ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Số phức \(-3+7i\) có phần ảo bằng \(7\).

Số phức có phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(4\) là \( z=3+4i \).

Số phức \(5+6i\) có phần thực bằng \(5\).

Số phức có phần thực bằng \(1\) và phần ảo bằng \(3\) là \(1+3i\).

\(\overline{z}=1-i,\) phần thực bằng \(1\), phần ảo bằng \(-1\).

Ta có \(\left|z\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).

Do \(z\) vừa là số thực vừa là số thuần ảo nên \(z=0\).
Vậy \(|z|=|0|=0\).

Số phức liên hợp của của số \(a+bi\) là \(a-bi\). Do đó \(\overline{z}=5-i\).

Ta có \(|z| = \sqrt{3^2+4^2}=5\).

Số phức liên hợp của số phức \(6-4i\) là \(6+4i\).

Số phức \(z=3-2i\) có mô-đun là \(\left|z\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\).

Theo định nghĩa có \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Vậy \(|z|=\sqrt{a+b}\) là mô-đun của \(z\) là mệnh đề sai.

\(z=2+i\Rightarrow \overline{z}=2-i\). Vậy \(\overline{z}\) có phần thực, phần ảo lần lượt là \(2\) và \(-1\).

Ta có phần thực của \(z\) bằng \(3\) và phần ảo của \(z\) bằng \(-1\). Do đó tổng phần thực và phần ảo là \(2\).

Ta có \(a=-3, b=2\) nên \(a+2b=1\).

Dễ thấy ngay \(z=\overline{\overline{z}}=\overline{-3-2i}=-3+2i\).

Ta có \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).

Ta có \(\left\{\begin{aligned} &\left|z_3\right| < \left|z_1\right|\\ &\left|z_3\right| < \left|z_2\right|}\Leftrightarrow \left\{&m^2+4 < 9\\ &m^2+4 < 10\end{aligned}\right.\Leftrightarrow m^2 < 5\Leftrightarrow -\sqrt{5} < m < \sqrt{5}\).

Ta có \(a=3,b=-5\Rightarrow S=a+b=-2\).

Số phức \(z=a+bi\) với \(a\), \(b \in \mathbb{R}\) có phần thực là \(a\) nên số phức \(z=7-5i\) có phần thực là \(7\).

Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \[(1+2i)z=4-3i+2z\Leftrightarrow (-1+2i)z=4-3i \Leftrightarrow z=-2-i.\] Vậy \(\overline{z}=-2+i\).

Số phức \(z=-3-2i\) có phần thực bằng \(-3\), phần ảo bằng \(-2\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(z\) là \(-5\).

\(|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}\).

Phần ảo của số phức \(z=2-3i\) là \(-3\).

Ta có \(|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5.\)

Từ \[(2x - 1) + (y + 1)i = 1 + 2i\Leftrightarrow \begin{cases}&2x - 1 = 1 \\ &y + 1 = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&x = 1 \\ &y = 1.\end{cases}\]

Vậy \(x^2 + 2xy + y^2 = 4\).

Ta có \[(2x+5y)+(4x+3y)i=5+2i \Leftrightarrow \begin{cases}&2x+5y=5\\&4x+3y=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&x=-\displaystyle\frac{5}{14}\\ &y=\displaystyle\frac{8}{7}.\end{cases}\]

\(x-1-yi=y+(2x-5)i\Leftrightarrow \begin{cases} x-1&=y\\ -y&=2x-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x-y&=1\\ 2x+y&=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=1.\end{cases}\)

Ta có \[x^2-2+yi=-2+5i \Leftrightarrow \begin{cases}&x^2-2=-2\\&y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&x=0\\&y=5.\end{cases}\]

Ta có: \[\left\{\begin{aligned} &x+y=3 \\ &2x-y=-6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x=-1 \\ &y=4.\end{aligned}\right.\]

Ta có \[(x+y)+(x-y)i=5+3i\Leftrightarrow\begin{cases}& x+y=5\\& x-y=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}& x=4\\& y=1\end{cases}\Rightarrow (x;y)=(4;1).\]

Ta có \[(2x-3yi)+(1-3i)=x+6i \Leftrightarrow x+1-(3y+9)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x+1=0\\ &3y+9=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=-1 \\ &y=-3.\end{aligned}\right.\]

\[\begin{aligned} &(3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i \Leftrightarrow (3x+2)+(2y+1)i=2x-3i\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}&3x+2=2x\\&2y+1=-3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&x=-2\\&y=-2.\end{cases} \end{aligned}\]

\[(3x+yi)+(4-2i)=5x+2i \Leftrightarrow 2x-4+(4-y)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &2x-4=0 \\ &4-y=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=2 \\ &y=4.\end{aligned}\right.\]

\[(2x-3yi)+(1-3i)=x+6i \Leftrightarrow x+1-(3y+9)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x+1=0 \\ &3y+9=0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=-1 \\ &y=-3.\end{aligned}\right.\]

\[\begin{aligned} &(3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i \Leftrightarrow (3x+2)+(2y+1)i=2x-3i\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}&3x+2=2x\\&2y+1=-3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&x=-2\\&y=-2.\end{cases} \end{aligned}\]

\[(3x+yi)+(4-2i)=5x+2i \Leftrightarrow 2x-4+(4-y)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&2x-4=0 \\ &4-y=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=2 \\ &y=4. \end{aligned}\right.\]

\[\begin{cases}&2x+1=2-x\\&1-2y=3y-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&x=\displaystyle\frac{1}{3}\\ &y=\displaystyle\frac{3}{5}.\end{cases}\]

\[\begin{aligned} & 2x+y+(2y-x)\mathrm{i}=x-2y+3+(y+2x+1)\mathrm{i}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}& 2x+y=x-2y+3\\ & 2y-x=y+2x+1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}& x+3y=3\\ & 3x-y=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}& x=0\\ & y=1.\end{cases} \end{aligned}\]

Vậy \(M=-1\).

Điểm biểu diễn số phức \(z=2-3i\) là \(M(2;-3)\).

Viết lại \(z=-2+i\). Từ đó điểm biểu diễn \(z\) là \(M(-2;1)\).

\(\overline{z}=1-2i\). Suy ra điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là \(M(1;-2)\).

Điểm biểu diễn của \(z\) trên mặt phẳng phức là \(M(4;-3)\).

Các điểm biểu diễn của các số phức \(z=7+bi, b\in\mathbb{R}\) có tọa độ \(M_b=(7;b),b\in\mathbb{R}\). Tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \(x=7\).

\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) suy ra \(G\left(\displaystyle\frac{4+1+1}{3};\displaystyle\frac{0+4+(-1)}{3}\right)=\left(2;1\right)\).

Vậy \(G\) là điểm biểu diễn của số phức \(z=2+i\).

Số phức \(z=2-3i\) có điểm biểu diễn \(P(2;-3)\).

Do \(M(3;-4)\) nên phần thực bằng \(3\), phần ảo bằng \(-4\), suy ra \(z=3-4i\).

Dễ thấy \(\bar z=2-i,\) điểm biểu diễn tương ứng có tọa độ là \((2;-1).\)

Điểm biểu diễn số phức \(z=4-i\) là \(M(4;-1)\).

Điểm biểu diễn của số phức \( z=2-3i \) trong mặt phẳng \( Oxy \) là \( (2;-3) \).

Điểm \( M(-1;5) \) biểu diễn của số phức \( z = -1+5i. \)
Vậy mô-đun của \( z \) là \( |z| = \sqrt{26} \).

Điểm biểu diễn cho số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là \(M(6;17)\).

Số phức liên hợp \(\overline{z}=1-3i\) nên \(M(1;-3)\).

Ta có \(A(-2;3)\), \(B(4;-5)\). \(M\) là trung điểm của \(AB\) \(\Rightarrow M(1;-1)\). Vậy \(M\) biểu diễn số phức \(1-i\).

Dựa vào hình vẽ ta được số phức \(z=3-4i\). Vậy số phức \(z\) có phần thực là \(3\) và phần ảo là \(-4\).

Vì điểm \(M(3;-2)\) nên nó là điểm biểu diễn của số phức \(z=3-2i\).

Từ hình vẽ, ta có \(z=3+2i\). Suy ra số phức liên hợp của số phức \(z\) là \(\overline{z} = 3-2i\).

Ta có tọa độ \(M(2;4)\), suy ra số phức biểu diễn bởi \(M\) là \(z=2+4i\).

Điểm biểu diễn của số phức \(z=-4+2i\) có tọa độ là \((-4;2)\). Vậy đó là điểm \(B\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy hai số phức \(z_4\) và \(z_3\) liên hợp nhau.

Để thỏa mãn bài toán suy ra \(a - 5 = - a\Leftrightarrow 2a - 5 = 0\Leftrightarrow a = \displaystyle\frac{5}{2}\).

\(z=1+2i\Rightarrow A(1;2)\); điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(y=2\Rightarrow B(a;2)\). Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) \(\Leftrightarrow OA=OB\Leftrightarrow 5=a^2+4\Leftrightarrow a=\pm 1\). Vậy điểm \(B\) biểu diễn cho số phức \(z=\pm 1+2i\).

Điểm biểu diễn của số phức liên hợp \(\bar{z}\) là \(M \left(a; -a^2 \right)\). Do đó điểm \(M\) thuộc \(y = -x^2\).

Dựa vào hình vẽ trên ta thấy số phức \(z\) có phần thực không âm và \(|z|\le2\).

Vậy số phức \(z\) thỏa mãn \(x\geq 0,\ |z|\le2\).