ÔN TẬP CHƯƠNG III
BÀI 2. TÍCH PHÂN
Dạng 1. Tính chất tích phân
Dạng 2. Tính tích phân dựa vào tính chất tích phân
Dạng 3. Tích phân của các hàm số cơ bản
Lý thuyết
| STT | Công thức cơ bản | Công thức mở rộng |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int\mathrm{d}x=x+C\) | |
| 2 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x}+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{(ax+b)^2}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{ax+b}+C\) |
| 3 | \(\displaystyle\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) | \(\displaystyle\int (ax+b)^ndx=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C\) |
| 4 | \(\displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\) | \(\displaystyle\int\sin (ax+b)\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C\) |
| 5 | \(\displaystyle\int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\) | \(\displaystyle\int\cos (ax+b)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C\) |
| 6 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\tan x+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2(ax+b)}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C\) |
| 7 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x=-\cot x+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2(ax+b)}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C\) |
| 8 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C\) |
| 9 | \(\displaystyle\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\) | \(\displaystyle\int e^{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+C\) |
| 10 | \(\displaystyle\int c^x\mathrm{d}x=\dfrac{c^x}{\ln c}+C\) | \(\displaystyle\int c^{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{c^{ax+b}}{\ln c}+C\) |
Dạng 4. Tính tích phân bằng cách đưa về hàm số cơ bản
Phương pháp giải
Một số công thức thường sử dụng
\(\bullet\quad\) \(\cos^2x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x\)
\(\bullet\quad\) \(\sin^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2x\)
\(\bullet\quad\) \(\cos a\cdot\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\)
\(\bullet\quad\) \(\sin a\cdot\sin b=-\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)-\cos(a-b)\right]\)
\(\bullet\quad\) \(\sin a\cdot\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\)
Hàm trong dấu tích phân là hàm phân thức
\(\bullet\quad\) Nếu hàm có dạng \(\dfrac{P(x)}{ax+b}\), trong đó \(P(x)\) là đa thức có bậc \(\geq 1\), thì ta sử dụng phép chia đa thức để biến đổi thành
\[\dfrac{P(x)}{ax+b}=P_1(x)+\dfrac{C}{ax+b}.\]
\(\bullet\quad\) Các biến đổi thường sử dụng đối với hàm phân thức
\[\dfrac{mx+n}{(ax+b)(cx+d)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d};\quad \dfrac{mx+n}{(ax+b)^2}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{(ax+b)^2}.\]
Để tìm \(A\), \(B\) ta sử dụng đồng nhất thức.
Dạng 5. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (hàm ẩn)
Ví dụ minh họa
Biết rằng \(\displaystyle\int_1^5f(x)\mathrm{\,d}x=8\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int_1^3f(2x-1)\mathrm{\,d}x\).
Lời giải
Đặt \(t=2x-1\Rightarrow dt=2dx\Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}dt\).
Khi \(x=1\Rightarrow t=1\), khi \(x=3\Rightarrow t=5\).
\[I=\int_1^5f(t)\dfrac{1}{2}dt=\dfrac{1}{2}\int_1^5f(t)dt=\dfrac{1}{2}\cdot 8=4.\]
Dạng 6. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp giải
| STT | Dấu hiệu | Đổi biến số |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int f\left(x^{n+1}\right)\cdot x^n\mathrm{d}x\) | \(t=x^{n+1}\) |
| 2 | \(\displaystyle\int f\left(\sin x\right)\cdot \cos x\mathrm{d}x\) | \(t=\sin x\) |
| 3 | \(\displaystyle\int f\left(\cos x\right)\cdot \sin x\mathrm{d}x\) | \(t=\cos x\) |
| 4 | \(\displaystyle\int f\left(\tan x\right)\cdot \dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x\) | \(t=\tan x\) |
| 5 | \(\displaystyle\int f\left(\cot x\right)\cdot \dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x\) | \(t=\cot x\) |
| 6 | \(\displaystyle\int f\left(\ln x\right)\cdot \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x\) | \(t=\ln x\) |
| 7 | \(\displaystyle\int f\left(e^x\right)\cdot e^x\mathrm{d}x\) | \(t=e^x\) |
Ví dụ minh họa
Tính \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sqrt{3\tan x+1}}{\cos^2x}\mathrm{d}x\).
Lời giải
Ta viết thành \(I=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sqrt{3\tan x+1}}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{3\tan x+1}\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x\).
Đặt \(t=\sqrt{3\tan x+1}\Rightarrow t^2=3\tan x +1\Rightarrow 2tdt=\dfrac{3}{\cos^2x}dx\Rightarrow \dfrac{1}{\cos^2x}dx=\dfrac{2}{3}tdt\).
Đổi cận: Khi \(x=0\Rightarrow t=1\); khi \(x=\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow t=2\).
\[I=\displaystyle\int\limits_1^2 t\cdot \dfrac{2}{3}t\mathrm{d}t=\dfrac{2}{9}t^3\Bigg|_1^2=\dfrac{14}{9}.\]
Dạng 7. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Ví dụ minh họa
Tính tích phân sau \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{\pi}\cos^2x\cdot\sin x\mathrm{\,d}x\).
Lời giải
Đặt \(t=\cos x\) suy ra \(\mathrm{\,d}t=-\sin x\mathrm{\,d}x\).
Đổi cận \(x=0 \Rightarrow t=1\), \(x=\pi\Rightarrow t=-1.\)
\[ \begin{aligned} I=&\ \displaystyle\int\limits_{1}^{-1}t^2\cdot (-1)\mathrm{\,d}t=\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}t^2\mathrm{\,d}t=\displaystyle\frac{t^3}{3}\bigg|_{-1}^1=\displaystyle\frac{2}{3}. \end{aligned} \]
Dạng 8. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần
Phương pháp giải
Công thức \(\displaystyle\int\limits_a^b udv=uv\Big|_a^b-\displaystyle\int\limits_a^b vdu.\)
| STT | Dấu hiệu | Cách đặt |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int P(x)\sin x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=\sin x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 2 | \(\displaystyle\int P(x)\cos x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=\cos x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 3 | \(\displaystyle\int P(x)e^x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=e^x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 4 | \(\displaystyle\int P(x)\ln x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=\ln x\\ dv=P(x)\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 5 | \(\displaystyle\int P(x)f'(x)\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=f'(x)\mathrm{d}x\end{cases}\) |
Ví dụ minh họa
Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}x\cos 2x\, \mathrm{d}x\).
Lời giải
Đặt \(\left\{\begin{aligned} &u = x\\ & \mathrm{d}v = \cos 2x\, \mathrm{d} x\end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} & \mathrm{d} u = \mathrm{d} x\\ &v = \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2x\end{aligned}\right.\).
\[ \begin{aligned} I=&\ \displaystyle\int\limits_{0}^{1}x\cos 2x\, \mathrm{d}x = \displaystyle\frac{x}{2}\sin 2x\Big\vert_{0}^{1} - \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\sin 2x\, \mathrm{d}x\\ =\ & \displaystyle\frac{x}{2}\sin 2x\Big\vert_{0}^{1} + \displaystyle\frac{1}{4}\cos 2x\Big\vert_{0}^{1} = \displaystyle\frac{1}{2}\sin 2 + \displaystyle\frac{1}{4}\cos 2 - \displaystyle\frac{1}{4}. \end{aligned} \]
Dạng 9. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp giải
Để tính tích phân dạng \(I=\displaystyle\int\limits_a^b f(u)\cdot u'dx\), ta đổi biến số \(t=u\).
Ví dụ minh họa
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\displaystyle\int\limits_{1}^{9}{\displaystyle\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}\mathrm{\,d}x=4\) và \(\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin x)}\cos x\mathrm{\,d}x=2\). Tính tích phân \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{f(x)}\mathrm{\,d}x\).
Lời giải
Xét tích phân \(J=\displaystyle\int\limits_{1}^{9}{\displaystyle\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}}\mathrm{\,d}x=4\)
Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{\,d}t=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{\,d}x\).
Khi \(x=1\Rightarrow t=1\), khi \(x=9\Rightarrow t=3\).
\[ \begin{aligned} J=&\ 4\Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{1}^{3}{f(t)\displaystyle\frac{1}{2}}\mathrm{\,d}t=4 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{1}^{3}{f(t)}\mathrm{\,d}t=8 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{1}^{3}{f(x)}\mathrm{\,d}x=8. \end{aligned} \]
Xét tích phân \(K=\displaystyle\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin x)}\cos x\mathrm{\,d}x=2\)
Đặt \(t=\sin x\Rightarrow \mathrm{\,d}t = \cos x \mathrm{\,d}x\).
Khi \(x=0\Rightarrow t=0\), khi \(x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=1\).
\(K=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f(t)}\mathrm{\,d}t=2 \Leftrightarrow \displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f(x)}\mathrm{\,d}x=2\).
Như vậy ta có: \(I=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{f(x)}\mathrm{\,d}x = \displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f(x)}\mathrm{\,d}x + \displaystyle\int\limits_{1}^{3}{f(x)}\mathrm{\,d}x = 2+8=10\).
Dạng 10. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp từng phần
Phương pháp giải
Để tính tích phân \(I=\displaystyle\int_a^b P(x)f'(x)dx\), ta đặt
\[\begin{cases}u=P(x)\\ dv=f'(x)dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=P'(x)dx\\ v=f(x).\end{cases}\]
Ví dụ minh họa
Cho \(f(0)=6\) và \(\displaystyle \int \limits_0^1 (2x-2)f'(x)\mathrm {\,d}x=6\). Tính tích phân \(\displaystyle \int \limits_0^1 f(x)\mathrm {\,d}x\).
Lời giải
Gọi \(I=\displaystyle \int \limits_0^1 (2x-2)f'(x)\mathrm {\,d}x\).
Đặt \(\left\{\begin{aligned} & u=2x-2\\ & \mathrm{\,d}v=f'(x)\mathrm{\,d}x\end{aligned} \right.\Rightarrow\) \(\left\{\begin{aligned} & \mathrm {\,d}u=2\mathrm{\,d}x\\ & v=f(x)\end{aligned}\right.\)
\[ \begin{aligned} &I= (2x-2)f(x) \bigg|_{0}^{1}-\displaystyle \int \limits_0^1 2f(x) \mathrm {\,d}x\\ \Leftrightarrow\ & 6=2f(0)-2\displaystyle \int \limits_0^1 f(x) \mathrm {\,d}x \Rightarrow \displaystyle \int \limits_0^1 f(x) \mathrm {\,d}x=f(0)-3=3. \end{aligned} \]
Dạng 11. Tính tích phân hàm ẩn
Phương pháp giải
\(\bullet\quad\) Sử dụng công thức nguyên hàm \[\text{Nếu}\quad F'(x)=f(x)\quad \text{thì}\quad F(x)\in\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x.\]
\(\bullet\quad\) Chý ý một số công thức đạo hàm
\(\qquad \circ\quad\) \((uv)'=u'v+uv'.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(ue^v\right)'=u'e^v+uv'e^v.\)
Ví dụ minh họa
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(2)=-\dfrac{1}{9}\) và \(f'(x)=2x\left[f(x)\right]^2\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Tính \(f(1)\).
Lời giải
Ta có \[f'(x)=2x\left[f(x)\right]^2\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{\left[f(x)\right]^2}=2x\Leftrightarrow \left[\dfrac{1}{f(x)}\right]'=-2x.\]
Suy ra \(\dfrac{1}{f(x)}=\displaystyle\int (-2x)dx=-x^2+C.\)
Từ \(f(2)=-\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow -4+C=-9\Leftrightarrow C=-5.\)
Vậy \(\dfrac{1}{f(x)}=-x^2-5\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{-x^2-5}\Rightarrow f(1)=-\dfrac{1}{6}\).