ÔN TẬP CHƯƠNG III

Mặt phẳng \((P)\colon \ x+2y+3z-5=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1;2;3)\).

Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \) là \( \overrightarrow{n}=(3;2;1) \).

Mặt phẳng \((P)\colon 2x+3y+z-1=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;3;1)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right)\colon 2x + y + 3z - 1 = 0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_3} = \left(2; 1; 3\right)\).

Véc-tơ \(\overrightarrow{n}=(3;0;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là \(\overrightarrow{n}(3;-4;0) \).

Mặt phẳng \((P) \colon ax+by+cz+d=0\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\) làm véc-tơ pháp tuyến, nên véc-tơ cần tìm là \(\overrightarrow{n}_4=(2;3;-4)\).

Mặt phẳng \((P)\, :\, x-2y+3=0\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(1;-2;0)\).

Mặt phẳng trên đi qua các điểm \(A(-2;0;0), B(0;-1;0),C(0;0;3)\). Do đó véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng cùng phương với \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;-1;0),\overrightarrow{AC}=(2;0;3) \Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(-3;-6;2)\). Vậy chọn một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là \(\overrightarrow{n}=(3;6;-2)\).

\((P)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left(1;\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{1}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot\left(6;3;2\right)\) là \(1\) véc-tơ pháp tuyến. Do đó nhận \((6;3;2)\) cũng là véc-tơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( 2;2;-1\right) \) và \(\overrightarrow {AC} = \left( -1;-1;0 \right) \Rightarrow \left[ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC} \right]=\left(-1;1;0\right)\).

Chọn véc-tơ \(\overrightarrow{n} \left( -1;1;0 \right)\) làm véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2;2;-1)\) và \(\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)\). Suy ra \(\overrightarrow{n}_{(ABC)}=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(-1;1;0)\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) theo đoạn chắn là \(\displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{1}+\displaystyle\frac{z}{-2}=1 \Leftrightarrow 2x+2y-z-2=0\).

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(2;\,1;\,-2\right),\, \overrightarrow{AC}=\left(-12;6;0\right)\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(12;24;24\right)\).

Một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow{n}=\left(1;2;2\right)\).

Thay các điểm vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta có

• \(2\cdot2-0+1-3=0\) (vô lý), suy ra \(N\not\in (P)\).
• \(2\cdot1-(-2)+(-1)-3=0\) (đúng), suy ra \(M\in (P)\).
• \(2\cdot1-2+(-3)-3=0\) (vô lý), suy ra \(P\not\in (P)\).
• \(2\cdot2-(-1)+1-3=0\) (vô lý), suy ra \(Q\not\in (P)\).

Điểm \(M(a;b;1)\) thuộc mặt phẳng \((P)\colon 2x-y+z-3=0\) nên ta có \[\begin{cases}2a-b+1-3=0\\ \Leftrightarrow 2a-b=2.\end{cases}\]

Thay tọa độ điểm \(N(0;1;1)\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\Rightarrow 2\cdot 0 - 1 +3\cdot 1 - 2 = 0\) (đúng). Vậy \(N\in (P)\).

Ta có \(0-3\cdot 1+2\cdot 1+1=0\). Vậy \(N(0;1;1)\) thuộc mặt phẳng \(x-3y+2z+1=0\).

Ta có \( 3\cdot x_F+2 \cdot y_F-z_F+1=3 \cdot (-1)+2 \cdot (-2)-(-6)+1=0 \) nên \( F(-1;-2;-6) \in (P) \).

Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng thì ta nhận điểm \(P(3;1;3)\).

Với \( D(-5;-2;1) \), thay vào phương trình \( (P) \), ta có \( -5-2\cdot(-2)+5\cdot(1)-4=0 \). Suy ra \( D\in (P) \).

Kiểm tra các đáp án chỉ có điểm \(M(2; 1; 3) \in (P)\).

Nhận thấy tọa độ \(Q\) thuộc \((P)\) vì \(2\cdot 3-(-1)-2\cdot 2-3=0\).

Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình \((P)\), ta được \(2-(-1)+(-1)-2=0\) (đúng).

Vậy \(N \in (P)\).

Thay tọa độ điểm \(P\) vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\), ta được \(2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 - 3 -1 = -1 \neq 0\) nên điểm \(P\) không thuộc \((\alpha)\).

Xét mặt phẳng \((P) \colon x-3y+z-2=0\) và điểm \(M(2;1;3)\) ta thấy \(2-3 \cdot 1 + 3 -2 = 0\). Do đó \(M \in (P)\).

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta thấy điểm \((1;2;3)\) thuộc \((P)\).

Theo giả thiết ta có \(A(-12;0;0)\), \(B(0;8;0)\), \(C(0;0;-6)\). Suy ra \[\begin{aligned} V_{OABC}=\displaystyle\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB \cdot OC= \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 12\cdot 8\cdot 6=96. \end{aligned}\]

\(\bullet\) \(\cos ((P),(Q)) = \displaystyle\frac{|8\cdot \sqrt{2} + 4\cdot \sqrt{2} -8\cdot 0|}{\sqrt{8^2 + (-4)^2 + (-8)^2}\cdot \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\).

\(\bullet\) Suy ra góc giữa \((P)\) và \((Q)\) bằng \(45^\circ\).

Ta có \(\begin{cases} \overrightarrow{n}_{(P)}=(1;0;1)\\ \overrightarrow{n}_{(Q)}=(1;-2;2)\end{cases}\Rightarrow \cos\left((P);(Q)\right)=\displaystyle\frac{|\overrightarrow{n}_{(P)}\cdot\overrightarrow{n}_{(Q)}|}{|\overrightarrow{n}_{(P)}|\cdot |\overrightarrow{n}_{(Q)}|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\varphi=45^\circ\).

Lấy \(\overrightarrow{n}_1=(1;1;0)\) là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

\(\overrightarrow{n}_2=(1;0;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến của \((Q)\).

\(\cos((P);(Q))=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2\right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_2\right|}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow ((P);(Q))=60^\circ\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(2;a;3).\)

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_Q=(4;-1;-3).\)

Ta có \((P)\perp (Q)\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P\perp \overrightarrow{n}_Q\Leftrightarrow \overrightarrow{n}_P\cdot \overrightarrow{n}_Q=0\Leftrightarrow 2\cdot 4+a\cdot (-1)+3\cdot (-3)=0\Leftrightarrow a=-1.\)

\((P)\) vuông góc với \((Q)\) khi và chỉ khi các véc-tơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau, tức là \[(m-1;1;-2)\cdot(2;0;-1)=0\Leftrightarrow m=0.\]

\((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P =(1;-3;2)\).

\((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{Q} =\left( 2m-1;m(1-2m);2m-4 \right)\).

\((P)\) và \((Q)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow{n}_P \perp \overrightarrow{n}_{Q}\).

Điều này tương đương với \(\overrightarrow{n}_P \cdot \overrightarrow{n}_Q =0 \Leftrightarrow 6m^2+3m -9=0 \Leftrightarrow m=1;\ m=-\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Tổng các giá trị của \(m\) để \((P)\) và \((Q)\) vuông góc nhau bằng \(1 -\displaystyle\frac{3}{2} = -\displaystyle\frac{1}{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2;-1;4)\). Vì \((Q)\) là tiếp diện của mặt cầu nên \((Q)\) nhận \(\overrightarrow{IM}=(3;1;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Gọi \(\alpha\) là góc giữa \((P)\) và \((Q)\). Ta có \[\cos\alpha =|\cos (\overrightarrow{n}_{(P)};\overrightarrow{IM})|=\displaystyle\frac{|(-2)\cdot 3+1\cdot 1+0\cdot \sqrt{5}|}{\sqrt{(-2)^2+1^2+(\sqrt{5})^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2+0^2}}=\displaystyle\frac{1}{2}.\]

Vậy \(\alpha=60^\circ\).

\(M(0;0;m)\) thuộc trục \(Oz\).

Ta có \(\overrightarrow{AM}=(1;-\sqrt{3};m)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;0;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(1;-\sqrt{3};\sqrt{3})\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 =\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} \right] =(0;-2\sqrt{3};-2\sqrt{3})\),

\(\overrightarrow{n}_2 =\left[ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM} \right] =(0;-2m;-2\sqrt{3})\).

Mặt phẳng \((ABC)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1\), mặt phẳng \((MAB)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2\).

Hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((ABC)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \[\overrightarrow{n}_1 \perp \overrightarrow{n}_2 \Leftrightarrow 0\cdot 0 +(-2\sqrt{3})\cdot (-2m) + (-2\sqrt{3})\cdot (-2\sqrt{3}) =0\Leftrightarrow m=-\sqrt{3}.\]

Mặt phẳng \((OAB)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_3 = \left[ \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} \right] =(0;0;-2\sqrt{3})\).

Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((OAB)\). Khi đó \[\cos \varphi =\left| \cos \left( \overrightarrow{n}_2, \overrightarrow{n}_3 \right) \right| = \displaystyle\frac{\left| \overrightarrow{n}_2 \cdot \overrightarrow{n}_3 \right|}{\left| \overrightarrow{n}_2 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_3 \right|} =\displaystyle\frac{12}{2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3}} =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}.\] Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((OAB)\) là \(45^\circ\).

\(\Rightarrow\overrightarrow{n}_{(SCD)}=\left[\overrightarrow{CD},\overrightarrow{SC}\right]=\left(-a^2\sqrt{5};-a^2\sqrt{5};-2a^2\right)\).

Ta có \(\cos\left[(SBC),(SCD)\right]=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}_{(SBC)}\cdot\overrightarrow{n}_{(SCD)}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_{(SBC)}\right|\cdot\left|\overrightarrow{n}_{(SCD)}\right|}=\displaystyle\frac{\left|5a^4+2a^4\right|}{a^2\sqrt{6}\cdot a^2\sqrt{14}}=\displaystyle\frac{\sqrt{21}}{6}\).

Từ đó tính được \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\left|\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{m}\right|}=\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{5}\). Suy ra \(\sin\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{5}\).

Ta có \(\mathrm{d}=\displaystyle\frac{\left|3\cdot 1 - 4\cdot 2 + 2\cdot 3 + 4 \right|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}} = \displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

Ta có \(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{\left|-1-2\cdot0-2\cdot(-2)+9\right| }{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{12}{3}=4\).

Ta có \(\mathrm{d}(M,(P))=\displaystyle\frac{|4+3\cdot 2 - 5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1\).

Khoảng cách \(d=\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+3\cdot (-3)+4\cdot 1-5|}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{29}}\).

Áp dụng công thức khoảng cách ta được \[\mathrm{d}=\displaystyle\frac{|16\cdot 2-12\cdot 0-15\cdot 1-4|}{\sqrt{16^2+(-12)^2+(-15)^2}}=\displaystyle\frac{13}{25}. \]

Ta có \(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{|3\cdot 1+4\cdot(-2)+2\cdot 3+4|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

Khoảng cách từ \(M\) đến \((P)\) là \(d=\displaystyle\frac{|2+4-13+3|}{\sqrt{4+4+1}}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

\(\mathrm{d}(A,(P))=\displaystyle\frac{ \left| 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 + 4 \right|}{\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}} = \displaystyle\frac{21}{\sqrt{29}}.\)

Ta có \(\mathrm{d}(O,(P))=\displaystyle\frac{|-6|}{\sqrt{4+1+4}}=2\).

Ta có \(\mathrm{d}\left(A,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|3\cdot 1+4\cdot (-2)+2\cdot 3+4\right|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{29}}\).

\(\mathrm {d}(M,(P))=\displaystyle\frac {\left| 2\cdot 1+0+2\cdot 1+5\right|}{\sqrt {2^2+1^2+2^2}}=3\).

Phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là \(x=0\). Khi đó, khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((Oyz)\) được tính bởi \[\mathrm{d}(A,(Oyz))=\displaystyle\frac{\left| x_A\right| }{1}=3.\]

Khoảng cách từ điểm \(M(1;1;1)\) đến mặt phẳng \((P)\) là \[d=\mathrm{d}\left(M,(P)\right) = \displaystyle\frac{|4\cdot 1 - 3\cdot 1 + 12\cdot 1 -6|}{\sqrt{4^2+(-3)^2+12^2}} = \displaystyle\frac{7}{13}.\]

\(d(M,(P))=\displaystyle\frac{|2-2\cdot 4+1}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\).

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng \((ABC)\colon \displaystyle\frac{x}{1}+\displaystyle\frac{y}{-1}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\) hay \((ABC)\colon 2x-2y+z-2=0.\)

Từ đó: \(\mathrm{d}(O,(ABC))=\displaystyle\frac{|0+0+0-2|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\)

Ta thấy \( (\alpha) \parallel (\beta) \Rightarrow \mathrm{d}((\alpha);(\beta)) = \mathrm{d}(M;(\beta)) = \displaystyle\frac{|16 - 2|}{ \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} } = \sqrt{14} \) với \( M(0;0;2) \in (\alpha) \).

Lấy \(M(-3;0;0)\in (P)\). Vì \((P)\parallel (Q)\) nên khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) bằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((Q)\).

Ta có \(\mathrm{d}(M,(Q))=\displaystyle\frac{|x_M+2y_M-2z_M-1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{4}{3}\).

Ta thấy \((\alpha)\) và \((\beta)\) song song với nhau nên với \(A(0;2;0) \in (\alpha)\).

Khi đó \(\mathrm{d}[(\alpha);(\beta)]=\mathrm{d}(A;(\beta))=\displaystyle\frac{|4-7|}{\sqrt{1+4+4}}=1\).

Bán kính của mặt cầu là \(\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|0+2\cdot (-5)-2 \cdot 0+16|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=\displaystyle\frac{|6|}{\sqrt{9}}=2.\)

Phương trình mặt cầu cần tìm là \( (S) \colon x^2+(y+5)^2+z^2=4 \).

Mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\) có bán kính

\[R=\mathrm{\,d}\left(I,(P)\right)=\displaystyle\frac{\left|1-2\cdot 0+2\cdot 0+2\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=1.\]

Gọi \(r\) là bán kính của mặt cầu tâm \(I\) tiếp xúc với mặt phẳng \((P)\), ta có \[r= \mathrm{d}(I,(P))= \displaystyle\frac{|1+2\cdot 2 -2 \cdot (-3)-2|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}= 3.\]

Chọn \(A(0;0;1)\in(P)\). Vì \((P)\) và \((Q)\) song song nhau nên \[\mathrm{d}((P);(Q))=\mathrm{d}(A;(Q))=\displaystyle\frac{|2\cdot0-2\cdot0+1-7|}{3}=2.\]

Gọi \((R)\) là mặt phẳng cách đều hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) thì \((R)\parallel (P)\parallel (Q)\). Do đó \((R)\) có dạng \(x+y-2z+m=0\).

Gọi \(A(1;0;3)\in (P)\) và \(B(1;0;-4)\in (Q)\). Khi đó trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) nằm trên \((R)\), tức \(M\left(1;0;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\in (R)\). Suy ra \(1+0-2\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)+m=0 \Leftrightarrow m=-2\).

Vậy \((R):x+y-2z-2=0\) hay \((R):-x-y+2z+2=0\).

Vì \(M\in Oy\) nên \(M(0;y;0).\)

Ta có \(\mathrm{d}(M;(P))=\displaystyle\frac{|y+1|}{\sqrt{3}}\) và \(\mathrm{d}(M;(Q))=\displaystyle\frac{|-y-5|}{\sqrt{3}}.\)

Theo giả thiết \(\mathrm{d}(M;(P))=\mathrm{d}(M;(Q))\Leftrightarrow |y+1|=|-y-5|\Leftrightarrow y+1=-y-5\ \text{hoặc}\ y+1=y+5\Leftrightarrow y=-3\ \text{hoặc}\ 0y=4 \,(\text{vô nghiệm})\)

\(\Rightarrow M(0;-3;0).\) Vậy có \(1\) điểm \(M\) thỏa mãn bài.

Ta có \(\displaystyle\frac{IA}{IB}=\displaystyle\frac{d(A,(P))}{d(B,(P))}=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{3}} : \displaystyle\frac{4}{\sqrt{3}}=2\).

Giả sử \(A(0;0;a)\in Oz\), ta có

\[\begin{aligned} \mathrm{d}(A;(P))=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\ &\displaystyle\frac{|-2a-5|}{\sqrt{8}} =2\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow\ & -2a-5=8\ \vee\ -2a-5=-8 \\ \Leftrightarrow\ & a=\displaystyle\frac{-13}{2}\ \vee\ a=\displaystyle\frac{3}{2}\\ \Rightarrow\ &A\left(0;0;\displaystyle\frac{-13}{2}\right)\ \vee\ A\left(0;0;\displaystyle\frac{3}{2}\right). \end{aligned}\]

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(x+y+z-1=0\). Để ý rằng, tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(\sqrt{2}\) nên thể tích tứ diện \(ABCD\) bằng \[\displaystyle\frac{1}{3}\cdot d(D,(ABC))\cdot S_{ABC}= \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \displaystyle\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot \displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{4}=\displaystyle\frac{2}{3}.\]

Phương trình của mặt phẳng cần tìm là \(-2(x-1)+0(y-2)+1(z-3)=0 \Leftrightarrow -2x+z-1=0\).

Phương trình mặt phẳng qua \(M(1;2;-1)\) và có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;0;-3)\) là \(2(x-1)-3(z+1)=0\Leftrightarrow 2x - 3z - 5 = 0\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(A(-3;4;-2)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(-2;3;-4)\) làm véc-tơ pháp tuyến là \[-2(x+3)+3(y-4)-4(z+2)=0 \Leftrightarrow 2x-3y+4z+26=0.\]

Mặt phẳng đi qua điểm \(A(1;-1;2)\) và có \(1\) véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} =(4;2;-6)\) thì phương trình có dạng:

\(4(x-1)+2(y+1)-6(z-2)=0 \Leftrightarrow 4x+2y-6z+10=0\Leftrightarrow 2x+y-3z+5=0\).

Áp dụng công thức phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ta được

\((ABC)\colon \displaystyle\frac{x}{-2}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{2}=1\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \[\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{-1}=1.\]

Ta có phương trình theo đoạn chắn của \((\alpha)\) là \(\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{-2}+\displaystyle\frac{z}{6}=1\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \(\displaystyle\frac{x}{1} +\displaystyle\frac{y}{-2} +\displaystyle\frac{z}{3} =1\) (phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là \[3(x-0)+2(y-0)+1(z-0)=0\Leftrightarrow 3x+2y+z=0.\]

\(\overrightarrow{OG}=(1;1;1).\) Phương trình của mặt phẳng \((P)\) là \(x+y+z-3=0\).

Mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{i} = \left(1;0;0\right) \Rightarrow\) phương trình mặt phẳng là \(x + 1 = 0\).

Mặt phẳng trung trực của \(MN\) nhận \(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{MN}=(1;1;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến và đi qua trung điểm \(I(2;0;-1)\) của \(MN\) nên nó có phương trình \(x+y-3z-5=0\).

Mặt phẳng qua \( M(1;2;3) \) và nhận \( \overrightarrow{n}=(1;2;-3) \) là véc-tơ pháp tuyến có phương trình là \[1(x-1)+2(y-2)-3(z-3)=0 \Leftrightarrow x+2y-3z+4=0. \]

Mặt phẳng qua \(A\), vuông góc với trục \(Ox\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\) làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình là \(x+1=0\).

Mặt phẳng \((\beta)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{\beta}=(6;-5;1)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(1;-3;4)\) và nhận \(\overrightarrow{n}_\beta\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình \[6(x-1)-5(y+3)+1(z-4)=0\Leftrightarrow 6x-5y+z-25=0.\]

Mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và vuông góc với \(AB\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{AB}=(3;-1;-1)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \[3\cdot (x+1)-1\cdot (y-2)-1\cdot (z-1)=0 \Leftrightarrow 3x-y-z+6=0.\]

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) suy ra tọa độ điểm \(I\left(4; 1; 0 \right)\). Mặt khác ta có \(\overrightarrow{AB}\left(2; 8; - 4\right)\), do giả thiết mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) nhận \(\overrightarrow{AB}\) là véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm \(I\). Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực là \[2\cdot\left(x - 4\right) + 8\cdot\left(y - 1\right) + (- 4)\cdot\left(z - 0\right) = 0\Leftrightarrow x + 4y - 2z - 6 = 0.\] Do đó \(a = 4\), \(b = -2\) và \(c = - 6\) nên \(a + b + c = - 4\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(1;0;-3)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;1;0)\) nên \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right]=(3;3;1)\).

Mặt phẳng \((ABC)\) đi qua \(C(2;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=(3;3;1)\) làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình \(3(x-2)+3y+(z-2)=0 \Leftrightarrow 3x+3y+z-8=0\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra tọa độ \(I\left(- 1; 3; 0\right)\) và \(\overrightarrow{AB} = \left(8; - 2;- 2\right)\). Gọi \(\overrightarrow{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) ta chọn \(\overrightarrow{n}\left(4; -1;- 1\right)\). Khi đó phương trình mặt phẳng trung trực là \[4\cdot\left(x + 1\right) + (- 1)\cdot\left(y - 3\right) + (- 1)\cdot\left(z - 0\right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - z + 7 = 0\]

Gọi mặt phẳng \((Q)\) song song với mặt phẳng \((P)\), mặt phẳng \((Q)\) có dạng \(2x-y+3z+D=0\, (D \ne 2)\).

\(A(2;-1;2)\in (Q) \Rightarrow D=-11\).

Vậy mặt phẳng cần tìm là \(2x-y+3z-11=0\).

Ta có \(\overrightarrow{BC}=(-1;-2;2)\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) cần tìm.

\(\Rightarrow \overrightarrow{n}=-\overrightarrow{BC}=(1;2;-2)\) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(1(x+1)+2(y-1)-2(z-1)\Leftrightarrow x+2y-2z+1=0\).

Có \(\overrightarrow{AB}=(-4;6;2)\).

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(AB\) là

\[-4(x-5)+6(y+4)+2(z-2)=0\Leftrightarrow 2x-3y-z-20=0.\]

\((Q)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}(1; 1; 1)\). Từ giả thiết, ta suy ra \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \([\overrightarrow{n}; \overrightarrow{i}]=(0; 1; -1).\) Do \((P)\) đi qua gốc tọa độ \(O\) nên phương trình của \((P)\) là \(y-z=0.\)

Do \(A=92\) nên mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(92x+By+Cz+D=0\). Do \((P)\) đi qua các điểm \(A, B, C\) nên ta có hệ

\[\begin{cases}92 \cdot 4 + B \cdot 9 + C \cdot 8 + D = 0\\ 92 \cdot 1 + B \cdot (-3) + C \cdot 4 + D = 0\\92 \cdot 2 + B \cdot 5 + C \cdot (-1) + D = 0.\end{cases}\]

Từ đó suy ra \(D = -101.\)

Mặt phẳng \( (Oxy)\colon z=0 \) nên phương trình mặt phẳng \( (P) \) có dạng \( z+m=0 \). Vì \( (P) \) đi qua \( A(1;-2;1) \) nên \( 1+m=0\Leftrightarrow m=-1 \). Phương trình \( (P):z-1=0 \).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=(6;-4;2)\) và đi qua điểm \(I(4;0;2)\) cho nên có phương trình \(3(x-4)-2y+z-2=0\Leftrightarrow 3x-2y+z-14=0.\)

Ta có \(\overrightarrow{AB} = \left(-2; 5; 2\right), \overrightarrow{AC} = \left(1; -2; 1\right).\) Khi đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right] = \left(9; 4; -1\right)\).

Mặt phẳng đi qua \(A(2;1;-1)\) và vuông góc với \(BC\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BC}=(1;-2;-5)\) nên nó có phương trình là \(1\cdot (x-2)+(-2)\cdot (y-1)+(-5)\cdot (z+1)=0\Leftrightarrow x-2y-5z-5=0.\)

Tọa độ trung điểm của \(AB\) là \(I(1;1;0)\). Ta có \(\overrightarrow{AB}=(4;-4;-2)\Rightarrow\) phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn \(AB\) là \(4(x-1)-4(y-1)-2(z-0)=0\Leftrightarrow 2x-2y-z=0\).

Hình chiếu của điểm \(M(-1;3;4)\) lên các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt là \(A(-1;0;0)\), \(B(0;3;0)\), \(C(0,0,4)\). Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua \(A,B,C\) là \(\displaystyle\frac{x}{-1}+\displaystyle\frac{y}{3}+\displaystyle\frac{z}{4}=1\).

Gọi \(\overrightarrow{p}=(2;-1;3)\), \(\overrightarrow{q}(0;1;0)\) lần lượt là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\). Khi đó mặt phẳng \((R)\) nhận véc-tơ \(\overrightarrow{w}=-\left[ \overrightarrow{p},\overrightarrow{q} \right]=(3;0;-2)\) làm một véc-tơ pháp tuyến. Do đó \((R)\) có phương trình \(3x-2z-1=0\).

\((S)\) có tâm \(I\left(1;-2;3\right)\), bán kính \(R=3\).

\((P)\) song song với \((\alpha)\) \(\Rightarrow (P)\colon 2x+y+2z +m=0\), với \(m \neq -15\).

Do mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc với \((S) \Leftrightarrow \mathrm{d}[I,(P)]=R\Leftrightarrow m= -15\vee\ m=3\), so với điều kiện ta nhận \(m=3\).

Vậy \((P)\colon 2x+y+2z +3=0\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) song song với \((\alpha)\) có dạng \(4x+3y-12z+c=0\). Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\), bán kính \(r=4\) nên \((P)\) tiếp xúc với \((S)\) khi và chỉ khi \[4= d\left( I,(P) \right)=\displaystyle\frac{\left| c-26 \right|}{13}\Leftrightarrow c=78 \vee\ c=-26.\] Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn bài toán là \(4x+3y-12z+78=0\), \(4x+2y-12z-26=0\).

Mặt phẳng \((Q)\) và song song với \((P)\) nên \((Q)\) có dạng \(2x-y+3z+D=0\), với \(D \ne -7\).

Vì \(A\in (Q)\) nên \(2\cdot(-1)-2+3\cdot5+D=0\Leftrightarrow D=-11\).

Vậy \((Q) \colon 2x-y+3z-11=0\).

Giả sử \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c)\), với \(a,b,c > 0\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(\displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\). Theo giả thiết ta có \[\begin{aligned} \begin{cases}\displaystyle\frac{a}{1}=\displaystyle\frac{b}{2}=\displaystyle\frac{c}{3}\\ \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{3}{b}-\displaystyle\frac{2}{c}=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=2\\ b=4\\ c=8.\end{cases}\end{aligned}\] Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(4x+2y+z-8=0\).

Giả sử \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c), abc\neq 0\).

Khi đó \((\alpha)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

Ta có \(\overrightarrow{HA}=(a-1;-2;3)\), \(\overrightarrow{HB}=(-1;b-2;3)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\) và \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\).

\(H\) là trực tâm của \(\triangle ABC\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2b+3c=0\\ a+3c=0\end{cases}\Rightarrow a=2b=-3c\).

Mặt khác \(H\in (\alpha)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{2}{b}-\displaystyle\frac{3}{c}=1\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{1}{-3c}+\displaystyle\frac{4}{-3c}-\displaystyle\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow 14=-3c\Leftrightarrow c=-\displaystyle\frac{14}{3}\Rightarrow a=14,b=7\).

Vậy \((\alpha)\colon \displaystyle\frac{x}{14}+\displaystyle\frac{y}{7}+\displaystyle\frac{z}{-\displaystyle\frac{14}{3}}=1\) hay \((\alpha)\colon x+2y-3z-14=0\).

Giả sử \((P)\) cắt các trục tọa độ tại \(A(a;0;0)\), \(B(0;b;0)\), \(C(0;0;c), abc\neq 0\).

Khi đó \((P)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

Ta có \(\overrightarrow{HA}=(a-1;-2;-3)\), \(\overrightarrow{HB}=(-1;b-2;-3)\), \(\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)\) và \(\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)\).

\(H\) là trực tâm của \(\triangle ABC\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{HA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{HB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}2b-3c=0\\ a-3c=0\end{cases}\Rightarrow a=2b=3c\).

Mặt khác \(H\in (P)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{2}{b}+\displaystyle\frac{3}{c}=1\).

Suy ra \(\displaystyle\frac{1}{3c}+\displaystyle\frac{4}{3c}+\displaystyle\frac{3}{c}=1\Leftrightarrow 14=3c\Leftrightarrow c=\displaystyle\frac{14}{3}\Rightarrow a=14,b=7\).

Vậy \((P)\colon \displaystyle\frac{x}{14}+\displaystyle\frac{y}{7}+\displaystyle\frac{z}{\displaystyle\frac{14}{3}}=1\) hay \((P)\colon x+2y+3z-14=0\).

Mặt phẳng \((P)\) có cặp véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right), \overrightarrow{OP}\left(3;-4;7\right)\).

Suy ra mặt phẳng có \((P)\) một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{k}\wedge \overrightarrow{OP}=\left(-4;-3;0\right)=-1\left(4;3;0\right)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(O\left({0;0;0}\right)\), có véc-tơ pháp tuyến \(\left(4;3;0\right)\).

Vậy mặt phẳng có \((P)\) có phương trình tổng quát là \(4x+3y=0\).

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1}=(1;2;-1)\) và \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;2)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{AB}]=(3;-1;1)\).

Từ đó, phương trình mặt phẳng \((Q)\) là \(3x-y+z-4=0\).

Do \((Q)\parallel (P)\Rightarrow (Q)\colon x+y+z+d=0,\quad d\neq -2\).

Mà \(d\left(A,(Q)\right)=3\sqrt{3}\Leftrightarrow |6+d|=9 \Leftrightarrow d=3\ \vee\ d=-15.\)

Vậy \((Q_1)\colon x+y+z+3=0\) và \((Q_2)\colon x+y+z-15=0\).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{(P)} = (1;1;-1)\) và \(\overrightarrow{n}_{(Q)} = (1;-2;3).\)

Suy ra \(\left[\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{n}_{(Q)}\right]= (1;-4;-3).\)

Do \((\alpha)\) vuông góc với \((P)\) và \((Q)\) nên \(\begin{cases}\overrightarrow{n}_{(\alpha)} \perp \overrightarrow{n}_{(P)}\\ \overrightarrow{n}_{(\alpha)} \perp \overrightarrow{n}_{(Q)}\end{cases}\).

Chọn \(\overrightarrow{n}_{(\alpha)} = \left[\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{n}_{(Q)}\right]=(1;-4;-3)\). Hơn nữa, \((\alpha)\) đi qua \(M(1;-2;5)\) nên có phương trình là \[(x-1)-4(y+2)-3(z-5)=0\Leftrightarrow x-4y-3z+6=0.\]

Vì \((\alpha)\parallel (P)\) nên phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng \(2x+y-2z+c=0\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=5\).

Đường tròn có chu vi \(8\pi\) nên bán kính \(r=4\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \(P\) bằng \(3\).

Từ đó ta có \(\mathrm{d}(I,(P))=\displaystyle\frac{|2\cdot 1+2-2\cdot 3+c|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=3\Leftrightarrow |-2+c|=9\Leftrightarrow c=11\ \vee\ c=-7}\).

Vì \((\alpha)\parallel (P)\) nên phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là \(2x+y-2z-7=0.\)

Mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(Q)}=(1;2;-3)\).

Mặt phẳng \((R)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(R)}=(2;-3;1)\).

Khi đó mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{(P)}=[\overrightarrow{n}_{(Q)},\overrightarrow{n}_{(R)}]=(-7;-7;-7)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \[-7(x+1)-7(y+2)-7(z-5)=0\Leftrightarrow -7x-7y-7z+14=0\Leftrightarrow x+y+z-2=0.\]

Từ \((Q)\colon x+y+3z=0\), suy ra véc-tơ pháp tuyến của \((Q)\) là \(\overrightarrow{n}_{(Q)}=(1;1;3)\).

Từ \((R)\colon 2x-y+z=0\), suy ra véc-tơ pháp tuyến của \((R)\) là \(\overrightarrow{n}_{(R)}=(2;-1;1)\).

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_{(P)}=\overrightarrow{n}_{(Q)}\wedge \overrightarrow{n}_{(R)}=(4;5;-3)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\Leftrightarrow 4x+5y-3z-22=0\).

Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{P}=(2;-1;3)\) và mặt phẳng \((Q)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{Q}=(1;1;1)\) nên mặt phẳng \((R)\) vuông góc với hai mặt phẳng \((P), (Q)\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{n}_{Q};\overrightarrow{n}_{P}\right]=(4;-1;-3)\).

Khi đó, mặt phẳng \((R)\) đi qua \(A(1;2;-1)\) có phương trình là \(4(x-1)-(y-2)-3(z+1)=0\) hay \(4x-y-3z-5=0\).

Mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(1;1;1)\).

Mặt phẳng \((Q)\) có một véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_Q=(1;-2;1)\).

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) nên nhận \(\left[\overrightarrow{n}_P,\overrightarrow{n}_Q\right]=(3;0;-3)\) làm véc-tơ pháp tuyến \(\;\Rightarrow\, (\alpha)\colon x-z+2=0\).

Vì \( (P) \perp (\alpha) \) nên \( \overrightarrow{n}_P \perp \overrightarrow{n}_{\alpha} \) và \( (P) \parallel Oz \) nên \( \overrightarrow{n}_P \perp \overrightarrow{k} \). Chọn \( \overrightarrow{n}_P =[\overrightarrow{n}_{\alpha}, \overrightarrow{k}]=(2;-1;0) \).

Phương trình mặt phẳng \( (P) \) là \( 2x-y-7=0 \).

Tọa độ giao điểm của mặt phẳng \((\alpha)\) với các trục tọa độ là \(A(3;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;3)\). Ta có \(A\) và \(B \in (Oxy)\) và \(C \in Oz\).

Kí hiệu \(\text{Đ}_{(Oxy)}\) là phép đối xứng qua mặt phẳng \(Oxy\).

Ta có \(\text{Đ}_{(Oxy)}:(\alpha) \rightarrow (\beta) \Rightarrow \text{Đ}_{(Oxy)} :(A;B;C) \rightarrow (A;B;C')\), ( ảnh của \(A, B\) trùng với chính nó vì \(A,B \in (Oxy)\)).

Do \(C'\) đối xứng với \(C (0;0;3)\) qua mặt phẳng \(Oxy\), suy ra \(C'(0;0;-3)\).

Từ đó suy ra mặt phẳng \((\beta)\) có phương trình theo đoạn chắn là \[\displaystyle\frac{x}{3} +\displaystyle\frac{y}{-3}+\displaystyle\frac{z}{-3}=1 \Leftrightarrow (\beta) \colon x-y-z-3=0.\]

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(3;-5;-2)\); \(\overrightarrow{n}_P=(3;-2;1)\).

Mặt phẳng \((Q)\) chứa \(AB\) và vuông góc với \((P)\) nên \(\overrightarrow{n}_Q=[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}_P]=(-9;-9;9)\).

Khi đó phương trình \[(Q)\colon -9(x+2)-9(y-3)+9(z+1)=0 \Leftrightarrow -x-y+z+2=0\Leftrightarrow x+y-z-2=0.\]

\(\overrightarrow{AB}=(2;4;-4) \), \( \overline{u}=(2;1;-2) \) là VTPT của \( (P) \), \( [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u}]=(-4;-4;-6) \). Phương trình mặt phẳng \( (Q)\) \[2(x-1)+2(y+2)+3(z-3) \Leftrightarrow 2x+2y+3z-7=0.\]

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)\). Mặt phẳng \((P)\) có véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_P=(1;-1;1)\).

Mặt phẳng \((Q)\) qua hai điểm \(A(0;1;1)\), \(B(-1;0;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\colon x-y+z+1=0\) có véc-tơ pháp tuyến là \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}_P\right] =(0;2;2)\).

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) cần lập là \[0\cdot (x-0)+2\cdot (y-1)+2\cdot (z-1)=0 \Leftrightarrow y+z-2=0.\]

Giả sử \(A(m;0;0), B(0;n;0), C(0;0;p),\quad (m,n,p>0)\) là giao điểm của \((P)\) với các tia \(Ox, Oy, Oz\). Khi đó \(OA=m, OB=n, OC=p\) và phương trình mặt phẳng \((P)\) \[\displaystyle\frac{x}{m}+\displaystyle\frac{y}{n}+\displaystyle\frac{z}{p}=1\qquad (*)\]

Vì \(2OA=3OB=4OC\) nên \(2m=3n=4p\Leftrightarrow n=\displaystyle\frac{2}{3}m, p=\displaystyle\frac{m}{2}\). Lại có \((P)\) đi qua điểm \(M(1;-2;4)\), thay vào \((*)\) ta có phương trình \[\displaystyle\frac{1}{m}-\displaystyle\frac{2}{\frac{2m}{3}}+\displaystyle\frac{4}{\frac{m}{2}}=1\Leftrightarrow m=6\Rightarrow n=4, p=3.\] Vậy \((P)\colon \displaystyle\frac{x}{6}+\displaystyle\frac{y}{4}+\displaystyle\frac{z}{3}=1\) hay \((P)\colon x+\displaystyle\frac{3}{2}y+2z-6=0\).

Vậy \(2a+b+c=2\cdot \displaystyle\frac{3}{2}+2-6=-1\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)\) và véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n}_P=\left(1;-3;2\right)\).

Mặt phẳng \((Q)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) có một véc-tơ chỉ phương là \[\overrightarrow{n}_Q=\left[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n}_P\right]=\left(0;8;12\right) =4\left(0;2;3\right).\] Phương trình mặt phẳng \((Q)\) là \[0\cdot (x-2)+2\cdot (y-4)+3\cdot (z-1)=0.\] Hay \((Q)\colon 2y+3z-11=0\). Từ đó suy ra \(a=0\), \(b=2\), \(c=3\). Do đó \(a+b+c=0+2+3=5\).

Đường thẳng \(BC\) qua \(B(1;1;2)\) có VTCP \(\overrightarrow{a}=(-2;1;-4)\) có phương trình là \(\begin{cases}1-2t\\ 1+t\\ 2-4t\end{cases}\).

\(I\in BC\) nên \(I(x=1-2t;y=1+t;z=2-4t)\).

Ta có \[\begin{aligned}IB=2IC \\ \Leftrightarrow\ &IB^2=4IC^2\\ \Leftrightarrow\ & (2t)^2+t^2+(4t)^2=4[(2t-2)^2+(1-t)^2)+(4t-4)^2]\\ \Leftrightarrow\ & 3t^2-8t+4=0\\ \Leftrightarrow\ & t=2\ \vee\ t=\displaystyle\frac{2}{3}.\end{aligned}\]

+) Với \(t=2\) thì \(I(-3;3;-6)\).

+) Với \(t=\displaystyle\frac{2}{3}\) thì \(I\left(-\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{5}{3};-\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) (loại vì tọa độ điểm \(I\) là số nguyên).

Ta có \(\overrightarrow{n}_{(P)}=(1;-2;2)\), \(\overrightarrow{IA}=(4;-2;5)\) \(\Rightarrow[\overrightarrow{n}_{(P)},\overrightarrow{IA}]=(-6;3;6)\) là một VTPT của \((\alpha)\).

Vậy mặt phẳng \((\alpha)\) qua \(A\) có phương trình là \(2x-y-2z-3=0\).

Mặt cầu \((\mathcal{S})\) có tâm \(I(1;1;-2)\). Để \((P)\) cắt \((\mathcal{S})\) theo đường tròn có bán kính lớn nhất thì đó là đường tròn lớn. Suy ra \(I \in (P) \Leftrightarrow m=4\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;1;-2)\) và bán kính \(R=5\). Mặt phẳng \((P)\) cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất khi và chỉ khi \(\mathrm{d}[I,(P)]\) nhỏ nhất. Ta có

\[\mathrm{d}[I,(P)]=\dfrac{|1-1+2+m^2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}}=\dfrac{m^2+2}{\sqrt{3}}\geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}\]

Suy ra \(\mathrm{d}[I,(P)]\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow m^2+2=2\Leftrightarrow m=0\).

Với \(m=0\) thì \(\mathrm{d}[I,(P)]=\dfrac{2}{\sqrt{3}} < R\) nên \((P)\) cắt mặt cầu. Do đó giá trị \(m=0\) thỏa mãn.

\((S)\) có bán kính \(R=3\) và tâm \(I(0;0;0)\), \(IM=\sqrt{6} < 3\) nên \(I\) nằm trong hình cầu \((S)\). Gọi \(r\) là bán kính của đường tròn, \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\), ta có \(r^2= R^2 - \mathrm{d}^2(I,(P))=9-\mathrm{d}^2(I,(P)) \geq 9 - IM^2 =3\), suy ra bán kính \(r_{\min} = \sqrt{3}\) khi \(\overrightarrow{IM}\) là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

Vậy phương trình của mặt phẳng \((P) \colon (x-1)-(y+1)+2(z-2)=0 \Leftrightarrow x-y+2z-6=0\).

Ta có \(\vec{AB}=(-3;3;-6)\) cùng phương với véc-tơ \(\vec{u}=(1;-1;2)\Rightarrow\) phương trình đường thẳng \(AB\colon \begin{cases}x=t\\ y=1-t\\ z=2t\end{cases}\).

Xét mặt cầu \((S)\colon (x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=25\Rightarrow I(1;2;3)\) và \(R=5\).

Gọi \(H(t;1-t;2t)\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(AB\perp IH\Rightarrow \vec{IH}=(t-1;-t-1;2t-3)\).

Vì \(AB\perp IH\Rightarrow t-1+t+1+4t-6=0\Rightarrow t=1\Rightarrow H(1;0;2)\), \(\vec{IH}=(0;-2;-1)\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến giữa \((P)\) và \((S)\), \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \((P)\Rightarrow IK\leq IH\).

Ta có \(r=\sqrt{R^{2}-IK^{2}}\geq \sqrt{R^{2}-IH^{2}}\). Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(K\equiv H\).

Khi đó phương trình mặt phẳng \((P)\) nhận \(\vec{IH}=(0;-2;-1)\) là véc-tơ pháp tuyến và đi qua điểm \(H(1;0;2)\) là \(2y+z-2=0\Rightarrow T=3\).

Gọi \(G\) là điểm thỏa mãn \[ \begin{aligned} &\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ &A-G+2(B-G)+3(C-G)=0\\ \Leftrightarrow\ &G=\displaystyle\frac{A+2B+3C}{6}=\left(\displaystyle\frac{4}{6};\displaystyle\frac{3}{6};\displaystyle\frac{-1}{6}\right). \end{aligned} \] Từ đó ta có \[\begin{aligned} T=\ &MA^2 + 2MB^2 + 3MC^2\\ =\ &\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GM}\right)^2+ 2\left(\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GM}\right)^2+ 3\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GM}\right)^2\\ =\ &GA^2-2\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{GM}+GM^2+ 2GB^2-4\overrightarrow{GB}\cdot\overrightarrow{GM}+2GM^2+ 3GC^2-6\overrightarrow{GC}\cdot\overrightarrow{GM}+3GM^2\\ =\ &GA^2+2GB^2+3GC^2- 2\overrightarrow{GM}\left(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+3\overrightarrow{GC}\right) +6GM^2\\ =\ &GA^2+2GB^2+3GC^2 + 6GM^2. \end{aligned}\] Từ đó suy ra \(T\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(GM\) nhỏ nhất. Xảy ra khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) lên mặt phẳng \((P)\). Suy ra \[GM=\mathrm{d}[G,(P)]=\sqrt{3}.\]

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Ta có \(MA^2+MB^2+MC^2 = 3MG^2+ GA^2+GB^2+GC^2\), dễ thấy \(MA^2+MB^2+MC^2\) nhỏ nhất khi \(MG\) nhỏ nhất, suy ra \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên mặt phẳng \((Oxy)\). Dễ thấy \(G(1;3;-1) \Rightarrow M(1;3;0)\).

Ta tìm điểm \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\), hay \[\begin{aligned} &\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}+2(\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OI})=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{OI}=\displaystyle\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB})\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{OI}=\left(\displaystyle\frac{2+2\cdot 2}{3};\displaystyle\frac{0+2\cdot 3}{3}; \displaystyle\frac{0+2\cdot 0}{3}\right)=(2;2;0)\\ \Leftrightarrow\ & I(2;2;0). \end{aligned}\]

Lúc này ta có \[|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM}+2(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM})|=|\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-3\overrightarrow{IM}|=3IM. \] Để \(|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(IM\) phải nhỏ nhất, điều đó xảy ra khi \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên \((P)\).

Lúc này, do \(\overrightarrow{IM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{n}=(1;1;1)\) là véc-tơ pháp tuyến của \((P)\) nên \(\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{n}\), trong đó \(k\) là một số thực.

Ta có \[\begin{aligned} &\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{n}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OI}=k\overrightarrow{n}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OI}+k\overrightarrow{n}\\ \Leftrightarrow\ &\overrightarrow{OM}=(2+k; 2+k; 0+k)\\ \Leftrightarrow\ &M=(2+k;2+k;k). \end{aligned}\] Do \(M\) thuộc mặt phẳng \((P)\), ta có \[(2+k)+(2+k)+k-7=0\Leftrightarrow k=1\Rightarrow M(3;3;1). \] Vậy \(x_M=3\).

Vì \(M \in (Oxy)\) nên \(M(x_0;y_0;0)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Ta có \(G(2;1;3)\).

Khi đó \[\begin{aligned} \left| \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} \right| & = \left| \vec{MG} + \vec{GA} + \vec{MG} + \vec{GB} + \vec{MG} + \vec{GC} \right| \\ & = \left| 3 \vec{MG} \right| = 3MG = 3\sqrt{(x_0 - 2)^2 + (y_0 - 1)^2 + 3^2} \geq 9. \end{aligned}\] Dấu ``\(=\)'' xảy ra khi \(x_0 = 2\) và \(y_0 = 1\) hay \(M(2;1;0)\).

Vậy \(P = x_0 + y_0 + z_0 = 3\).

\(G\) là trọng tâm của \(\triangle ABC\Rightarrow G\left(\displaystyle\frac{1-2+4}{3};\displaystyle\frac{2+4+0}{3};\displaystyle\frac{3+4+5}{3}\right)=\left(1;2;4\right)\).

Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z=0\).

\(GM\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên mặt phẳng \((Oxy)\). Khi đó, ta có \[GM=\mathrm{d}\left(G,(Oxy)\right)=\displaystyle\frac{|4|}{\sqrt{1}}=4.\]

Phương trình mặt phẳng \((P):\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

Điểm \(M(1;1;1)\in (P)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow b+c=\displaystyle\frac{1}{2}bc\ge 2\sqrt{bc}\Rightarrow \sqrt{bc}\ge 4\Leftrightarrow bc\ge 16\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-2;b;0),\overrightarrow{AC}=(-2;0;c)\Rightarrow \left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=(bc;2c;2b)\).

\(S_{\Delta ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2+4b^2+4c^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2b^2c^2-8bc}\).

Vì \(bc\ge 16\Rightarrow 2b^2c^2-8bc\ge 256\Rightarrow S_{\Delta ABC}\ge 8\).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) nhỏ nhất khi \(bc=16\).

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\colon \displaystyle\frac{x}{a}+\displaystyle\frac{y}{b}+\displaystyle\frac{z}{c}=1\).

\(I(1;3;3)\in (ABC)\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{3}{b}+\displaystyle\frac{3}{c}=1\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si \[1=\displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{3}{b}+\displaystyle\frac{3}{c}\ge \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3^2}{abc}}\Rightarrow abc\ge 9.\]

Thể tích tứ diện \(O.ABC\) là \(V=\displaystyle\frac{1}{6}abc\ge \displaystyle\frac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\displaystyle\frac{1}{a}=\displaystyle\frac{3}{b}=\displaystyle\frac{3}{c}=\displaystyle\frac{1}{3}\Rightarrow \begin{cases}a=3\\ b=c=9.\end{cases}\)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là \[\displaystyle\frac{x}{3}+\displaystyle\frac{y}{9}+\displaystyle\frac{z}{9}=1\Leftrightarrow 3x+y+z-9=0.\]

Phương trình đường thẳng \(BC: \begin{cases}x=1+2t\\ y=t\\ z=2+2t\end{cases}\).

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) suy ra \(I(3;1;4)\).

Kẻ \(AH\perp (P)\), ta có \(AH\) đạt giá trị lớn nhất khi \(H\) trùng \(I\) hay \(AI\perp (P)\).

Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(x-4y+z-3=0\).

Vậy \(T=\displaystyle\frac{a}{b+c+d}=-\displaystyle\frac{1}{6}\).

Thử đáp án ta thấy phương trình mặt phẳng \( 3x+3y+3z-1=0 \) cắt ba trục tọa độ tại \( A\left (\displaystyle\frac{1}{3};0;0\right ) \), \( B\left (0;\displaystyle\frac{1}{3};0\right ) \), \( C\left (0;0;\displaystyle\frac{1}{3}\right ) \) thỏa mãn \( OA + OB + OC + AB + BC + CA = 1 + \sqrt{2} \)

Thay tọa độ của điểm vào vế trái phương trình mặt phẳng \((P)\), ta được hai giá trị lần lượt là \(6\) và \(-12\) nên suy ra \( A,\ B\) nằm khác phía với \((P)\).

Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua mặt phẳng \((P) \Rightarrow IA=IA' \Rightarrow \left|IA-IB\right|=\left|IA'-IB\right|\leqslant A'B\).

Dấu đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow I=A'B\cap (P)\).

Vì \(\displaystyle\frac{IA'}{IB}=\displaystyle\frac{IA}{IB}=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên suy ra \(A'\) là trung điểm của \(IB\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \((P) \Rightarrow AH\colon \left\{\begin{aligned}&x=3+2t \\ &y=1-t \\ &z=t \end{aligned}\right.\) \[H=AH\cap (P) \Rightarrow 6+4t-1+t+t+1=0 \Leftrightarrow t=-1 \Rightarrow H(1;2;-1).\] Ta có: \(H\) là trung điểm của \(AA' \Rightarrow A'=(-1;3;-2)\).

\(A'\) là trung điểm của \(IB \Rightarrow I=(7;2;-13)\). Vậy \(a+b+c=7+2-13=-4\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên mặt phẳng \((P)\).

Ta có \(\mathrm{d}\left(O,(P)\right)=OH\le OB\).

Suy ra \(\max\mathrm{d}\left(O,(P)\right)=OB\) khi \(H\equiv B\) hay \(\overrightarrow{OB}\) là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).

Vậy \((P)\) đi qua \(B(1;2;-1)\) và nhận \(\overrightarrow{OB}=(1;2;-1)\) làm một véc-tơ pháp tuyến \((P)\colon x+2y-z-6=0\).

Từ đó suy ra \(A^2+B^2+C^2+D^2=1^2+2^2+(-1)^2+(-6)^2=42\).

Hình chiếu của \(O\) lên \((ABC)\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Do đó \(\mathrm{d}(O;(ABC))=OH\).

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{OH^2}=\displaystyle\frac{1}{OA^2}+\displaystyle\frac{1}{OB^2}+\displaystyle\frac{1}{OC^2}\).

Do đó \(\displaystyle\frac{1}{OA^2}+\displaystyle\frac{1}{OB^2}+\displaystyle\frac{1}{OC^2}\) nhỏ nhất khi \(OH\) lớn nhất.

Mặt khác \(OH=\mathrm{d}(O;(ABC)) \leq OM \Rightarrow OH\) đạt giá trị lớn nhất khi \(H\equiv M\).

Vậy \((P)\) đi qua \(M(1;2;3)\) và véc-tơ pháp tuyến \(\overrightarrow{OM}=(1;2;3)\) là \(x+2y+3z-14=0\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;3)\) và bán kính \(R=5\).

Vì điểm \(B(0;1;0) \in (P)\) nên \(b=2\). Vì điểm \(A(3;-2;6) \in (P)\) nên \(3a-2b+6c-2=0 \Leftrightarrow a=2-2c\). Khi đó \((P) \colon (2-2c)x+2y+cz-2=0\).

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến và \(d\) là khoảng cách từ tâm \(I\) đến mặt phẳng \((P)\). Khi đó \(r=\sqrt{R^2-d^2}\). Do đó \(r\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\) lớn nhất.

Ta có \(d=\displaystyle\frac{|(2-2c)+4+3c-2|}{\sqrt{5c^2-8c+8}}=\displaystyle\frac{|c+4|}{\sqrt{5c^2-8c+8}}=\sqrt{\displaystyle\frac{(c+4)^2}{5c^2-8c+8}}\).

Xét hàm số \(y=f(c)=\sqrt{\displaystyle\frac{(c+4)^2}{5c^2-8c+8}}\) trên \(\mathbb{R}\). Ta có \(y'=\displaystyle\frac{-48(c+4)(c-1)}{2 \sqrt{\displaystyle\frac{(c+4)^2}{5c^2-8c+8}}}=0 \Leftrightarrow c=1\).

Bằng cách lập bảng biến thiên, ta có \(d\) lớn nhất bằng \(\sqrt{5}\) khi \(c=1\). Khi đó \(a=0, b=2, c=1\) hay \(T=a+b+c=3\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).

Xét hình chóp \(O.ABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc, \(OH\perp(P)\) nên ta được \[T=\displaystyle\frac{1}{OA^2}+\displaystyle\frac{1}{OB^2}+\displaystyle\frac{1}{OC^2}=\displaystyle\frac{1}{OH^2}\ge \displaystyle\frac{1}{OM^2}.\]

Vậy \(T\) nhỏ nhất nếu \((P)\) đi qua \(M(1;2;3)\) và nhận \(\overrightarrow{OM}(1;2;3)\) làm véc-tơ pháp tuyến.

Ta có phương trình mặt phẳng \[(P)\colon 1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z=14.\]