ÔN TẬP CHƯƠNG III

Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Khi đó \(\left\{\begin{aligned} &x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=2 \\ &y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=-1 \\ &z_M=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}=5 \end{aligned}\right. \Rightarrow M(2;-1;5)\).

Ta có \( \overrightarrow{AB}=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3) \).

\(\overrightarrow{n}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{i}=(1; 2; 3)+(-2; 0; 1)+2\cdot (-1; 0; 1)-3\cdot (1; 0; 0) = (-6; 2; 6).\)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2-(-1);-1-2;0-(-3))=(3;-3;3)\).

Ta có \( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left(1;2;2\right) \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| = 3. \)

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(-4-2;1-3;9+1)=(-6;-2;10)\).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A(2;-1;0)\) lên mặt phẳng \((Oxz)\) là điểm có tọa độ \((2;0;0)\).

Ta có \(\overrightarrow{OM}=(2;-3;1)\Rightarrow M(2;-3;1)\).

Lấy đối xứng qua mặt \((Oyz)\) thì \(x\) đổi dấu còn \(y,z\) giữ nguyên nên \(N(-3;-1;2)\).

Do \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng tọa độ \(\left(Oxz\right)\) ta suy ra \(M\left(3;0; 5\right)\).

Phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là \(x=0\) và hình chiếu của điểm \(I(a;b;c)\) lên mặt phẳng \((Oyz)\) là \((0;b;c)\).

Ta có \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1;1;1)\).

Tọa độ của \(\overrightarrow{AB}=(2;-1;1)\).

Điểm thuộc trục tung \(Oy\) suy ra \(x=0\) và \(z=0\).

Tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên trục \(Ox\) là \((-2;0;0)\).

\(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(-4;-2;9)\).

Ta có \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1\Leftrightarrow 3-m=1\Leftrightarrow m=2\).

Do giả thiết nên \(\overrightarrow{u}\left(\sqrt{3}; 0; 1\right)\) và \(\overrightarrow{v}\left(0; \sqrt{3}; 1\right)\). Khi đó \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \sqrt{3}\cdot 0 + 0\cdot \sqrt{3} + 1\cdot 1 = 1\).

Ta có \[\begin{aligned} \begin{cases}x_I=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_I=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_I=\displaystyle\frac{3}{2}\\ y_I=3\\ z_I=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases} \end{aligned}\] Suy ra \(I\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Dễ dàng tính được \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(6;-6;0)\).

\(\overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{b}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot (-5)-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 1;\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 2-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot (-3);\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 3-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 2 \right)=\left(-\displaystyle\frac{29}{12};\displaystyle\frac{35}{12};-\displaystyle\frac{1}{2}\right).\)

\[AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(4+2)^2+(1-7)^2+(5-3)^2}=2\sqrt{19}.\]

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \[\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D-1=3-2\\ y_D-3=2+1\\ z_D-2=-1-5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D=2\\ y_D=6\\ z_D=-4\end{cases}\Rightarrow D(2;6;-4).\]

Giả sử \(M=(x;y;z)\). Khi đó \[\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \begin{cases} (1-x)-(0-x)+(2-x)=0\\ (-1-y)-(2-y)+(1-y)=0\\ (0-z)-(0-z)+(3-z)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=3\\ y=-2\\ z=3.\end{cases}\] Vậy \(M=(3;-2;3)\).

\(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{u}=(2;-3;5)\).

Gọi \(D(x;y;z)\Rightarrow\overrightarrow{CD}=(x+3;y-1;z-2)\) và \(\overrightarrow{BA}=(-1;-3;7)\).

Để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành ta có \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\) \(\Rightarrow \begin{cases}x+3=-1\\ y-1=-3\\ z-2=7\end{cases} \Rightarrow D(-4;-2;9)\).

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}=(1;-2;3)\Rightarrow A(1;-2;3)\).

Tọa độ điểm \(G\) là

\[\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\displaystyle\frac{1+2+0}{3}=1\\ y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\displaystyle\frac{-1+0-2}{3}=-1\\ z_G=\displaystyle\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\displaystyle\frac{0-2-4}{3}=-2\end{cases}\Rightarrow G(1;-1;-2).\]

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \((Oyz)\), suy ra \(H(0;6;1)\).

Do \(M'\) đối xứng với \(M\) qua \((Oyz)\) nên \(MM'\) nhận \(H\) làm trung điểm, suy ra \(M'(2;6;1)\).

Vậy \(T=7\times2-2\times6+2017\times1-1=2018\).

Có \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}=0\cdot\overrightarrow{i}+1\cdot\overrightarrow{j}-1\cdot\overrightarrow{k}\), suy ra \(M(0;1;-1)\).

Ta có \(\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=(-2;3;0)-2(2;-2;1)=(-6;7;-2)\).

Vậy mô-đun của véc-tơ \(\overrightarrow{w}\) là \(\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{89}\).

Do \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(H\) nên \(AA'\) nhận \(H\) làm trung điểm \(\Rightarrow\begin{cases}x_{A'}=2x_H-x_A=1\\ y_{A'}=2y_H-y_A=-7\\ z_{A'}=2z_H-z_A=-5.\end{cases}\)

Hình chiếu của điểm \(M(1;-3;-5)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) có tọa độ là \((1;-3;0)\).

Hình chiếu vuông góc của \(M(x;y;z)\) lên \(Ox\) là điểm \(M_x(x;0;0)\). Vậy chọn \(K(4;0;0).\)

Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là \(G(1;1;1)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=(2+1;-1-2;-3-3)=(3;-3;-6)\).

Gọi \(D(x;y;z)\). Ta có \(\overrightarrow{DC}=(6-x;-y;1-z)\), \(\overrightarrow{AB}=(2;-3;3)\).

Do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\begin{cases}6-x=2\\ -y=-3\\ 1-z=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\ y=3\\ z=-2\end{cases}\Rightarrow D(4;3;-2)\).

Ta có \( MN=\sqrt{(4-1)^2+(3-0)^2+(0+2)^2}=\sqrt{22} \).

Giữ nguyên \( y,z \) và đổi dấu \( x \) nên ta suy ra điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \( \left( Oyz\right) \) là điểm \( M\left( -3; -1; 1\right) \).

Ta có \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} =(-1;5;2)\).

Ta có \(\begin{cases}x_{A'}=2x_O-x_A=3\\ y_{A'}=2y_O-y_A=-2\\ z_{A'}=2z_O-z_A=1\end{cases}\). Vậy \(A'(3;-2;1)\).

Điểm đối xứng của điểm \(A(x;y;z)\) qua trục hoành là điểm có dạng \(A'(x;-y;-z)\).

Suy ra điểm đối xứng của điểm \(A(-2;3;-1)\) qua trục hoành là điểm \(A'(-2;-3;1)\).

Hình chiếu của điểm \(A(a; b; c)\) trên mặt phẳng \((Oxz)\) là điểm \(M(a; 0; c)\).

Áp dụng, ta có đáp án \(M(5;0;7)\).

\(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(Oy\) nên \(a=-3,b=2,c=1.\) Vậy \(a+b+c=0\).

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A(1; 2; 3)\) trên mặt phẳng \((Oxy)\) là điểm \(N(1; 2; 0)\).

\(AB=\sqrt{(1+1)^2+(0-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{4+4+1}=3\).

Hình chiếu của điểm \(A\) xuống mặt phẳng \((Oyz)\) là \(H(0;4;3)\) nên khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((Oyz)\) là \(AH=2\).

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases}x_C -1=2-1\\ y_C+1=1-0\\ z_C-1=2-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_C =2\\ y_C=0\\ z_C=2\end{cases}.\] Tọa độ điểm \(C(2; 0; 2)\).

Ta có \(ABCM\) là hình bình hành \(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \begin{cases} -2-x_M=1\\ 3-y_M=-3\\ 3-z_M=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_M=-3\\ y_M=6\\ z_M=-1.\end{cases}\)

Suy ra \(M(-3;6;-1)\), khi đó \(P=a+b-c=-3+6-(-1)=4\).

\(\overrightarrow{AB}=\left(1;1;0\right); \overrightarrow{AC}=\left(a-1;b-2;c+1\right)\).

\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a-1=\displaystyle\frac{1}{3} \\ & b-2=\displaystyle\frac{1}{3} \\ & c+1=0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a=\displaystyle\frac{4}{3} \\ & b=\displaystyle\frac{7}{3} \\ & c=-1. \end{aligned}\right.\)

Do giả thiết suy ra \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}\quad (*)\). Giả sử tọa độ điểm \(M\left(x_{0}; y_{0}; z_{0}\right)\) suy ra \(\overrightarrow{AM}\left(x_{0}; y_{0} + 2; z_{0} + 1\right)\) và \(\overrightarrow{MB}\left(1 - x_{0}; -1- y_{0}; 2 - z_{0}\right)\). Từ \((*)\) ta có

\[\begin{cases}x_{0} = 2\left(1 - x_{0}\right)\\ y_{0} + 2 = 2\left(- 1 - y_{0}\right)\\ z_{0} + 1 = 2\left(2 - z_{0}\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_{0} = 2\\ 3y_{0} = - 4\\ 3z_{0} = 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{0} = \displaystyle\frac{2}{3}\\ y_{0} = - \displaystyle\frac{4}{3}\\ z_{0} = 1.\end{cases}\]

Suy ra tọa độ điểm \(M\left(\displaystyle\frac{2}{3}; - \displaystyle\frac{4}{3}; 1\right)\).

\(M\in Ox\Rightarrow M(a;0;0)\). \(\overrightarrow{MA}=(-1-a;2;6-c)\); \(\overrightarrow{MB}=(5-a;-4;2-c)\); \(\overrightarrow{AB}=(6;-6;-4)\).

\(\overrightarrow{MA}=k\cdot \overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \begin{cases}-1-a=k(5-a)\\ 2=-4k\\ 6-c=k(2-c)\end{cases} \Rightarrow k=-\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Ta có \(\begin{cases}\overrightarrow{AB}=(3;2;0)\\ \overrightarrow{AD}=(3;0;1)\\ \overrightarrow{AA'}=(4;2;3).\end{cases}\)

Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp, ta có

\[\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\Rightarrow \begin{cases}x_{C'}+3=10\\ y_{C'}=4\\ z_{C'}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_{C'} =7\\ y_{C'}=4\\ z_{C'}=4\end{cases} \Rightarrow C'(7;4;4).\]

Gọi \(I, I'\) lần lượt là tâm của \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\). Khi đó:

\(I\) là trung điểm \(AC\) nên \(I\left( \displaystyle\frac{1}{2};2;\displaystyle\frac{1}{2}\right) \).

\(I'\) là trung điểm \(B'D'\) nên \(I'\left( \displaystyle\frac{1}{2};3;\displaystyle\frac{5}{2}\right) \).

Hơn nữa \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{II'}\Leftrightarrow \left(x_{A'}+3;y_{A'}-2;z_{A'}-1 \right)=(0;1;2) \) hay \(A'(-3;3;3)\).

Giả sử \(D\) có tọa độ \((x;y;z)\). Ta có \(\overrightarrow{AD} = (x+3;y-4;z-2)\), \(\overrightarrow{AB} =(-2;2;0)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;2;-3)\).

Suy ra \(2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (-7;10;-9)\).

\[\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \begin{cases}x+3 =-7 \\ y-4 = 10 \\ z-2 = -9\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-10 \\ y=14 \\ z=-7.\end{cases}\]

Hai véc-tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương \(\Leftrightarrow\displaystyle\frac{m}{1}=\displaystyle\frac{2}{n}=\displaystyle\frac{4}{2}\Leftrightarrow m=2,\ n=1\).

Vì \(A\in (Oxy)\) và \(B\in Oz\) nên \(A(x;y;0)\), \(B(0;0;z)\).\\ Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có \(\begin{cases}\displaystyle\frac{x+0+1}{3}=2\\ \displaystyle\frac{y+0+1}{3}=5\\ \displaystyle\frac{0+z+1}{3}=8\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=5\\ y=14\\ z=23\end{cases}\).

Vậy \(A(5;14;0)\), \(B(0;0;23)\).

Gọi \(P(x_P;y_P;z_P)\), khi đó \(\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( x_M+x_N+x_P\right) \\ y_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( y_M+y_N+y_P\right) \\ z_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( z_M+z_N+z_P\right)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_P=0\\ y_P=3\\ z_P=0.\end{cases}\)

Vậy \(P(0;3;0)\).

\[\begin{aligned} & \overrightarrow{MN}=(2;10;-14),\\ & \overrightarrow{ME}=(1;5;-4),\\ & \overrightarrow{MF}=(-1;-5;7),\\ & \overrightarrow{NE}=(-1;-5;10),\\ & \overrightarrow{NF}=(-3;-15;21). \end{aligned}\] Từ đó suy ra hai véctơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{MF}\) cùng phương vì \(\overrightarrow{MN}=-\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{NF}\), do đó ba điểm \(M,\ N,\ F\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow -2+2+3m=0 \Leftrightarrow m = 0.\)

Từ giả thiết ta có \(A(3;1;-2)\). Từ đó \(\overrightarrow{AB}=(m-3;m-2;-2)\).

Ta có \(AB=3\Leftrightarrow AB^2=9\Leftrightarrow (m-3)^2+(m-2)^2+(-2)^2=9\Leftrightarrow 2m^2-10m+8=0\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=4.\)

Vậy \(m=1\) hoặc \(m=4\).

\[\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{2\cdot(-1)+1\cdot0+0\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}}=-\displaystyle\frac{2}{5}.\]

Ta có \(\widehat{BAC} = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right)\), \(\overrightarrow{AB} = (-5; -4; -1)\), \(\overrightarrow{AC} = (3;1;2)\). Ta có \[\cos \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC} \right|} = \displaystyle\frac{-21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{14}} = - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{BAC} = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right) = 150^\circ.\]

\(\overrightarrow{MN}=(1;-2;0)\) và \(\overrightarrow{NP}=(-2;m-2;1)\). Để \(MN\perp NP\) thì \(1\cdot(-2)+(-2)\cdot (m-2)=0 \Leftrightarrow m=1\).

\(\overrightarrow{BA}=(3;2;-2),\overrightarrow{BC}=(2;m-2;1)\).

Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) thì

\[\(BA\perp BC\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow 3\cdot 2+2\cdot (m-2)+(-2)\cdot 1=0\Leftrightarrow m=0\).\]

Gọi \(E(x;0;0)\in Ox\). Ta có \(\overrightarrow{MN}=(-4;-4;4)\), \(\overrightarrow{ME}=(x-2;-3;1)\).

\(\triangle MNE\) vuông tại \(M\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{ME}=0\Leftrightarrow x-2-3-1=0\Leftrightarrow x=6\).

Vậy tọa độ điểm \(E\) là \((6;0;0)\).

Ta có \(\left(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right)^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right) = 49\).

Do đó \(\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|^2=49 \Rightarrow \left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right| =7\).

Tâm của \((S)\colon (x+3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2\) có tọa độ là \((-3;-1;1)\).

Bán kính mặt cầu \(R=\sqrt{3}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-2;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2-(-3)}=3\).

Ta có \( (S): (x-1)^2+y^2+(z+2)^2=4\Rightarrow (S) \) có tâm \( I(1;0;-2). \)

Bán kính mặt cầu \( R=\sqrt{2^2+1^2+3^2-5}=3. \)

Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(R=\sqrt{16} =4\).

Với hình cầu \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\) thì bán kính là \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\). Nên bán kính của \((S)\) là \(R=\sqrt{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2;1;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2-(-3)}=3\).

Tâm của mặt cầu \((S)\) là \(I(2;0;-1)\).

Từ phương trình mặt cầu, đọc được ngay tọa độ tâm \(I(9;1;1)\) và bán kính \(R=5\).

Dạng phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Khi đó mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(a,b,c)\). Vậy \(I(-4;3;-1)\).

Phương trình mặt cầu có dạng \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Tâm \(I(a,b,c)\), bán kính \(R\).

Tâm \(I(-2;1;0)\), bán kính \(R=2\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-1;2;1)\) và bán kính \(R=\sqrt{9}=3\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;2;-1)\) và bán kính \(R=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2-2}=2\).

Ta có \(a=1\), \(b=-2\), \(c=3\), \(d=-2\). Tâm mặt cầu \(I(1;-2;3)\), bán kính \(R=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2-(-2)}=4\).

Lần lượt thay tọa độ các điểm \(O, A, B\) vào phương trình mặt cầu \((S)\) ta chỉ thấy duy nhất điểm \(O\) thuộc mặt cầu \((S)\).

Phương trình \(x^2+y^2+z^2+4x-2y+z-1=0\) là phương trình mặt cầu vì có dạng là \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\) và thỏa \(a^2+b^2+c^2-d>0\) (dễ nhận biết vì \(d=-1<0\)).

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi: \( (2)^2+(-1)^2+(1)^2-m > 0 \Leftrightarrow m < 6 \).

Mặt cầu có tâm \(I(0;1;0)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\). Vì \(IP=\sqrt{3}>R\) nên điểm \(P\) nằm ngoài mặt cầu \((S)\).

Xét phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 7 = 0\Rightarrow a=1, b=-2, c=-\displaystyle\frac{3}{2}, d=7\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=\displaystyle\frac{1}{4}>0\). Vậy \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 7 = 0\) là phương trình mặt cầu.

Ta có phương trình \[x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y + 2mz + m^2 + 5m = 0\Leftrightarrow \left(x - m\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 + \left(z + m\right)^2 = m^2 - 5m + 4\] Để thỏa mãn bài toán khi \(m^2 - 5m + 4 > 0\Leftrightarrow m < 1\ \vee\ m > 4.\)

\(R=5\Leftrightarrow \sqrt{1+4+4+m}=5\Leftrightarrow m=16\).

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu \(\Leftrightarrow 1^2+1^2+2^2-m>0\Leftrightarrow m<6\).

Ta có \(a=m\), \(b=-3\), \(c=-2m\) và \(d=6m^2-4m+12\).

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \[a^2+b^2+c^2-d=m^2+9+4m^2-(6m^2-4m+12) > 0 \Leftrightarrow m^2-4m+3 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3.\]

Điều kiện \(3m^2-27>0\Leftrightarrow m < -3\) hay \(m>3\). Mặt khác \[m\in [-2018;2018]\Rightarrow m\in \{-2018;-2017;\ldots;-5;-4;4;5;\ldots;2017;2018\}.\] Có tất cả \(4030\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Để phương trình \(x^2+y^2+z^2-2(m+2)x+4my-2mz+5m^2+9=0\) là phương trình của một mặt cầu thì: \({(m+2)}^2+{(2m)}^2+m^2-5m^2-9>0\Leftrightarrow m^2+4m-5>0\Leftrightarrow m<-5\) hoặc \(m>1\).

Từ phương trình ta có \(a=-2m+3; b=m+1; c=-1; d=4m^2-4m+3\).

Để \(\left(1\right)\) không là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi \(a^2+b^2+c^2-d\leq 0\) tức là

\(\left(-2m+3\right)^2+\left(m+1\right)^2+1-4m^2+4m-3\leq 0 \Leftrightarrow m^2-6m+8\leq 0 \Leftrightarrow 2\leq m\leq 4\).

Vậy \(S=\left\{2;3;4\right\}\) và tổng các phần tử của \(S\) là \(9\).

Áp dụng công thức mặt cầu tâm \(I(a;b;c)\), bán kính \(R\) có phương trình là \[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\]

Mặt cầu tâm \(I(3;-1;0)\), bán kính \(R=5\) có phương trình là \((x-3)^2+(y+1)^2+z^2=25\).

Mặt cầu tâm \(A(2;-3;1)\) và bán kính \(R=5\) có phương trình là \[(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25.\]

Mặt cầu có bán kính \(R=IA=\sqrt{13}\).

Mặt cầu tâm \(I(2; -2; 3)\) bán kính \(R=\sqrt{13}\) là \((x-2)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 = 13\).

Ta có \(AB = \sqrt{\left(2 - 4\right)^2 + \left(1 + 4\right)^2 + \left(3 - 5\right)^2} = 2\sqrt{6}\). Gọi \(I\), \(R\) là tâm và bán kính của mặt cầu \(\left(S\right)\) suy ra \(R = \displaystyle\frac{AB}{2} = \sqrt{6}\) và \(I\left(3; - 1; 4\right)\). Khi đó phương trình mặt cầu \(\left(S\right)\) là \[\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 4\right)^2 = 6\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 8z + 20 = 0\]

Thể tích khối cầu \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3=972\pi\Leftrightarrow R=9\).

Phương trình mặt cầu \((S)\colon (x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=81\).

Mặt cầu \((S)\colon x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0\) có tâm \(I(2;-1;a)\) và \(R=\sqrt{a^2-10a+5}\).

Chu vi đường tròn lớn \(C=2\pi R=2\pi\sqrt{a^2-10a+5}\).

Vì \(C=8\pi\Leftrightarrow a^2-10a+5=16\Leftrightarrow a=11\ \vee\ a=-1\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên trục \(Ox\Rightarrow H(6;0;0)\). Khi đó \(R=IH=\sqrt{(6-6)^2+(0-3)^2+(0+4)^2}=5\).

Vì \((S)\) tiếp xúc với mặt phẳng \((Oxz)\) nên \(R=\mathrm{d}(I,(Oxz))=|y_I|=2\).

Vậy \((S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4\).

Bán kính mặt cầu \((S)\) là \(\mathrm{\,d}\left( I, (Oxz)\right) = 5\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(3;-4;5)\) và bán kính \(R=4\) có dạng \[(x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=16.\]

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu là \[\begin{aligned} &I\left(\displaystyle\frac{1+5}{2};\displaystyle\frac{-2+4}{2};\displaystyle\frac{3+7}{2}\right)=(3;1;5);\\ &R=IA=\sqrt{(3-1)^2+(1+2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{17}. \end{aligned}\] Vậy phương trình mặt cầu nhận \(AB\) làm đường kính là \[(x-3)^2+(y-1)^2+(z-5)^2=17.\]

\(I\) là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Ox\) suy ra \(I(1;0;0)\). Do đó, ta có \(\vec{IM}=(0;-2;3)\) suy ra \(|\vec{IM}|=\sqrt{13}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(IM\) có phương trình là \[(x-1)^2+y^2+z^2=13.\]

Bán kính mặt cầu tâm \( K \) và tiếp xúc với \( (Oxy) \) là \( R=\mathrm{d}(K,(Oxy))=2\sqrt{2}\Rightarrow \) phương trình mặt cầu là \( x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=8 \).

Trung điểm của \( AB \) là \( I(3; 2; 0) \).

Bán kính của mặt cầu \( (S) \) là \( R=IA=\sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2+(0+2)^2}=\sqrt{6} \).

Vậy phương trình mặt cầu là \( (S)\colon (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=6 \).

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu, áp dụng công thức diện tích mặt cầu ta có: \(4 \pi R^2 = 100 \pi \). \(\Rightarrow R = \sqrt{25} = 5\). Suy ra phương trình của mặt cầu cần tìm có dạng \((x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 25.\) Hay \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z - 11 = 0\).

\(\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-4)\Rightarrow AB=2\sqrt{6}\).

Vì mặt cầu nhận \(AB\) làm đường kính nên có tâm \(I(2;1;-2)\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{6}\). Phương trình của mặt cầu là \((x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z+3=0\).

Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(I(0;3;2)\) và độ dài đường kính \(AB=2R=2\sqrt{3}\).

Từ đó, phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là \(x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=3\).

Bán kính \(R = IA = \sqrt{2}\) nên phương trình mặt cầu là \((x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2\).

Vì \(\vec{AB}=(1;5;-7)\) nên bán kính của mặt cầu \((S)\) là \(AB=\left|\vec{AB}\right|=\sqrt{75}\). Suy ra phương trình mặt cầu \((S)\) là \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=75\).

Ta có \( IA=\sqrt{4+1+4}=3 \). Phương trình mặt cầu là \( (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9 \).

Gọi \((S)\): \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.\) Ta có

\[\begin{cases}A\in (S) \\ B\in (S) \\ C\in (S) \\ D\in (S)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -4a+d=-4 \\ -8b+d=-16 \\ -12c+d=-36 \\ -4a-8b-12c+d=-56\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \\ d=0.\end{cases}\]

Từ đó suy ra \( (S)\) có tâm \(I(1;2;3), R=\sqrt{14}\).

Phương trình mặt cầu \((S')\) có tâm \(I'\equiv I(1;2;3), R'=2R=2\sqrt{14}\) là \[(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=56.\]

Mặt cầu tiếp xúc với trục \( Oy \) nên bán kính mặt cầu \( R=\sqrt{2^2+(-3)^2} =\sqrt{13}. \)

Vậy phương trình mặt cầu tâm \( I(2;1,-3) \) tiếp xúc với trục \( Oy \) có phương trình \[(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =13. \]

Vì tâm \(I\) của mặt cầu \((S)\) nằm trên trục \(Ox\) nên tọa độ điểm \(I\) có dạng \(I(a;0;0)\).

Vì mặt cầu \((S)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;1)\); \(B(0;0;1)\) nên \(IA=IB\). Do đó

\[\sqrt{(1-a)^2+1+1}=\sqrt{a^2+1} \Leftrightarrow 2a =2 \Leftrightarrow a=1.\]

Suy ra \(I(1;0;0)\) và \(R=IA=\sqrt{2}\).

Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;0;0)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\) nên có phương trình \({\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=2\).

Vì \(I\in (Oxy)\Rightarrow I(a;b;0)\). Ta có \(\vec{AI}=(a-1;b-2;4);\vec{BI}=(a-1;b+3;-1);\vec{CI}=(a-2;b-2;-3)\).

Do \(I\) là tâm cầu nên

\[\begin{aligned} \begin{cases} IA = IB\\ IA = IC\end{cases} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(a-1)^2+(b-2)^2+4^2=(a-1)^2+(b+3)^2+1\\ (a-1)^2+(b-2)^2+4^2=(a-2)^2+(b-2)^2+9\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}-4b+20=6b+10\\ -2a+17=-4a+13\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1\\ a=-2\end{cases}\Rightarrow I(-2;1;0). \end{aligned}\]

Giả sử \(I(a;b;c)\) là tâm mặt cầu \((S)\). Ta có

\[\begin{aligned}\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\\ IA^2=ID^2\end{cases} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(a-2)^2+b^2+c^2=a^2+(b-4)^2+c^2\\ (a-2)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\\ (a-2)^2+b^2+c^2=(a-2)^2+(b-4)^2+(c+2)^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-4a+8b=12\\ -4a-4c=0\\ 8b-4c=20\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\ b=2\\ c=-1.\end{cases}\end{aligned}\]

Suy ra \(r=IA=\sqrt{6}\).

Mặt phẳng \((Oxy)\) có phương trình \(z=0\).

Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \((Oxy)\) là \(\mathrm{d}=3=R\).

Mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là \[(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9.\]

Ta có \(R=\mathrm{d}(I;Oy)=\sqrt{0^2+3^2}=3\).

Phương trình mặt cầu \((S)\) là \( x^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9 \).

Gọi phương trình mặt cầu có dạng \((S)\colon x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\).

Mặt cầu có tâm \(I(a;b;c)\). Vì \(I\in (Oxz)\) và \(A,B,C\in (S)\) nên ta có hệ \[\begin{aligned} \begin{cases}13-4a-6b+d=0\\ 17+8b-2c+d=0\\ 11-6a-2b-2c+d=0\\ b=0\end{cases}\Leftrightarrow\& \begin{cases} 13-4a-6b+d=0\\ 4a+14b-2c=-4\\ -2a+4b-2c=2\\ b=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\b=0\\c=0\\d=-17.\end{cases} \end{aligned}\] Vậy \(T=a+b+c=-1+0+0=-1\).

Chọn \(M(1;0;0)\) thuộc \(Ox\), \(\overrightarrow{MA}=(0;4;3)\);

vec-tơ chỉ phương của \(Ox\) là \(\overrightarrow{i}=(1;0;0)\).

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(Ox\), ta có

\(h=\mathrm{d}[A,Ox]=\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{i},\overrightarrow{MA}]|}{|\overrightarrow{i}|}=\displaystyle\frac{|(0;-3;4)|}{|(1;0;0)|}=5\).

Bán kính mặt cầu \(R=\sqrt{CI^2+h^2}=\sqrt{34}\).

Phương trình mặt cầu là \((S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=34\).

Tâm \(I\) thuộc trục \(Oz\) nên \(I(0;0;c)\), khi đó

\(IA=IB\Leftrightarrow (1-0)^2+(2-0)^2+(3-c)^2=(-2-0)^2+(1-0)^2+(5-c)^2\Leftrightarrow c=4\).

Bán kính \(R=IA=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2+(3-4)^2}=\sqrt{6}\).

Phương trình mặt cầu là \((S)\colon x^2+y^2+(z-4)^2=6\).

Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(-1;1;-2) \). Tâm của đường tròn giao tuyến \( I' \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) lên mặt phẳng \( Oyz \), suy ra tâm \( I'(0;1;-2) \).

Mặt cầu có tâm \(A(1;2;-3)\), bán kính \(R=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2+2}=4\).

Tâm \(I\) của đường tròn là hình chiếu của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((Oxy)\) nên \(I(1;2;0)\), và bán kính \[r=\sqrt{R^2-\mathrm{d}^2(A,(Oxy))}=\sqrt{7}.\]

\((S)\) có tâm \(O(0;0;0)\) và bán kính \(R=4\) do đó giao tuyến của nó với \((Oxy)\) là đường tròn có bán kính là \(R\). Đường cao hình nón là \(d=\mathrm{d}(I,(Oxy))=3\). Vậy độ dài đường sinh là \(l=\sqrt{d^2+R^2}=5.\)

Chú ý bốn đỉnh \(O,A,B,C\) là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật có các kích thước \(2;3;6\). Vậy \(R=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\displaystyle\frac{7}{2}\).

Từ đó suy ra \(V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot R^3=\displaystyle\frac{343\pi}{6}\).

Giả sử phương trình mặt cầu là \(x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0\). Từ giả thiết ta có hệ sau \[\begin{cases} 2^2+4a+d=0\\ (-3)^2-6b+d=0\\ 6^2+12c+d=0\\ d=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=\displaystyle\frac{3}{2}\\ c=-3\\d=0.\end{cases}\] Vậy \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\displaystyle\frac{7}{2}\).

Gọi \(I(a; b; c)\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(OABC\). Khi đó \[\begin{cases}OI^2=AI^2\\ OI^2=BI^2\\ OI^2=CI^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2+c^2=(a-1)^2+b^2+c^2\\ a^2+b^2+c^2=a^2+(b-2)^2+c^2\\ a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=\displaystyle\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=-1.\end{cases}\] Suy ra bán kính \(R=OI=\displaystyle\frac{3}{2}\).