{u}_1 = (2;-m;-3)\) và \(\overrightarrow{u}_2 = (1;1;1)\).

Để \(d_1 \perp d_2\) thì \(\overrightarrow{u}_1 \cdot \overrightarrow{u}_2 = 0 \Leftrightarrow 2-m-3 = 0 \Leftrightarrow m =-1 .\)

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(5;-4;-1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{w}=(-3;1;2)\).

Ta có \[\begin{aligned}\cos(d,\Delta)=\ &\left|\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)\right|=\dfrac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{w}\right|}\\ =\ &\dfrac{|5\cdot(-3)-4\cdot1-1\cdot2|}{\sqrt{5^2+(-4)^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{(-3)^2+1^2+2^2}}=\dfrac{21}{\sqrt{42}\cdot\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{(d,\Delta)}=\ & 30^{\circ}.\end{aligned}\]

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;0;1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{w}=(1;-1;0)\).

Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;-2;1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{w}=(-2;1;1)\).

\(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-2; 2; -1)\), \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2; -1; -2).\) Từ đó, \(\sin \alpha=\left|\cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{n})\right|=\left|\displaystyle\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{n}|}\right|=\displaystyle\frac49.\)

\((P)\), \((\alpha)\), \((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n}_P=(3;4;5)\), \(\overrightarrow{n}_\alpha = (1;-2;0)\), \(\overrightarrow{n}_\beta=(1;0;-2)\). Véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n}_\alpha, \overrightarrow{n}_\beta\right] = (4;2;2)\). Gọi \(\varphi\) là góc giữa \(d\) và \((P)\), ta có: \[\sin \varphi = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_P\cdot \overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n}_P\right| \cdot \left| \overrightarrow{u} \right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \varphi=60^\circ.\]

Ta có \(\overrightarrow{u}_{d}=(1;2;-1)\) và \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(1;-1;2)\).

Do đó \(\cos(\overrightarrow{u}_d;\overrightarrow{n}_{(P)})=\displaystyle\frac{|1-2-2|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}=\displaystyle\frac{1}{2}\), suy ra góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\) bằng \(90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\).

\(\Delta\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-2; 1; 3)\), \((\alpha)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2; -1; -3).\) Dễ thấy \(\overrightarrow u=-\overrightarrow n\) nên \(\Delta\) vuông góc với \((\alpha).\)

\( d \) có véc-tơ chỉ phương \( \overrightarrow{u}=(1;2;1) \).

\( (P) \) có véc-tơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n}=(1;-1;-2) \).

Ta có \( \cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\displaystyle\frac{-1}{2} \Rightarrow \sin(d,(P))=\displaystyle\frac{1}{2} \Rightarrow (d,(P))=30^\circ \).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;1;\sqrt{2})\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}(1;-1;\sqrt{2})\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khi đó ta có \[\sin\varphi=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\displaystyle\frac{|1\cdot1+1\cdot(-1)+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2+\sqrt{2}^2}\cdot\sqrt{1^2+(-1)^2+\sqrt{2}^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\] Từ đó suy ra \(\varphi=30^\circ\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( BD \) và \( SC \) là \[\mathrm{d}(SC,BD)=\displaystyle\frac{\left| [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC}]\cdot\overrightarrow{SB}\right| }{\left| [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC}] \right| }=\displaystyle\frac{2a\sqrt{21}}{21}. \]

\(\overrightarrow{AB'}=(3;0;1)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;\sqrt{3};0)\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 =\left[ \overrightarrow{AB'}, \overrightarrow{AC} \right] =(-\sqrt{3};1;3\sqrt{3})\).

\(\overrightarrow{A'B}=(1;0;-1)\), \(\overrightarrow{A'C'}=(1;\sqrt{3};0)\Rightarrow \overrightarrow{n}_2 =\left[ \overrightarrow{A'B}, \overrightarrow{A'C'} \right] =(\sqrt{3};-1;\sqrt{3})\).

\(\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2 \right) \right|\) \(=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}\) \(=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{31} \cdot \sqrt{7}}\Rightarrow \sin \varphi =\displaystyle\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{217}}\).

\( \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{SB} \right]=a^2\left( -\displaystyle\frac{1}{2};0;-1 \right) \), suy ra \( (SBC) \) có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n}_1=\left( -\displaystyle\frac{1}{2};0;-1 \right) \).

\( \left[ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} \right]=a^2\left( 0;\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2} \right) \), suy ra \( (SCD) \) có một véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n}_2=\left( 0;\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{2} \right) \).

Ta có \( \cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)=\displaystyle\frac{\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2}{|\overrightarrow{n}_1|\cdot|\overrightarrow{n}_2|}=-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos\alpha=\left|\cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)\right|=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \Rightarrow \sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\).

Vậy \( \tan\alpha=\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2} \).

Suy ra \(\overrightarrow{MN}=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2};-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{4};-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) do đó đường thẳng \(MN\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;-1;-\sqrt{2})\).

Ta thấy mặt phẳng \((SBD)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\).

Suy ra \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{|2\cdot 1 -1\cdot 0 -\sqrt{2}\cdot 0|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-\sqrt{2})^2}\cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{7}}\).

Vì \(\alpha \leq 90^\circ\) nên \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{7}\).

\( \overrightarrow{AS}=(0;0;3a), \overrightarrow{AC}=(2a;-a;0)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AC}\right]=\left(3a^2;6a^2;0\right) \Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;2;0)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \( (SAC)\).

\(\overrightarrow{BS}=(0;a;3a), \overrightarrow{BC}=(2a;0;0) \Rightarrow \left[ \overrightarrow{BS}, \overrightarrow{BC}\right]=\left(0;6a^2;-2a^2\right) \Rightarrow \overrightarrow{v}=(0;3;-1)\) là một véc-tơ pháp tuyến của \( (SBC)\).

Do đó, \( \cos \alpha =\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}\)\( =\displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}\)\( =\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{5}\). Vậy \( \sin \alpha =\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{5}\).

Đường thẳng đi qua \(A(2; -1; 3)\) và nhận \(\overrightarrow{a}= (1; 1; -1)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình \(\begin{cases}x=2+t\\y=-1+t\\z=3-t\end{cases}\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3;3;-2)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;3;1)\). Phương trình đường thẳng \(d\) là \[d\colon\displaystyle\frac{x-3}{1}=\displaystyle\frac{y-3}{3}=\displaystyle\frac{z+2}{1}.\]

Do giả thiết ta suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng là \(\displaystyle\frac{x - 1}{2} = \displaystyle\frac{y + 2}{- 1} = \displaystyle\frac{z - 3}{- 2}\).

Đường thẳng \((d)\) đi qua điểm \(M(3;-1;0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(-1;2;-3)\) làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình chính tắc của \((d)\colon \displaystyle\frac{x-3}{-1}=\displaystyle\frac{y+1}{2}=\displaystyle\frac{z}{-3}\).

Gọi \(\overrightarrow{u}\) véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta chọn \(\overrightarrow{u}\left(- 3; 2; - 4\right)\). Giả sử \(M_{0}\in d\), chọn \(M_{0}\left(2, - 1; 4\right)\) suy ra phương trình tham số \(d\) là \(\left\{\begin{aligned} x = 2 - 3m\\ y = - 1 + 2m\\ z = 4 - 4m \end{aligned}\right.;\ m\in\mathbb{R}.\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left(2;0;-1\right)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;-3;1)\) nên có phương trình tham số \(\begin{cases} x=2+2t \\ y=-3t \\ z=-1+t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-1-t\\z=1-t\end{cases}, (t\in \mathbb{R}).\)

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A(2;-1;2)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(-1;2;-1)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \[\Delta: \displaystyle\frac{x-2}{-1}=\displaystyle\frac{y+1}{2}=\displaystyle\frac{z-2}{-1}.\]

Do \(\Delta\) nhận \(\overrightarrow{a}=(4;-6;2)=2(2;-3;1)\) làm véc-tơ chỉ phương nên ta suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là \(\begin{cases}x=2+2t\\y=-3t\\z=-1+t.\end{cases}\)

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(-1;1;1)\) và đi qua điểm \(M(2;1;0)\).

Do đó \(d\) có phương trình chính tắc là \(\displaystyle\frac{x-2}{-1} = \displaystyle\frac{y-1}{1} = \displaystyle\frac{z}{1}\).

\(\overrightarrow{AB}=(1;-5;4)\).

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;2;-3)\) và \(B(2;-3;1)\) có phương trình tham số là \[\begin{cases}x=1-t\\y=2+5t\\z=-3-4t\end{cases}, t\in \mathbb{R}.\]

Với \(t=-2\), ta được \(M(3;-8;5)\) thuộc đường thẳng \(AB\). Khi đó, đường thẳng \(AB\) có phương trình tham số

\(\begin{cases}x=3-t\\y=-8+5t\\z=5-4t\end{cases}, (t\in \mathbb{R})\)

\(\begin{cases}x=1+t\\y=2-5t\\z=-3-2t\end{cases}, (t\in \mathbb{R})\).

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow{AB}=\left(1;-2;1\right)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{-2}=\displaystyle\frac{z-2}{1}\).

Trục \(Oz\) qua điểm \(O(0;0;0)\) và nhận véc-tơ đơn vị \(\overrightarrow{k}=(0;0;1)\) làm véc-tơ chỉ phương. Do đó trục \(Oz\) có phương trình là \(\begin{cases}x=0 \\ y=0 \\z=t \end{cases}\).

Ta có \(\overrightarrow{BA}=(1;1;-5)\).

Vì điểm \(A(2;3;-1) \notin \displaystyle\frac{x+2}{1}=\displaystyle\frac{y+3}{1}=\displaystyle\frac{z-1}{-5} \) nên \(\displaystyle\frac{x+2}{1}=\displaystyle\frac{y+3}{1}=\displaystyle\frac{z-1}{-5} \) không phải là phương trình đường thẳng \(AB\).

Các đường thẳng còn lại đều có véc-tơ chỉ phương là \((1;1;-5)\) và đi qua điểm \(A(2;3;-1)\) hoặc đi qua điểm \(B(1;2;4)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB} = (1, -2, -2)\). Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(B(2;-1;0)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{AB}\) làm véc-tơ chỉ phương nên có phương trình là \(\displaystyle\frac{x - 2}{-1} = \displaystyle\frac{y + 1}{2} = \displaystyle\frac{z}{2}\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\) lần lượt là \(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\) và \(\overrightarrow{n'}=(1;-1;1)\). Do đó một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{n'}\right]=(2;1;-1)\).

Cho \(z=0\) xét hệ phương trình \(\begin{cases}2x-y+1=0\\x-y+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=9\end{cases}\). Suy ra điểm \(M(4;9;0)\in d\).

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\displaystyle\frac{x-4}{2}=\displaystyle\frac{y-9}{1}=\displaystyle\frac{z}{-1}\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_P=(3;-1;-3)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_Q=(-4;1;2)\).

Đường thẳng \(d\) song song với cả \((P)\) và \((Q)\) nên có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q\right]=(1;6;-1)\).

Do \(d\) đi qua gốc tọa độ \(O\) nên phương trình của \(d\) là \(\displaystyle\frac{x}{1}=\displaystyle\frac{y}{6}=\displaystyle\frac{z}{-1}\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;2;2)\) là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

\(\mathrm{d}\) đi qua điểm \(B(1;3;4)\), nên có phương trình là: \(\begin{cases}x=1+t\\y=3+2t\\z=4+2t\end{cases}\), \(t\in\mathbb{R}\).

Gọi \(\overrightarrow{u}\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow{n}_P=(2;-3;6),\, \overrightarrow{n}_Q=(1;1;-2)\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Q)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}=[\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q]=(0;2;1)\) suy ra phương trình của đường thẳng \(d\) là \[\begin{cases}x=-1\\y=2t \hspace{0.3cm}(t\in\mathbb{R})\\z=2+t.\end{cases}\]

Chọn điểm \(A(0;-1;6)\) thuộc về giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\).

Véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) và \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_P=(3;1;1)\) và \(\overrightarrow{n}_Q=(1;2;1)\).

Khi đó véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\) giao tuyến của \(\overrightarrow{n}_P=[\overrightarrow{n}_P;\overrightarrow{n}_Q]=(1;2;1)\).

Vậy phương trình đường thẳng giao tuyến của \((P)\) và \((Q)\) là \(d\colon\begin{cases}x=t\\y=-1+2t\\z=6+t\end{cases}\).

Véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AO} = (2;-1;-3)\) và đi qua \(A\) nên phương trình chính tắc là \[\displaystyle\frac{x+2}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{-1}=\displaystyle\frac{z-3}{-3}.\]

Vì \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(M(2;-4;-4)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(1;-1;-8)\).

Phương trình đường thẳng \(AM\) là \(\begin{cases}x=1+t\\y=-3-t\\z=4-8t.\end{cases}\)

Đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M(-1;0;0) \) và có một véc-tơ chỉ phương là \( \overrightarrow{u}=(1;2;-1) \) nên \( d \) có phương trình chính tắc là \( \displaystyle\frac{x+1}{1}=\displaystyle\frac{y}{2}=\displaystyle\frac{z}{-1} \).

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) nên nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n}_\alpha\) làm véc-tơ chỉ phương. Suy ra, phương trình đường thẳng \(d: \begin{cases}x = 1 + 4t\\y = 2+ 3t\\z = 3 - 7t\end{cases}\).

Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm. Ta có \(d \parallel Oy\) nên \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (0; 1; 0)\).

Do đó \(d \colon \begin{cases} x= 1\\ y = 2 + t \\ z = 3.\end{cases}\)

Đường thẳng cần tìm có véc-tơ chỉ phương là \((0;1;0)\).

Phương trình tham số của đường thẳng là \( \begin{cases}x=1 \\ y=2+t \\ z=3\end{cases}, t\in \mathbb{R}\).

Đường thẳng qua điểm \( A\left(0;-1;3\right)\) và có véc-tơ chỉ phương \( \overrightarrow{BC}=\left(-2;1;1\right)\) có phương trình là \( \displaystyle\frac{x}{-2}=\displaystyle\frac{y+1}{1}=\displaystyle\frac{z-3}{1}\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \((P)\colon2x+y-3z+5 = 0\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \overrightarrow {n_P} = \left(2;1;-3\right)\). Phương trình \(\Delta \) là: \( \begin{cases}x = 1+2t\\y = 2+t\\z =-3t\end{cases}\quad \quad (1)\(.

Kiểm tra được điểm \(M\left(3;3;-3\right)\) thỏa mãn hệ \((1)\).

Vậy phương trình \(\begin{cases}x = 3+2t\\y = 3+t\\z =-3-3t\end{cases}\) cũng là phương trình của \(\Delta \).

Đường thẳng \((d)\) qua điểm \(M(1;1;2)\) và vuông góc \((P)\) nên có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_d=\overrightarrow{n}_P=(2;-1;3)\).

Vậy \(d\) có phương trình: \(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y-1}{-1}=\displaystyle\frac{z-2}{3}\).

Ta có \(M(1;-1;3)\) và \(\overrightarrow{AM}=(2;-4;1)\). Phương trình đường thẳng \(AM\) là \[\displaystyle\frac{x+1}{2}=\displaystyle\frac{y-3}{-4}=\displaystyle\frac{z-2}{1}.\]

Ta có một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-3y+6z+19=0\) là \(\overrightarrow{n}=(2;-3;6)\).

Đường thẳng đi qua điểm \(A(-2;4;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \(2x-3y+6z+19=0\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{n}=(2;-3;6)\) nên có phương trình là \(\displaystyle\frac{x+2}{2}=\displaystyle\frac{y-4}{-3}=\displaystyle\frac{z-3}{6}\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-2;1)\) nên đường thẳng cần tìm có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{n}=(1;-2;1)\).

Vậy phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-2}{-2}=\displaystyle\frac{z}{1}\).

Lấy \(M(2; 1; 4)\in d,\) \(N(4; -1; 0)\in d'\). Đường thẳng cần tìm đi qua trung điểm của \(MN\), là điểm \(I(3; 0; 2),\) và song song với \(d\) và \(d'\). Phương trình đường thẳng cần tìm là \(\displaystyle\frac{x-3}{1}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z-2}{2}.\)

Gọi \(M\) là trung điểm đoạn \(AB\), ta có \(M(0;1;-1)\). Khi đó đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(d\) có phương trình \(\displaystyle\frac{x}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{-1}=\displaystyle\frac{z+1}{2}\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;3;-7)\). Véc-tơ này là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do đó, phương trình của \(d\) là \(d:\displaystyle\frac{x-2}{2}=\displaystyle\frac{y-3}{3}=\displaystyle\frac{z-4}{-7}\).

Đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M(0;-9;0) \) và có một véc-tơ chỉ phương là \( \overrightarrow{u}=(1;-2;1) \), do đó \( d \) có phương trình chính tắc là \( \displaystyle\frac{x}{1}=\displaystyle\frac{y+9}{-2}=\displaystyle\frac{z}{1} \).

Vì \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\cdot \overrightarrow{n}_{(P)}=0\) và \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\cdot \overrightarrow{u}_{d}=0\) nên ta có thể chọn \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=\left[ \overrightarrow{n}_{(P)};\overrightarrow{u}_d\right] =(-5;-5;10)\). Để cho gọn ta có thể chọn \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(1;1;-2)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua \(M\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{\Delta}\) là \(\Delta \colon \displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y+3}{1}=\displaystyle\frac{z-4}{-2} \).

Đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có véc-tơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u}_1=(1;-4;6)\) và \(\overrightarrow{u}_2=(2;1;-5)\).

Gọi \(\overrightarrow{u}\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).

Do \(\begin{cases}\Delta \perp d_1\\ \Delta \perp d_2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u}_1\\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u}_2\end{cases}\), chọn \(\overrightarrow{u}= \left[ \overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2\right]= (14;17;9)\).

Mà \(\Delta\) đi qua \(A(1;-1;2)\), do đó \(\Delta\) có phương trình là \( \displaystyle\frac{x-1}{14}=\displaystyle\frac{y+1}{17}=\displaystyle\frac{z-2}{9}\).

Xét hệ phương trình \[\begin{cases} 2x + y -z - 3 = 0\\ x + y + z - 1 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x - 2z - 2 = 0\\x + y + z - 1 = 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = 2z + 2\\ y = -3z - 1.\end{cases}\] Đặt \(z = t\) ta suy ra \(x = 2t + 2, y = -3t - 1\). Từ đó ta thu được phương trình đường thẳng \(d:\)

\(\displaystyle\frac{x - 2}{2} = \displaystyle\frac{y + 1}{-3} = \displaystyle\frac{z}{1} \). Xét điểm \(A(2; -1; 0) \in d,\) ta thấy \(A\) chỉ thuộc đường thẳng \(\displaystyle\frac{x}{2} = \displaystyle\frac{y - 2}{-3} = \displaystyle\frac{z + 1}{1}\).

Gọi \(B=d\cap d'\), suy ra \(B(t+1;t;2t-1)\) và \(\overrightarrow{AB}=(t;t;2t-3)\). Do \(\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{u}_d\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}_d=0 \) nên \(t=1\). Do đó \(\overrightarrow{AB}=(1;1;-1)\). Vậy phương trình \(d'\colon \displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{-1}\).

\(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(3;2;1)\), \(\Delta'\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;3;-2)\). Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm, khi đó \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \([\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]=(-7;7;7)\) hay \(\overrightarrow{u}=(-1;1;1)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases}x=-1-t\\ y=1+t\\ z=3+t\end{cases}\).

Gọi \(M=\Delta \cap d_2\), do \(M \in d_2 \Rightarrow M\left( 1-t;1+2t;-1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\left( -t;2t-1; t-4\right)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\).

Đường thẳng \(d_1\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_1=(2;-1;1).\)

Do \(d_1 \perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{u}_1 \cdot \overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow t=-1\).

Suy ra \(\overrightarrow{AM}=(1;-3;-5)\), do đó \(\Delta \colon \displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-2}{-3}=\displaystyle\frac{z-3}{-5}.\)

Đường thẳng \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1;-1)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(\Delta\).

Ta có \(H\left(1+2t; -1+t;-t \right)\) và \(\overrightarrow{MH}=\left(2t-1;-2+t;-t \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{u}=0 \Leftrightarrow 2(2t-1)-2+t+t=0 \Leftrightarrow t = \displaystyle\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( \displaystyle\frac{1}{3};-\displaystyle\frac{4}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\).

Khi đó \(d\) có một véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-4;-2)\) nên có phương trình \(d \colon \displaystyle\frac{x-2}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{-4}=\displaystyle\frac{z}{-2}\).

Giả sử đường thẳng \(\Delta\) cắt đường thẳng \(d_2\) tại \(M(1-t;1+2t;-1+t)\).

Ta có véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d_1\) là \(\overrightarrow{u}=(2;-1;1)\) và \(\overrightarrow{AM}=(-t;2t-1;-4+t)\).

Vì \(\Delta \perp d_1\) nên ta có \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AM}=0\Leftrightarrow -2t-(2t-1)-4+t=0\Leftrightarrow t=-1\), nên \(\overrightarrow{AM}=(1;-3;-5)\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(1;2;3)\) nhận \(\overrightarrow{AM}=(1;-3;-5)\) làm véc-tơ chỉ phương có phương trình \(\displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-2}{-3}=\displaystyle\frac{z-3}{-5}\).

Ta có \(\overrightarrow{u}=(1;2;1)\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\), \(\overrightarrow{n}(0;0;1)\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Oxy)\). Do đó, đường thẳng \(d\) nhận véc-tơ \[\overrightarrow{v}=-\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right]=(-2;1;0)\] làm véc-tơ chỉ phương. Gọi \(B(-1;0;1)\), dễ thấy \(\overrightarrow{BA}=(2;-1;0)\) nên \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{u}\) cùng phương, hay \(B\in d\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases}x=-1-2t \\ y=t \\ z=1\end{cases}.\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) cắt \(Ox\) tại \(M(m;0;0)\) và song song với \((P)\colon x+5y-6z=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{AM}=(m-2;5;-6)\) là véc-tơ chỉ phương của \(d\).

Lại có \(\overrightarrow{n}_P=(1;5;-6)\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vì \(d\parallel (P)\) nên \(\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{n}_P=0\Leftrightarrow (m-2)+5\cdot 5+(-6)\cdot (-6)=0\Leftrightarrow m-2=-61\).

Véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \((-61;5;-6).\)

Phương trình đường thẳng \(d\colon \begin{cases}x=2-61t\\y=-5+5t\\z=6-6t.\end{cases}\)

Gọi \(d\) là đường thẳng cần lập.

\((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_P}=(1;0;-3)\), \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_Q}=(0;2;-1)\).

Do đó \(d\) có một véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}]=(6;1;2)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) nên có phương trình \(\displaystyle\frac{x-1}{6}=\displaystyle\frac{y+2}{1}=\displaystyle\frac{z-1}{2}\).

\(\overrightarrow{AB}=(2;5;-6)\), \(\overrightarrow{AC}=(-3;6;-2)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(M\left(4;\displaystyle\frac{1}{2};1\right)\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(N\left(\displaystyle\frac{3}{2};1;3\right)\).

Mặt phẳng trung trực của \(AB\) là \((P)\colon 4x+10y-12z-9=0\).

Mặt phẳng trung trực của \(AC\) là \((Q)\colon 6x-12y+4z-9=0\).

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(26;22;27)\).

Điểm \(M\left(4;2;\displaystyle\frac{9}{4}\right) \in (P) \cap (Q)\)

Gọi \(B=d\cap Oz\Rightarrow B(0;0;b)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;-2;b-3)\).

Lại có \(d\parallel (P)\) nên \(\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{n}_{(P)}=(2;1;-4)\). Do đó \[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}_{(P)}=0\Leftrightarrow -2-2-4b+12=0\Leftrightarrow b=2.\]

Suy ra \(\overrightarrow{AB}=(-1;-2-1)\). Do đó, \((d)\) là đường thẳng qua \(B(0;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(1;2;1)\) làm véc-tơ chỉ phương. Nên \((d)\) có phương trình \(\begin{cases} x=t\\ y=2t\\ z=2+t\end{cases}\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(M\), cắt \(d\) và vuông góc với \(d'\).

Giả sử \(\Delta \cap d = A \Rightarrow A\left(2+3t;-3+2t;1+t\right)\).

\(\overrightarrow {AM} = \left(3+3t;-4+2t;-1+t\right)\).

\(\Delta \perp d'\Rightarrow \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {u_{d'}} = 0 \Leftrightarrow 3+3t+3\left(-4+2t\right)-2\left(-1+t\right) = 0 \Leftrightarrow 7t = 7 \Leftrightarrow t = 1\).

\( \Rightarrow A\left(5;-1;2\right),\overrightarrow {AM} = \left(6;-2;0\right) = 2\left(3;-1;0\right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta\colon \begin{cases}x =-1+3t\\y = 1-t\\z = 2\end{cases}\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm. Mặt phẳng \((P) \) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1 = (2;3;0)\) và \((Q)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2= (3;4;0)\). Ta có \(\left[\overrightarrow{n}_1, \overrightarrow{n}_2\right] =(0;0;2)\). Khi đó, \(\Delta \) đi qua điểm \(A\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u} =(0;0;1)\) làm véc-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng \(\Delta\) là \(\begin{cases} x=1\\ y=2\\ z=3+t\end{cases}, t\in \mathbb{R}\).

Với \(t=-3\) thì điểm \(B(1;2;0)\) thuộc \(\Delta\). Viết lại phương trình đường thẳng \(\Delta \colon \begin{cases} x=1\\ y=2\\ z=t\end{cases}\).

Do mọi điểm thuộc \(d\) đều cách đều \(A\) và \(B\) nên \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(M\left(\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{5}{2};1\right)\).\\Mặt phẳng \((P)\) qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=(-3;-1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến \(\Rightarrow(P)\colon3x+y-7=0\).

Đường thẳng \(d\) là giao tuyến của \((P)\) và \((\alpha)\) nên tọa độ điểm thuộc \(d\) thỏa hệ \[\begin{cases}x+y+z-7=0\\3x+y-7=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=t\\y=7-3t\\z=2t.\end{cases}\]

Gọi \(A(1+2t;-1+t;-t)\) là điểm thuộc \(\Delta\). Ta có \(\overrightarrow{MA}=(2t-1;t-2;-t)\); \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(2;1;-1)\). \[MA\perp \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{u}_{\Delta}=0\Leftrightarrow 2(2t-1)+(t-2)-1(-t)=0\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{2}{3}.\] Suy ra một vec-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}_d=(1;-4;-2)\).

Véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow{u}_d = [\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{u}_{\Delta}] = (-4;3;-1)\).

\(d\) đi qua giao điểm của \(\Delta\) và \((P)\) là \(A\) có tọa độ thỏa mãn phương trình của \(\Delta\) và \((P)\).

Tọa độ \(A\) là \((-2;-1;4)\). Nên \(d\colon\begin{cases}x=-2-4t\\y=-1+3t\\z=4-t\end{cases}\,(t\in\mathbb{R})\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(d_1\) tại \(M(3-t;3-2t;-2+t)\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(d_2\) tại \(N(5-3s;-1+2s;2+s)\).

Đường thẳng \(d\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=(2-3s+t;-4+2s+2t;4+s-t)\).

Vì \(d\) song song \(\Delta\) nên \(d\) cũng có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;2;3)\).

Khi đó \(\overrightarrow{MN}\) cùng phương \(\overrightarrow{u}\), suy ra \[\begin{aligned} \displaystyle\frac{2-3s+t}{1} =\displaystyle\frac{-4+2s+2t}{2} =\displaystyle\frac{4+s-t}{3}\Leftrightarrow \begin{cases}4-6s+2t=-4+2s+2t\\-12+6s+6t=8+2s-2t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}s=1\\ t=2.\end{cases} \end{aligned}\]

Do đó đường thẳng \(d\) qua \(M(1;-1;0)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(1;2;3)\) làm véc-tơ chỉ phương.

Vậy phương trình chính tắc của \(d\) là \(\displaystyle\frac{x-1}{1} =\displaystyle\frac{y+1}{2} =\displaystyle\frac{z}{3}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên đường thẳng \(d\). Ta có \(H(-3+2t;1-t;-1+4t)\).

Suy ra \(\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}_{d} =0 \Leftrightarrow t=1\).

\(\overrightarrow{AH}=(3;2;-1)\). Vậy phương trình đường thẳng là \(\Delta: \begin{cases}x = -4 + 3t\\y = -2 + 2t\\z = 4 - t.\end{cases}\)

Mặt phẳng \((P)\) có \(1\) véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(1;3;1)\).

Giả sử đường thẳng \(\Delta\) cắt \(d\) tại điểm \(N\).

\(\bullet\quad\) \(N\in d \,\Rightarrow\, N(1+t;1-t;3t)\) \(\,\Rightarrow\, \overrightarrow{MN}=(t;-t;3t-2)\).

\(\bullet\quad\) \(\Delta \parallel (P) \,\Rightarrow\, \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{n}_P=0 \,\Leftrightarrow\, 1\cdot t+3\cdot (-t)+1\cdot (3t-2)=0 \,\Leftrightarrow\, t=2\).

Do đó, \(\Delta\) có \(1\) véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{MN}=(2;-2;4)=2(1;-1;2)\).

Suy ra, \(\Delta\colon \displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{-1}=\displaystyle\frac{z-2}{2}\).

Gọi \( \Delta \) là đường thẳng cần tìm và \(B= \Delta \cap Ox \Rightarrow B(b;0;0)\) và \(\overrightarrow{BA}=(1-b;2;3)\).

Do \( \Delta \perp d\), \( \Delta \) qua \(A\) nên \(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{u_d}=0 \Leftrightarrow 2(1-b)+2-6=0 \Leftrightarrow b=-1\).

Từ đó \( \Delta \) qua \(B(-1;0;0)\), có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BA}=(2;2;3)\) nên \( \Delta \colon \left\{\begin{aligned}x=-1+2t \\y=2t \\z=3t.\end{aligned}\right. \)

Gọi đường thẳng cần tìm là \( \Delta \).

Đường thẳng \( d\colon\displaystyle\frac{x + 1}{1}= \displaystyle\frac{y - 1}{- 2}= \displaystyle\frac{z - 2}{2} \) có VTCP là \( \overrightarrow{u}=(1;-2;2) \).

Gọi \( M(0;m;0)\in Oy \), ta có \( \overrightarrow{AM}=(-2;m-1;-3) \).

Vì \( \Delta\perp d \) nên \( \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow -2-2(m-1)-6=0\Leftrightarrow m=-3 \).

Do đó, \( \Delta \) có véc-tơ chỉ phương là \( \overrightarrow{AM}=(-2;-4;-3) \) nên có phương trình \( \begin{cases}x=2t\\y=-3+4t\\z=3t.\end{cases}\)

Phương trình tham số của \( \Delta \) là \(\left\{\begin{aligned}x=-1+2t \\y=-t \\z=-2+2t.\end{aligned}\right. \)

Giải phương trình \(-1+2t-t-(-2+2t)+1=0\) ta được \(t=2\).

Suy ra giao điểm của \(\Delta \) và \((P)\) là \(I(3;-2;2)\).

\( \Delta \) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;-1;2)\) ; \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;1;-1)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}\right]=(1;-4;-3)\).

Đường thẳng \(d\) nằm trong \((P)\) đồng thời cắt và vuông góc với \( \Delta \) sẽ đi qua \(I\) đồng thời nhận \(\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}\right]\) làm một véc-tơ chỉ phương, do đó \(d\) có phương trình là \[\left\{\begin{aligned} &x=3+t \\ &y=-2-4t \\ &z=2-3t.\end{aligned}\right.\]

Ta có \(\Delta\colon\begin{cases} x=t\\ y=-1+2t\\z=1+t.}\)

Gọi \(M=\Delta\cap(P)\Rightarrow M\in\Delta\Rightarrow M(t;2t-1;t+1)\).

Mặt khác \(M\in(P)\Rightarrow t-2(2t-1)-(t+1)+3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow M(1;1;2)\).

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n}=(1;-2;-1)\).

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\overrightarrow{u}=(1;2;1)\).

Đường thẳng \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_d=[\overrightarrow{n},\overrightarrow{u}]=(0;-2;4)\) hay \(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{u}_d=(0;-1;2)\).

Phương trình đường thẳng \(d\colon\begin{cases}x = 1\\y = 1 - t\\z = 2 + 2t.\end{cases} \)

Phương trình tham số đường thẳng \( \Delta \colon \left\{\begin{aligned}&x=1+t' \\&y=1-2t' \\&z=1+2t'.\end{aligned}\right. \)

Chọn điểm \(B(0;3;-1)\in \Delta\) ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;2;-2)\) và \(AB=3\).

Chọn điểm \(C(4;5;1)\in d\) ta có \(\overrightarrow{AC}=(3;4;0)\) và \(AC=5\).

Ta có \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=5 > 0 \Rightarrow \widehat{BAC} < 90^\circ\).

Phân giác của góc nhọn \(\widehat{BAC}\) có véc-tơ chỉ phương \[\overrightarrow{u}=AC \cdot \overrightarrow{AB}+AB \cdot \overrightarrow{AC}=(4;22;-10).\]

Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \( \Delta \) có một véc-tơ chỉ phương cùng phương với véc-tơ \(\overrightarrow{AC}=(4;22;-10)\).

Xét phương án \(\left\{\begin{aligned}&x=-1+2t \\ &y=-10+11t \\&z=6-5t.\end{aligned}\right. \) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{v} = (2;11;-5)\) cùng phương với véc-tơ \(\overrightarrow{AC}=(4;22;-10)\) và đi qua đi qua điểm \(A(1;1;1)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A(1;2;3)\) và có \(1\) véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{d}=(1;1;0) \Rightarrow \left|\overrightarrow{u}_{d}\right|=\sqrt{2}\).

Đường thẳng \(\Delta\) có \(1\) véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(0;-7;-1) \Rightarrow \left|\overrightarrow{u}_{\Delta}\right|=5\sqrt{2}\).

Ta có \(\overrightarrow{u}_d\cdot \overrightarrow{u}_{\Delta}=-7 < 0 \Rightarrow (\overrightarrow{u}_d,\overrightarrow{u}_{\Delta})>90^{\circ}\).

Đường phân giác \(p\) của góc nhọn tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) có véc-tơ chỉ phương:

\(\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{u}_d\right|\cdot\overrightarrow{u}_{\Delta}-\left|\overrightarrow{u}_{\Delta}\right|\cdot\overrightarrow{u}_d=\left(-5\sqrt{2};-12\sqrt{2};-\sqrt{2}\right)\) hay \(\overrightarrow{a'}=(5;12;1)\).

Vì \(d\) và \(\Delta\) cùng đi qua \(A(1;2;3)\) nên đường phân giác \(p\) đi qua \(A\).

Trong \(4\) phương án, chỉ có đường thẳng \(\left\{\begin{aligned}&x=-4+5t \\&y=-10+12t \\&z=2+t\end{aligned}\right.\) có một véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a'}=(5;12;1)\) và đi qua điểm \(A(1;2;3)\).

Phương trình tham số của \(\Delta\colon\begin{cases} x=1-2t\\ y=1+t\\ z=1+2t.\end{cases}\)

Dễ thấy \(A=d\cap\Delta\). Chọn \(B(-1;2;3)\in\Delta\Rightarrow AB=3\).

Gọi \(C\in d\) thỏa mãn \(AB=AC\Rightarrow C\left(\displaystyle\frac{14}{5};\displaystyle\frac{17}{5};1\right)\) hoặc \(C\left(-\displaystyle\frac{4}{5};-\displaystyle\frac{7}{5};1\right)\).

Ta thấy với \(C\left(-\displaystyle\frac{4}{5};-\displaystyle\frac{7}{5};1\right)\) thì \(\widehat{BAC}\) nhọn.

Trung điểm của đoạn \(BC\) là \(I\left(-\displaystyle\frac{9}{10};\displaystyle\frac{3}{10};1\right)\). Đường phân giác cần tìm là \(IA\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(19;7;-10)\).

Suy ra đường phân giác có phương trình \(\begin{cases} x=1+19t\\y=1+7t\\z=1-10t\end{cases}\) dễ thấy đường thẳng này trùng với đường thẳng \(\begin{cases}x = - 18 + 19t\\y = - 6 + 7t\\z = 11 - 10t.\end{cases}\)

Hai đường thẳng đã cho cùng đi qua điểm \(I(-1; 2; -1)\) và có các véc-tơ chỉ phương tương ứng là \(\overrightarrow{u_1}(1; 2; 3)\) và \(\overrightarrow{u_2}(1; 2; -3).\)

Ta có \(\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=-4 < 0,\) suy ra góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) là góc tù. Lại có \(|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|.\) Kết hợp hai điều này, ta suy ra \(d\) có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u_1}- \overrightarrow{u_2}=(0; 0; 6)=6(0; 0; 1).\)

Tóm lại, đường thẳng cần tìm đi qua điểm \(I(-1; 2; -1)\) và có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}(0; 0; 1).\)

Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). Khi đó \(M(1;0;0)\).

Gọi \(\overrightarrow{u}_1\), \(\overrightarrow{u}_2\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của các đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). Khi đó \(\overrightarrow{u_1}=(1;2;-1)\), \(\overrightarrow{u}_2=(-1;-1;2)\). Suy ra \(|\overrightarrow{u}_1|=|\overrightarrow{u}_2|=\sqrt{6}\) và \(\cos (\overrightarrow{u}_1; \overrightarrow{u}_2) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{u}_1 \cdot \overrightarrow{u}_2}{|\overrightarrow{u}_1|\cdot |\overrightarrow{u}_2|}=-\displaystyle\frac{5}{6} < 0\).

Vì góc giữa hai véc-tơ \(\overrightarrow{u}_1\) và \(\overrightarrow{u}_2\) là góc tù, nên một véc-tơ chỉ phương của đường phân giác góc nhọn tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\) là \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u_1}-\overrightarrow{u_2}=(2;3;-3)\).

Vậy phương trình phân giác cần tìm là \(\displaystyle\frac{x-1}{2}=\displaystyle\frac{y}{3}=\displaystyle\frac{z}{-3}\).

Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) và \((P)\), ta có \(A(0;0;-2)\).

Chọn \(B(12;9;1)\in d\), gọi \(B'\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \((P)\).

Phương trình \(BB'\) là \(\displaystyle\frac{x-12}{3}=\displaystyle\frac{y-9}{5}=\displaystyle\frac{z-1}{-1}\).

Tọa độ \(B'\) là nghiệm của hệ \(\begin{cases}\displaystyle\frac{x-12}{3}=\displaystyle\frac{y-9}{5}=\displaystyle\frac{z-1}{-1} \\ 3x+5y-z-2=0\end{cases}\Rightarrow B'\left(\displaystyle\frac{186}{35};-\displaystyle\frac{15}{7};\displaystyle\frac{113}{35}\right)\).

Khi đó phương trình \(\Delta\) cũng chính là phương trình của \(BB'\).

Ta có \(\Delta\colon \begin{cases}\text{qua}\ A(0;0;-2)\\ \text{có VTCP}\ \overrightarrow{u}=(62;-25;61)\ \text{cùng phương với}\ \overrightarrow{AB'}=\left( \displaystyle\frac{186}{35};-\displaystyle\frac{15}{7};\displaystyle\frac{183}{35}\right).\end{cases}\)

Suy ra \(\Delta\colon \begin{cases}x=62t\\y=-25t\\z=-2+61t\end{cases}\ (t\in\mathbb R).\)

Ta có các véc-tơ chỉ phương của \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là \(\overrightarrow{u}_1 (1; 2; -1)\), \(\overrightarrow{u}_2 (-7; 2; 3)\). Do \(\Delta\) vuông góc với hai đường thẳng \(d_1, d_2\) nên \(\overrightarrow{u}_{\Delta} = \left[ \overrightarrow{u}_{d_1}, \overrightarrow{u}_{d_2}\right] = (8; 4; 16)\). Ta thấy véc-tơ \((8; 4; 16)\) cùng phương với véc-tơ \((2; 1; 4)\).

Giả sử \(A(t+1;t+2;t-1) \in d_1\) và \(B(2s+3;s-1;3s+2) \in d_2\) là giao điểm của đường vuông góc chung \(d'\) với hai đường thẳng \(d_1, d_2\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2s-t+2;s-t-3;3s-t+3)\) vuông góc với \(\overrightarrow{u}_{d_1}=(1;1;1)\) và \(\overrightarrow{u}_{d_2}=(2;1;3)\). Suy ra, \(s=-3; t= -\displaystyle\frac{16}{3}\). Do đó, \(A\left(-\displaystyle\frac{13}{3}; -\displaystyle\frac{10}{3}; -\displaystyle\frac{19}{3}\right)\) và \(B(-3;-4;-7)\). Suy ra \(d':\; \displaystyle\frac{x+3}{-2}=\displaystyle\frac{y+4}{1}=\displaystyle\frac{z+7}{1}\).

Gọi \(A(3-4t; -2+t; -1+t)\in d\), \(B(-6s; 1+s; 2+2s)\in d'\) ta có \(\overrightarrow{AB}=(-6s+4t-3; s-t+3; 2s-t+3)\).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{n}=(-4;1;1)\), đường thẳng \(d'\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}=(-6;1;2)\).

Đường thẳng \(AB\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) \[\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{v}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}27s-18t+18=0\\41s-27t+27=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}s=0\\t=1.\end{cases}\] Từ đó ta có đường vuông góc chung cần tìm đi qua \(A(-1;-1;0)\), \(B(0;1;2)\) nên có phương trình \(\displaystyle\frac{x+1}{1}=\displaystyle\frac{y+1}{2}=\displaystyle\frac{z}{2}\).

Phương trình mặt phẳng \((P): 1(x-2)-1(y-0)+2(z+1)=0 \Leftrightarrow x-y+2z=0\).

Một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) là \( \overrightarrow{u}=(2;1;3) \).

Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \( \Delta \) nên có véc-tơ pháp tuyến là \( \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=(2;1;3) \).

Phương trình mặt phẳng cần tìm là \( 2(x-1)+1(y-2)+3(z+2)=0\Leftrightarrow 2x+y+3z+2=0 \).

Đường thẳng \(d\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1;2)\).

Vì mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) nên \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-1;2)\). Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \((x-1)-(y+2)+2(z-3)=0\Leftrightarrow x-y+2z-9=0\).

Mặt phẳng cần tìm qua \(A(3;2;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{u}=(1;-5;1)\) là véc-tơ chỉ phương của \(d\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng là \[(x-3)-5(y-2)+(z+1)=0\Leftrightarrow x-5y+z+8=0. \]

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \( (d) \) là \( \overrightarrow{u}=(2;1;-1) \).

Mặt phẳng \( (P) \) đi qua \( A(2;-1;1) \) nhận \( \overrightarrow {u} \) là véc-tơ pháp tuyến có phương trình\\ \( 2(x-2)+1(y+1)-1(z-1)=0 \Leftrightarrow 2x+y-z-2=0.\)

Xét phương trình \(2(1+3t)+3-t+2-3t+5=0 \Leftrightarrow 2t+12=0 \Leftrightarrow t=-6\).

Với \(t=-6 \Rightarrow \begin{cases}x=-17\\y=9\\z=20\end{cases}\). Vậy tọa độ giao điểm của \( \Delta \) và \(\left(\alpha \right)\) là \((-17;9;20)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;-3;-2)\), đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow{u}=(1;2;-2)\) làm véc-tơ chỉ phương.

Theo giả thiết mặt phẳng \((P)\) qua \(A(2;1;3)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}]=(10;-4;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \[10(x-2)-4(y-1)+(z-3)=0\Leftrightarrow 10x-4y+z-19=0. \]

Ta có \((S)\) có tâm \(I(1;-1;0)\), bán kính \(R=2\sqrt{2}\).

\(d_1\) qua \(M(-1;1;1)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}_1=(1;1;2)\). \(d_2\) qua \(N(-1;0;0)\) và có VTCP \(\overrightarrow{u}_2=(1;1;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) song song với \(d_1\), \(d_2\) nên có VTPT \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2]=(1;-1;0)\), đo đó \((P)\) có phương trình \(x-y+d=0\).

Lại có \((P)\) tiếp xúc \((S)\) nên \(\mathrm{d}(I,(P))=2\sqrt{2}\Leftrightarrow d=2\) hoặc \(d=-6\).

+) Với \(d=2\), \((P)\colon x-y+2=0\Rightarrow M\in(P)\) (loại).

+) Với \(d=-6\), \((P)\colon x-y-6=0\Rightarrow M,N\notin (P)\) (thỏa mãn).

Chọn trên \(d_1\) hai điểm \(A(-1;1;3),\ B(2;3;1)\) và trên \(d_2\) hai điểm \(C(0;1;-3),\ D(1;2;-1)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(6x-8y+z+11=0\). Dễ dàng kiểm tra thấy điểm \(D\) thuộc mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy phương trình mặt phẳng chứa \(d_1\) và \(d_2\) là \(6x-8y+z+11=0\).

Để \(d \subset (P)\) thì phương trình \(2(1 - 3t) - (2t) - 2(-2 - mt) - 6 = 0\) đúng với \(\forall t \in \mathbb{R}\).

\(\Leftrightarrow t(-8 + 2m) = 0\) đúng với \(\forall t \in \mathbb{R}\).

\(\Leftrightarrow m = 4\).

Gọi tâm mặt cầu là \(I(1+2t; t; -2t)\). Từ \(IA = IB\) ta suy ra \[(2t-1)^2+(t-1)^2+(-2t)^2=(2t+3)^2+(t-3)^2+(-2t-2)^2\Leftrightarrow t=-1.\] Suy ra \(I(-1; -1; 2)\) và \(AI^2=17.\) Vậy mặt cầu cần tìm là \((S)\colon (x+1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=17.\)

Phương trình tham số của đường thẳng đề cho là \[(d)\colon\begin{cases}x=1+t \\ y=-1+2t \\ z=-t\end{cases} \quad(t\in\mathbb{R}). \]

Gọi \( I \) là tâm mặt cầu \( (S) \), ta có \( I\in (d) \) nên \( I(1+t;-1+2t;-t) \).

Mặt cầu \( (S) \) qua hai điểm \( A,B \) nên \[\begin{aligned} IA^2=IB^2 \Leftrightarrow\ &(-2-t)^2+(3-2t)^2+(1+t)^2=t^2+(4-2t)^2+t^2 \\ \Leftrightarrow\ &-6t+14 = -16t+16 \\ \Leftrightarrow\ &t=\displaystyle\frac{1}{5}. \end{aligned}\] Vậy bán kính \( (S) \) là \( R=IB=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{5} \right)^2+\left( 4-2\cdot\displaystyle\frac{1}{5} \right)^2+\left(\displaystyle\frac{1}{5} \right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{326}}{5} \).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M(-1;2-3)\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1;-1)\).

Véc-tơ \(\overrightarrow{MA}=(2;-4;6)\), suy ra \([\overrightarrow{MA},\overrightarrow{u}]=(-2;14;10)\).

Bán kính mặt cầu là \(R=\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{MA},\overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}=\displaystyle\frac{\sqrt{(-2)^2+14^2+10^2}}{\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{6}}=5\sqrt{2}\).

Phương trình mặt cầu là \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=50.\)

Thay \(x,y,z\) từ phương trình của \(d\) vào phương trình của \((S)\) ta có phương trình \[\begin{aligned} &(t+1)^2+(t-1)^2+4+2(t+1)-4(1-t)-12+m-3=0\\ \Leftrightarrow\ &2t^2+6t+m-11=0. \end{aligned}\] Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình trên có hai nghiệm phân biệt, tức \[\Delta'= 9-2(m-11)>0 \Leftrightarrow m<\displaystyle\frac{31}{2}.\]

Gọi \((Q)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và vuông góc với \((P)\). Suy ra, véc-tơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_Q=\left[\overrightarrow{u}_{\Delta}, \overrightarrow{n}_P\right]=\left(- 1; 1; 0\right)\).

Gọi \(\overrightarrow{u}\) là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta'\). Ta có \(\begin{cases} \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{n}_P \\ \overrightarrow{u}\bot \overrightarrow{n}_Q\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n}_P, \overrightarrow{n}_Q\right]=\left(1; 1; - 2\right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-3;2;1)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1;2)\). Đường thẳng \(d'\) có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}=(1;3;2)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u'}\right]=(-8;0;4)\), suy ra mặt phẳng \((P)\) chứa đường thẳng \(d\) và song song với \(d'\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;0;-1)\).Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \[2\cdot (x+3)+0\cdot (y-2)+(-1)\cdot (z-1)=0 \Leftrightarrow 2x-z+7=0.\]

Đường thẳng \(d_1\) qua \(M(2;-2;6)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)\) làm véc-tơ chỉ phương.

Đường thẳng \(d_2\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u_2}=(1;-2;3)\) làm véc-tơ chỉ phương.

Theo giả thiết thì \((P)\) qua \(M(2;-2;6)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(-1;-8;-5)=-(1;8;5)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \[(x-2)+8(y+2)+5(z-6)=0\Leftrightarrow x+8y+5z-16=0.\]

Đường thẳng \(\Delta\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;2;-1)\).

Lấy điểm \(M(-2;1;0)\in \Delta\). \(\overrightarrow{IM}=(-4;0;1)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\) là \(\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{IM}, \overrightarrow{u}]|}{|\overrightarrow{u}|}=\displaystyle\frac{\sqrt{72}}{3}=2\sqrt{2}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) là \[(x-2)^2+(y-1)^2+(z+1)^2=8.\]

Hoành độ của hai điểm \(A,B\) là nghiệm của phương trình

\((x-2)^2+(0-1)^2+(0+1)^2=8\Leftrightarrow (x-2)^2=6\Leftrightarrow x=\sqrt{6}+2\ \vee\ x=-\sqrt{6}+2\).

Từ đó, ta được \(A(\sqrt{6}+2;0;0)\) và \(B(-\sqrt{6}+2;0;0)\). Vậy độ dài đoạn \(AB\) bằng \(2\sqrt{6}\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(0;8;3)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;4;2)\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{v} = \left[ \overrightarrow{u}, \overrightarrow{n}\right] = \left( \begin{vmatrix} 4 2 \\ 11 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 21 \\ 1 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 4 \\ 11 \end{vmatrix}\right)= \left( 2;1;-3 \right).\)

Chú ý rằng véc-tơ chỉ phương của \(d\) vuông góc với \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{v}\). Do đó véc-tơ chỉ phương của \(d\) là \[\left[\overrightarrow{n}, \overrightarrow{v}\right] = \left( \begin{vmatrix} 1 1 \\ 1-3 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 11 \\ -3 2 \end{vmatrix} ; \begin{vmatrix} 11 \\ 21 \end{vmatrix}\right) = \left(-4; 5; -1\right).\]

Do \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{n} \neq 0\) nên \(\Delta\) cắt \((P)\). Giao điểm của \((\Delta)\) và \((P)\) có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình \[\begin{cases}x+y+z=7\\ x=t \\y=8+4t \\ z=3+2t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t=-\displaystyle\frac{4}{7} \\ x=-\displaystyle\frac{4}{7} \\ y=\displaystyle\frac{40}{7} \\ z=\displaystyle\frac{13}{7}.\end{cases}\]

Do đó phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases}x=-\displaystyle\frac{4}{7} -4t \\ y=\displaystyle\frac{40}{7} +5t \\ z= \displaystyle\frac{13}{7} -t\end{cases} , t \in \mathbb{R}.\)

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;-2;1)\) và bán kính \(R=10\).

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \((P)\), \(d\) có phương trình \[\begin{cases} x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t\end{cases}.\]

\(K\) là giao điểm của \(d\) và \((P)\), nên tọa độ của \(K\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases} x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t\\ 2x-2y-z+9=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=-1\\ y=2\\ z=3\end{cases}\Rightarrow K(-1;2;3).\]

Ta có \(\mathrm{h}=\mathrm{d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{|2\cdot 3-2\cdot (-2)-1+9|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}}=\displaystyle\frac{18}{3}=6\).

Bán kính của \((C)\) là \(r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\).

Kết luận \(K(-1;2;3),\ r=8\).

Gọi \(H(2t;-t;-1+t)\) thuộc đường thẳng \(d\). Ta có \[\begin{aligned} \mathrm{d}(H,(P))=3 \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{|2t-2\cdot(-t)-2\cdot(-1+t)+5|}{\sqrt{1+4+4}}=3\\ \Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{|2t+7|}{3}=3\\ \Leftrightarrow\ &2t+7=9\ \vee\ 2t+7=-9\\ \Leftrightarrow\ & t=1\ \vee\ t=-8. \end{aligned}\] Với \(t=1\) ta được \(H(2;-1;0)\) và với \(t=-8\) ta được \(H(-16;8;-9)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \((P)\).

Ta có véc-tơ chỉ phương của \(AH\) là \(\overrightarrow{u}=(4;1;2)\).

Phương trình đường thẳng \(AH\) là \(\begin{cases}x=4+4t\\y=2+t\\z=1+2t.\end{cases}\)

Do \(H\in (P)\) nên ta có \(4(4+4t)+(2+t)+2(1+2t)+1=0 \Leftrightarrow t=-1\). Suy ra \(H(0;1;-1)\).

Gọi \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((P)\). Suy ra \(H\) là trung điểm của \(MM'\). Suy ra toạ độ điểm \(M'(-4;0;-3)\)

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(2;3;-1)\) và có vec-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1;-2)\). Ta có \(\overrightarrow{IM}=(1;0;-2)\), \(d(I;\Delta)=\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{u};\overrightarrow{IM}]|}{|\overrightarrow{u}|}=1\), từ đây suy ra bán kính mặt cầu \((S)\) là \(R=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\). Do đó, phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-1)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=10\).

Tâm \(J\) của đường tròn là hình chiếu của tâm \(I(3;-1;2)\) của mặt cầu \((S)\) lên mặt phẳng \((P)\).

Đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \((P)\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{n}_{(P)} = (2;-1;1)\) nên có phương trình tham số là \(\begin{cases}x=3+2t\\y=-1-t\\z=2+t\end{cases}\).

\(J\) là giao điểm của đường thẳng trên và \((P)\) nên có tọa độ là nghiệm hệ \[\begin{cases}x=3+2t\\y=-1-t\\z=2+t\\2x-y+z-3=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t=-1\\x=1\\y=0\\z=1.\end{cases}\] Do đó \(a+b+c = 0\).

Gọi \(A\) là giao điểm của \(d\) và \((\alpha)\). Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{aligned} &\displaystyle\frac{x-3}{1}=\displaystyle\frac{y-3}{1}\\ &\displaystyle\frac{y-3}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{1}\\ &x+y-z-1=0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x-y=0\\ &y-z=1\\ &x+y-z=1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x=0\\ &y=0\\ &z=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow A(0;0;-1).\] Đường thẳng \(d\) qua điểm \(A(3;3;2)\). Gọi \(d'\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc \((\alpha)\), \(d'\) có phương trình là \(\displaystyle\frac{x-3}{1}=\displaystyle\frac{y-3}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{-1}\).

Gọi \(B\) là giao điểm của \(d'\) và \((\alpha)\). Ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{aligned} &\displaystyle\frac{x-3}{1}=\displaystyle\frac{y-3}{1}\\ &\displaystyle\frac{y-3}{1}=\displaystyle\frac{z-2}{-1}\\ &x+y-z-1=0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x-y=0\\ &-y-z=-5\\ &x+y-z=1 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} &x=2\\ &y=2\\ &z=3 \end{aligned} \right.\Rightarrow B(2;2;3).\]

Khi đó, đường thẳng \(\Delta\) qua \(A\), \(B\) chính là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((\alpha)\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;4)\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) suy ra \(I(1;1;1)\).

Đường thẳng \(\Delta\) qua \(I\) nhận một véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{n}=(1;1;2)\) có phương trình là \[\displaystyle\frac{x-1}{1}=\displaystyle\frac{y-1}{1}=\displaystyle\frac{z-1}{2}.\]

Ta có điểm \(A(1;1;0)\) và \(B(2;3;2)\) thuộc \(\Delta\), nên \(A\), \(B \in (P)\).

Ta có: \(\begin{cases}a+b-3=0\\2a+3b+2c-3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=3-b\\c=\displaystyle\frac{-b-3}{2}.\end{cases}\)

Khoảng cách \(O\) đến \((P)\) là \[\mathrm{d}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{(3-b)^2+b^2+\left(\displaystyle\frac{b+3}{2} \right)^2}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{b^2-2b+5}} = \displaystyle\frac{2}{\sqrt{(b-1)^2+4}} \leq 1.\] Do \(\mathrm{d}\) lớn nhất nên \(\mathrm{d}=1\) khi \(b=1\), do đó \(a=2\); \(c=-2\).

Khi đó \(a+b+c=1\).

Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song với \(\left(P\right)\) \(\Rightarrow \left(\alpha\right) \colon 2x+y+z-3=0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) lên \(\left(\alpha\right)\) \(\Rightarrow H\left(-8,10,9\right)\).

Để khoảng cách từ \(N\) đến \(\Delta\) là nhỏ nhất thì \(\Delta\) phải đi qua \(H\).

Khi đó vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là \(\overrightarrow{MH}=\left(-10;8;12\right)\). Vậy \(a=-5, b= 4, c=6\).

VTPT của \((P)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2;2\right), \overrightarrow{AB}=(4;-1;2)\).

VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}\right]=(-2;6;7)\).

Mà \(d\) qua \(A(-3;0;1)\) nên phương trình đường thẳng \(d\) là: \(\displaystyle\frac{x+3}{2}=\displaystyle\frac{y}{-6}=\displaystyle\frac{z-1}{-7}\).

\(d\) đi qua điểm \(M(1; 0; 0)\) và có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u=(1; -2; 2),\) \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n=(a; b; c)\), \((S)\) có tâm là \(I(1; -2; -3)\). Vì \((P)\) chứa \(d\) nên \(a=-2\) và \(c=b+1.\) Khoảng cách từ tâm \(I\) của mặt cầu đến mặt phẳng \((P)\) là \(d=\displaystyle\frac{|a-2b-3c+2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\displaystyle\frac{|5b+3|}{\sqrt{2b^2+2b+5}}.\)

Ta chứng minh \(\displaystyle\frac{|5b+3|}{\sqrt{2b^2+2b+5}}\le \displaystyle\frac{113}9.\) Thật vậy, bằng cách bình phương hai vế và quy đồng mẫu thức, BĐT trên tương đương với \((b-22)^2\ge 0,\) luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi \(b=22.\)

Mặt khác, \((P)\) cắt \((S)\) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\) đến \((P)\) lớn nhất. Do đó, \(b=22\). Vậy \(a=-2, b=22, c=23\) và \(M=43.\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta\), suy ra \(H(2+2t;t;2+2t)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}=(2;1;2)\) là véc-tơ chỉ phương của \(d\), lại có \(\overrightarrow{AH}=(2t-1;t-5;2t-1)\).

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(\Delta\) nên \[\begin{aligned} \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{AH} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{AH}=0 \Leftrightarrow 2(2t-1)+t-5+2(2t-1)=0 \Leftrightarrow t=1. \end{aligned}\] Vậy \(H(4;1;4)\).

Gọi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((P)\) ta luôn có \(AM \leq AH\) nên \(\mathrm{d}(A,(P)) \leq \mathrm{d}(A,\Delta)\). Do đó khoảng cách từ \(A\) đến \((P))\) lớn nhất khi \(M \equiv H\) hay \(AH \perp (P)\).

Như vậy mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(H(4;1;4)\) và nhận \(\overrightarrow{AH}=(1;-4;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến. Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là \(x-4y+z-4=0\).

Đường thẳng \((d)\) có VTCP \(\overrightarrow{u}=(1;-1;1)\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\).

Do \(K \in d\) nên \(K(1+t; 1-t; 1+t)\) (\(t\in \mathbb{R}\)).

\(\overrightarrow{AK}= (t-1; 2-t; t+3)\).

Ta có \(AK \perp d \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} \perp \overrightarrow{u} \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{u} = 0\).

\(\Leftrightarrow t-1-(2-t)+t+3 = 0 \Leftrightarrow t = 0\). Vậy \(K(1;1;1)\).

Ta có \(\mathrm{d}((d),(P)) = \mathrm{d}(K,(P)) = KH \le KA = 14.\)

\(\max \mathrm{d}((d),(P)) = \sqrt{14} \Leftrightarrow (P)\) đi qua \(A\) và có VTPT \(\overrightarrow{KA} = (-1;2;3)\).

Suy ra mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \(3x+z+2=0\) vì có tích vô hướng hai VTPT bằng \(0\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(d\), dễ thấy \(\mathrm{d}(A,(\alpha)) \leq AK\), dấu \("="\) xảy ra khi \(\overrightarrow{AK}\) là véc-tơ pháp tuyến của \((\alpha)\).

Ta có \(K(2-t;2t-1;t+1)\), \(\overrightarrow{AK}=(-t-1;2t;t+1)\), \(\overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{u}_{\mathrm{d}} =0 \Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow\overrightarrow{AK}= \left ( -\displaystyle\frac{2}{3};-\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right )\).

Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là \((x-2)+(y+1)-(z-1)=0 \Leftrightarrow x+y-z=0\).

Đường thẳng \(\Delta: \begin{cases}\text{đi qua điểm}\ M(1;0;-1)\\ \text{có véc-tơ chỉ phương}\ \overrightarrow{u}_{\Delta}=(2;1;-1).\end{cases}\).

Gọi \( \overrightarrow{n}_{Q}=(a;b;c)\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\).

Ta có \( \overrightarrow{n}_{Q}\cdot\overrightarrow{u}_{\Delta}=0\Rightarrow 2a+b-c=0 \Rightarrow c=2a+b\).

Gọi \( \alpha \) là góc giữa \( (P)\) và \( (Q)\) thì \( \alpha \) nhỏ nhất khi \( \cos \left((P);(Q)\right)\) lớn nhất.

\( \cos \alpha =\displaystyle\frac{|2a-b+2c|}{3\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= \displaystyle\frac{|6a+b|}{3\sqrt{5a^2+2b^2+4ab}}=P\)

\( \Rightarrow P^2=\displaystyle\frac{\left(36a^2+12ab+b^2\right)}{9\left(5a^2+2b^2+4ab\right)}\).

Chia 2 vế phương trình cho \( b^2\), đặt \( t=\displaystyle\frac{a}{b}\) ta được \[9P^2=\displaystyle\frac{36t^2+12t+1}{5t^2+4t+2}=f(t).\]

\( f'(t)=0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{84t^2+134t+20}{\left(5t^2+4t+2\right)^{2}}=0 \Leftrightarrow 84t^2+134t+20=0 \Leftrightarrow t=-\displaystyle\frac{10}{7}\ \vee\ t=-\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số \(f(t)\), thu được

\(\max f(t)=f\left(-\displaystyle\frac{10}{7}\right)\) nên \( P_{\max}\) ứng với \( t=-\displaystyle\frac{10}{7}=\displaystyle\frac{a}{b}\).

Cho \( a=-10;b=7\Rightarrow c=-13\). Vậy \( \overrightarrow{n}_Q=\left(-10;7;-13\right)=-\left(10;-7;13\right)\).

Gọi \(AB\) là đoạn vuông góc chung của \(d_1, d_2\) với \(A\in d_1; B\in d_2\).

Gọi \(\overrightarrow{u}_{d_1}, \overrightarrow{u}_{d_2}\) lần lượt là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

\((S)\) là mặt cầu tiếp xúc với \(d_1, d_2\) có bán kính nhỏ nhất khi \((S)\) là mặt cầu đường kính \(AB\).

Ta có \(A \in d_1 \Leftrightarrow A(2t; t; 4), B\in d_2 \Leftrightarrow B(3-t';t';0)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=(3-t'-2t; t'-t; -4)\).

\(AB\) là đoạn vuông góc chung \[\begin{aligned} &\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB} \perp d_1 \\ \overrightarrow{AB} \perp d_2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u}_{d_1} =0 \\ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u}_{d_2} =0 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} -t'-5t=-6\\ 2t'+t=3\end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} t=1 \\ t'=1.\end{cases} \end{aligned}\] Suy ra \(A(2;1;4), B(2;1;0)\). Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(I(2;1;2); IA=2\).

Vậy mặt cầu \((S)\) tâm \(I\), bán kính \(IA\) có phương trình là \((S)\colon(x-2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=4\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=3\).

\(\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|2\cdot 1-2\cdot 2+3+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\displaystyle\frac{4}{3}< R\Rightarrow\) mặt phẳng \((P)\) cắt mặt cầu \((S)\).

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\). Phương trình \(\Delta\) là \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t\\z=3+t.\end{cases}\).

Nếu khoảng cách từ \(M\) đến \((P)\) là lớn nhất thì \(M\in \Delta \cap (S)\Rightarrow M(1+2t;2-2t;3+t)\).

\(M\in (S)\Leftrightarrow 4t^2+4t^2+t^2=9\Leftrightarrow t=\pm 1\).

+) Với \(t=1\Rightarrow M(3;0;4)\Rightarrow \mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{13}{3}\).

+) Với \(t=-1\Rightarrow M(-1;4;2)\Rightarrow \mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Suy ra điểm \(M(3;0;4)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy \(a+b+c=7\).

Vì \( H\in d \) nên \( H(1+t; 2+t; 1+2t) \).

Khi đó, \( \overrightarrow{MH}=(t-1; t+1;2t-3) \).

Độ dài đoạn \( MH \) ngắn nhất khi và chỉ khi \( MH\perp d \Leftrightarrow \overrightarrow{MH}\perp\overrightarrow{u}\), trong đó \( \overrightarrow{u}=(1; 1; 2) \) là véc-tơ chỉ phương của \( d \).

Điều kiện tương đương là \( \overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow t-1+t+1+2(2t-3)=0\Leftrightarrow 6t=6\Leftrightarrow t=1 \).

Vậy \( H(2; 3; 3) \).

Vì \( M\in (\Delta) \) nên ta có tọa độ điểm \( M(1-t;-2+t;2t) \). Ta có \[\begin{aligned} MA^{2}+MB^{2}=\ &(-t)^{2}+(t-6)^{2}+(2t-2)^{2}+(2-t)^{2}+(t-4)^{2}+(2t-4)^{2}\\ =\ &12t^{2}-48t+76\\ =\ &12(t-2)^{2}+28\geq 28. \end{aligned}\] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( MA^{2}+MB^{2} \) là \( 28 \) khi \( t=2\Rightarrow M(-1;0;4) \).

Vì \(M \in \Delta\) nên \(M\left( 1+2t;t;-2-t\right)\).

Ta có \[\begin{aligned} MA^2+2MB^2=\ &(2t+1)^2+(t+1)^2+(t+5)^2 +2 \left[ (2t)^2+ (t+2)^2 +(t+3)^2\right]\\ =\ &18t^2 +36t +53\\ =\ &18(t+1)^2+35 \geq 35, \forall t \in \mathbb{R}. \end{aligned}\] Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MA^2+2MB^2\) là \(35\), xảy ra khi \(t=-1\), khi đó \(M(-1;-1;-1)\).

Điểm \(M\) thuộc \(d\) có tọa độ là \(\left(t;-1-t;2-2t\right)\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(\overrightarrow{MA} = \left(-t; t+2; 2t-1\right)\) và \(\overrightarrow{MB} = \left(1-t; t+3;2t-1\right)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\right] =\left( \begin{vmatrix} t+2 2t-1 \\ t+3 2t-1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2t-1 -t \\ 2t-1 1-t \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} -t t+2 \\ 1-t 3+t \end{vmatrix} \right) = \left( -2t+1; 2t-1; -2t-2\right).\)

Ta có \(S_{\triangle MAB} = \displaystyle\frac{1}{2} \left| \left[\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}\right] \right| = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{2(2t-1)^2+ (2t+2)^2} =\displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{12t^2+6} \geq \displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(t=0\). Do đó \(\triangle MAB\) có diện tích nhỏ nhất bằng \(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\) khi \(M(0;-1;2)\).

Giả sử \(M(t;t;t)\in d\Rightarrow\begin{cases}\overrightarrow{MA}=(-t;-t;3-t)\\ \overrightarrow{MB}=(-t;3-t;3-t)\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} MA^2=3t^2-6t+9\\ MB^2=3t^2-12t+18.\end{cases}\)

\(\Rightarrow P= MA^2+2MB^2=9t^2-30t+45=(3t-5)^2+20\geq 20\Rightarrow\min P=20\Leftrightarrow t=\displaystyle\frac{5}{3}\).

Vậy \(M\left(\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{5}{3};\displaystyle\frac{5}{3}\right)\).

Vì \((P)\) chứa \(d\) nên phương trình của \((P)\) có dạng \((P)\colon a(x+1)+b(y+1)+c(z-3)=0\) với \(a^2+b^2+c^2>0\) và \(2a+b+c=0\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \((P)\) và \((Q)\), ta có

\[\cos \alpha =\displaystyle\frac{| \overrightarrow{n}_P\cdot \overrightarrow{n}_Q|}{| \overrightarrow{n}_P|\cdot | \overrightarrow{n}_Q|}=\displaystyle\frac{| a+2b-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{6}}=\displaystyle\frac{| 3(a+b)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5a^2+4ab+2b^2}}.\]

+) Nếu \(a=0\) thì \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), suy ra \(\alpha =30^\circ \).

+) Nếu \(a\ne 0\) thì \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{| 3(1+t)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5+4t+2t^2}}\) với \(t=\displaystyle\frac{b}{a}\). Khi đó \(0\le \cos \alpha < \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\). Ta có \(\alpha \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\cos \alpha \) lớn nhất.

Do đó \(\alpha =30^\circ \) và \(\cos \alpha =\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\). Khi đó \(a=0\), chọn \(b=1\), \(c=-1\).

Gọi \(\Delta=(P) \cap (Q).\)

Lấy \(M(1;0;-4) \in d, \quad M\notin (P).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((P)\), ta có tọa độ \(H\) xác định.

Dựng \(HK \perp \Delta, K\in \Delta\), suy ra \(MK \perp \Delta.\) \[\Rightarrow ((P),(Q))=\widehat{MKH}.\]

\(\widehat{MKH}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow KH\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow K \equiv I.\)

Hay \(\Delta \perp HI.\)

Do đó \(\Delta \perp d, \quad \Delta \perp MH .\)

Suy ra \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_{\Delta} \perp \overrightarrow{u}_{d}=(2;-1;2)\\ \overrightarrow{u}_{\Delta} \perp \overrightarrow{n}_{(P)}=(1;3;-1).\end{cases}\)

Chọn \(\overrightarrow{u}_{\Delta}=(-5;4;7).\)

Ta có cặp véc-tơ chỉ phương của \((Q)\) là \(\begin{cases}\overrightarrow{u}_{d}=(2;-1;2)\\ \overrightarrow{u}_{\Delta}=(-5;4;7).\end{cases}\)

Vậy các véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((Q)\) cùng phương với \(\overrightarrow{n}=(-5;-8;1).\)

Thay tọa độ điểm \(P(3;1;0)\) vào vế trái phương trình \((P)\) ta được: \(2\cdot3-1+0+1=6>0\).

Thay tọa độ điểm \(Q(-9;4;9)\) vào vế trái phương trình \((P)\) ta được: \(2\cdot(-9)-4+9+1=-12 < 0\).

Do đó \(P\), \(Q\) nằm khác phía đối với mặt phẳng \((P)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(P\) lên mặt phẳng \((P)\), \(K\) là điểm đối xứng của \(P\) qua mặt phẳng \((P)\). Ta có phương trình đường \(HP\colon \begin{cases}x=3+2t\\y=1-t\\z=t\end{cases}\).

Tọa độ \(H(3+2t;1-t;t)\) thỏa \(2(3+2t)-(1-t)+t+1=0 \Leftrightarrow t=-1\).\\ Suy ra \(H(1;2;-1) \Rightarrow K(-1;3;-2)\).

Ta có \(|MP-MQ|=|MK-MQ|\ge QK\) với mọi điểm \(M\) trên \((P)\).

Khi đó \(|MP-MQ|\) lớn nhất khi và chỉ khi \(|MP-MQ|=QK\) xảy ra khi \(M\), \(Q\), \(K\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của \(QK\) và mặt phẳng \((P)\).

Đường thẳng \(QK\) qua \(K(-1;3;-2)\) và có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{QK}=(8;-1;-11)\) có phương trình \(\begin{cases}x=-1+8t'\\y=3-t'\\z=-2-11t'\end{cases}\).

Tọa độ \(M(-1+8t';3-t';-2-11t')\) thỏa \(2(-1+8t')-(3-t')+(-2-11t')+1=0 \Leftrightarrow t'=1\).

Vậy \(M((7;2;-13)\).

Đặt \(f(x;y;z)=x-2y-z+3\).

Ta có: \(f(1;1;3)\cdot f(-3;-1;1)=(-1)\cdot 1 < 0\). Suy hai hai điểm \(A\) và \(B\) nằm về hai phía so với mặt phẳng \((\alpha)\).

\(\overrightarrow{AB}=(-4;-2;-2)=-2\overrightarrow{u}\), với \(\overrightarrow{u}=(2;1;1)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(1;1;3)\) và nhận véc-tơ \(\overrightarrow{u}\) làm véc-tơ chỉ phương là: \[\begin{cases}x=1+2t\\y=1+t\\z=3+t\end{cases}\] Gọi \(H=AB\cap (\alpha)\).

\(H\in AB\Rightarrow H(1+2t;1+t;3+1)\);

\(H\in(\alpha)\Leftrightarrow (1+2t)-2(1+t)-(3+t)+3=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H(-1;0;2)\).

Với mọi điểm \(M\in(\alpha)\), ta có \(AM+BM\geq AB=AH+HB\).

Suy ra \(H\) chính là vị trí của điểm \(M\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mặt phẳng \((\alpha)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\alpha}=(1;-2;-1)\).

Suy ra phương trình đường thẳng \(d\) qua \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) là: \[\displaystyle\frac{x+1}{1}=\displaystyle\frac{y}{-2}=\displaystyle\frac{z-2}{-1}\]

Ta có \(\mathrm{d}(A;d)+\mathrm{d}(B;d)\le OA+OB=2\sqrt{14}\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{cases}OA \perp d \\ OB \perp d\end{cases}\), khi đó \(d\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=(7;7;7)\).

Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình \(\displaystyle\frac{x}{7}=\displaystyle\frac{y}{7}=\displaystyle\frac{z}{7}\) hay \(\displaystyle\frac{x}{1}=\displaystyle\frac{y}{1}=\displaystyle\frac{z}{1}\).

Ta có \(\mathrm d(O;d)\leq OA\) nên khoảng cách lớn nhất \(O\) đến \(\mathrm d\) bằng \(OA\) khi \(\mathrm d\perp OA\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-1;-1)\) nên \([\overrightarrow{OA};\overrightarrow{n}]=(0;2;-2)\).

Ta chọn véc-tơ pháp chỉ phương của \(\mathrm d\) là \(\overrightarrow{u}=(0;1;-1)\).

Vì \(S_{\text{MAB}}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot AB\cdot\mathrm{d}(M,AB)\) nên \(S_{\text{MAB}}\) nhỏ nhất khi \(\mathrm{d}(M,AB)\) nhỏ nhất.

Phương trình của \(AB\colon \begin{cases}x=t\\ y=-1+2t\\ z=2\end{cases}\). Dễ dàng kiểm tra \(AB\) và \(d\) chéo nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên đường thẳng \(AB\). Khi đó \(\mathrm{d}(M,AB)=MH\) nhỏ nhất khi \(MH\) là đoạn vuông góc chung của \(d\) và \(AB\).

Ta có \(M\in d\Rightarrow M(-1+s;s;1+s)\), \(H\in AB\Rightarrow H(t;-1+2t;2)\), \(\overrightarrow{MH}=(t-s+1;2t-s-1;1-s)\).

Véc-tơ chỉ phương của \(d\) và \(AB\) theo thứ tự là \(\overrightarrow{u}=(1;1;1)\), \(\overrightarrow{v}=(1;2;0)\).

Vì \(\begin{cases}\overrightarrow{MH}\perp \overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{MH}\perp \overrightarrow{v}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 1(t-s+1)+1(2t-s-1)+1(1-s)=0\\ 1(t-s+1)+2(2t-s-1)+0(1-s)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=1\\ s=\displaystyle\frac{4}{3}\end{cases}\).

Vậy \(M\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{4}{3};\displaystyle\frac{7}{3}\right)\).

Từ đó \(T=\displaystyle\frac{1}{3}+2\cdot \displaystyle\frac{4}{3}+3\cdot \displaystyle\frac{7}{3}=10\).

Gọi \(G(a;b;c)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-4\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). Ta có

\(\begin{aligned} &\overrightarrow{GA}=(2-a;1-b;-c),\ \overrightarrow{GB}=(-a;2-b;1-c),\ \overrightarrow{GC}=(1-a;3-b;-1-c).\\ \Rightarrow\ &\begin{cases} 2(2-a)+3(-a)-4(1-a)=0\\ 2(1-b)+3(2-b)-4(3-b)=0\\ 2(-c)+3(1-c)-4(-1-c)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=0\\ b=-4\\ c=7\end{cases}\Rightarrow G(0;-4;7). \end{aligned}\)

Ta có \[\begin{aligned} &2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC} =2\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+3\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)-4\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)\\ =\ &\overrightarrow{MG}+\left(2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}-4\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{MG}. \end{aligned}\]

Từ đó \(\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}\right|\), đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên \((\alpha)\).

Phương trình của đường thẳng \(d\) qua \(G\) và vuông góc với \((\alpha)\) là \(\begin{cases}x=2t\\ y=-4+t\\ z=7-2t\end{cases}\).

Điểm \(M\) là giao của \(d\) và \((\alpha)\). Giải hệ \(\begin{cases}x=2t\\ y=-4+t\\ z=7-2t\\ 2x+y-2z+9=0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=2\\ y=-3\\ z=5\end{cases}\Rightarrow M(2;-3;5)\).

Vậy \(x_{\text{M}}+y_{\text{M}}+z_{\text{M}}=4\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(A\), vuông góc với \(d\) có dạng \(2(x + 2) + 2(y + 2) - (z - 1) = 0\) hay \((P)\colon 2x + 2y - z + 9 = 0\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(B\) và vuông góc với \((P)\) có dạng \(\begin{cases} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 2t\\ z = -3 - t.\end{cases}\)

Giao điểm của \(d'\) và \((P)\) là điểm \(M(-3; -2; -1)\). Ta có \(\overrightarrow{MA} = (1; 0; 2)\).

Suy ra, đường thẳng \(\Delta\) cần tìm chính là đường thẳng \(MA\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (1; 0; 2)\).

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\), suy ra \(I(3;7;-3)\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(G(-1;-1;3)\).

Khi đó \[\begin{aligned} T =\ &\left|\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MB}\right|+\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\\ =\ &\left|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|+\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|\\ =\ &3\left|\overrightarrow{MI}\right|+3\left|\overrightarrow{MG}\right|=3\left(\left|\overrightarrow{MI}\right|+\left|\overrightarrow{MG}\right|\right). \end{aligned}\]

Rõ ràng \(I\) và \(G\) nằm khác phía so với mặt phẳng \((P)\) nên \(T\) nhỏ nhất khi ba điểm \(I\), \(G\), \(M\) thẳng hàng hay \(M\) là giao điểm của \(IG\) và mặt phẳng \((P)\).

Lại có phương trình tham số của \(IG\) là \(\left\{\begin{aligned}&x=3+2t \\ &y=7+4t \\ &z=-3-3t.\end{aligned}\right.\)

Khi đó ta tìm được \(M\left(\displaystyle\frac{3}{4};\displaystyle\frac{5}{2};\displaystyle\frac{3}{8}\right)\). Do đó hoành độ của điểm \(M\) thuộc khoảng \((0;2)\).

Đường thẳng d qua điểm \(M(1;2;0)\), có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1;-1;1)\).

Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(N(0;1;2)\), có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}(2;1;1)\).

Ta có \(\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\cdot \overrightarrow{MN}=7\ne 0\) nên \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng chéo nhau.

Đường thẳng \( \Delta \) cắt \(d,d'\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) thỏa mãn độ dài đoạn thẳng \(AB\) nhỏ nhất nên \(AB\) chính là đoạn vuông góc chung của \(d\) và \(d'\).

\(A\in d \Rightarrow A(1+t;2-t;t)\), \(B\in d' \Rightarrow B\left(2t';1+t';2+t'\right)\), \(\overrightarrow{AB}\left(2t'-t-1;t'+t-1;t'-t+2\right)\).

\[\begin{cases}\overrightarrow{AB}\perp d \\ \overrightarrow{AB}\perp d'\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2t'-t-1-\left(t'+t-1\right)+t'-t+2=0 \\ 2\left(2t'-t-1\right)+t'+t-1+t'-t+2=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}2t'-3t=-2 \\6t'-2t=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}t'=\displaystyle\frac{1}{2} \\t=1.\end{cases}\]

Suy ra \(A(2;1;1)\), \(\overrightarrow{AB}=\left(-1;\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{3}{2}\right)\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(A\) và có một véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}_\Delta=2\overrightarrow{AB}=\left(-2;1;3\right)\), nên có phương trình là \( \Delta \colon \displaystyle\frac{x-2}{-2}=\displaystyle\frac{y-1}{1}=\displaystyle\frac{z-1}{3}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;1;2)\) và bán kính \(R=3\).

Gọi \(h=\mathrm{d}\left(I,d\right)\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\). Khi đó \(EF=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{9-h^2}\).

Suy ra \(EF\) lớn nhất khi và chỉ khi \(h\) nhỏ nhất.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left(1;-1;m\right)\) và có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=\left(1;1;2\right)\).

Ta có: \(\overrightarrow{AI}=\left(0;2;2-m\right)\), \(\left[\overrightarrow{{AI}},\overrightarrow{u}\right]=\left(2+m;2-m;-2\right)\).

Suy ra \(h=\mathrm{d}\left(I,d\right)=\displaystyle\frac{\left|\left[\overrightarrow{AI},\overrightarrow{u}\right]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\displaystyle\frac{\sqrt{2m^2+12}}{\sqrt{6}}\geqslant \sqrt{2}\).

Do đó \(h\) nhỏ nhất bằng \(\sqrt{2}\) khi \(m=0\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-2;-2)\) và bán kính \(R=3\).

Ta có: \(MI^2=17>R^2\) nên \(M\) nằm ngoài mặt cầu.

Gọi \(C\) là trung điểm \(AB\), khi đó ta có: \(MA+MB=2MC\).

Mà \(MC\le MI\), nên \(MA+MB\le 2MI=2\sqrt{17}\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(AB\) đi qua tâm \(I\) của \(\left(S\right)\).

Gọi \( I(x;y;z) \) là điểm thỏa mãn \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \begin{cases}x=\displaystyle\frac{x_A+x_B+2x_C}{4}=3\\ y=\displaystyle\frac{y_A+y_B+2y_C}{4}=0\\ z=\displaystyle\frac{z_A+z_B+2z_C}{4}=1\end{cases}\Rightarrow I(3;0;1).\]

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2 =\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)^2 +\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)^2 +2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)^2 \\ =\ &4\cdot MI^2+2\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}\right) +IA^2+IB^2+2IC^2 \\ =\ &4\cdot MI^2+IA^2+IB^2+2IC^2. \end{aligned}\]

Vì \( I,A,B,C \) cố định nên \( IA^2+IB^2+2IC^2 \) không đổi.

Do đó \( \overrightarrow{MA}^2+\overrightarrow{MB}^2+\overrightarrow{MC}^2\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \( MI \) nhỏ nhất, tức \( M \) là hình chiếu của \( I \) lên mặt phẳng \((Q) \).

Đường thẳng \( \Delta \) qua \( I \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Q) \) có phương trình \( \begin{cases}x=3+3t\\y=t\\z=1-t\end{cases} \), \( M=\Delta \cap (Q) \).

Có \(M\in \Delta \Rightarrow M(3+3t;t;1-t) \) mà \( M\in (Q) \) nên \( 3(3+3t)+t-(1-t) +3 =0\Leftrightarrow t=-1\).

\(\Rightarrow M(0;-1;2)\Rightarrow a+b+5c=9. \)