ÔN TẬP CHƯƠNG III
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
Dạng 1. Tìm nguyên hàm của hàm số đa thức, lũy thừa
Lý thuyết
| STT | Công thức cơ bản | Công thức mở rộng |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int\mathrm{d}x=x+C\) | |
| 2 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x}+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{(ax+b)^2}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{ax+b}+C\) |
| 3 | \(\displaystyle\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) | \(\displaystyle\int (ax+b)^ndx=\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C\) |
Dạng 2. Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác
Lý thuyết
| STT | Công thức cơ bản | Công thức mở rộng |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C\) | \(\displaystyle\int\sin (ax+b)\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cos (ax+b)+C\) |
| 2 | \(\displaystyle\int\cos x\mathrm{d}x=\sin x+C\) | \(\displaystyle\int\cos (ax+b)\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\sin (ax+b)+C\) |
| 3 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\tan x+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2(ax+b)}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\tan (ax+b)+C\) |
| 4 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x=-\cot x+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2(ax+b)}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{a}\cot (ax+b)+C\) |
Dạng 3. Tìm nguyên hàm của hàm số phân thức
Lý thuyết
| STT | Công thức cơ bản | Công thức mở rộng |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln|x|+C\) | \(\displaystyle\int\dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C\) |
Dạng 4. Tìm nguyên hàm của hàm số mũ
Lý thuyết
| STT | Công thức cơ bản | Công thức mở rộng |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C\) | \(\displaystyle\int e^{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\cdot e^{ax+b}+C\) |
| 2 | \(\displaystyle\int c^x\mathrm{d}x=\dfrac{c^x}{\ln c}+C\) | \(\displaystyle\int c^{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{c^{ax+b}}{\ln c}+C\) |
Dạng 5. Tìm hằng số C của nguyên hàm
Phương pháp giải
Bài toán: Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) và thỏa mãn \(F(x_0)=q\). Tìm \(F(x)\).
Tiến hành theo các bước sau:
\(\bullet\quad\) B1. Tính \(F(x)=\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=g(x)+C\)
\(\bullet\quad\) B2. Sử dụng giả thiết
\[F(x_0)=q\Leftrightarrow g(x_0)+C=q\Leftrightarrow C=q-g(x_0).\]
\(\bullet\quad\) B3. Kết luận: \(F(x)=g(x)+q-g(x_0)\).
Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng cách biến đổi thành nguyên hàm của hàm số cơ bản
Phương pháp giải
Một số công thức thường sử dụng
\(\bullet\quad\) \(\cos^2x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos2x\)
\(\bullet\quad\) \(\sin^2x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\sin2x\)
\(\bullet\quad\) \(\cos a\cdot\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\)
\(\bullet\quad\) \(\sin a\cdot\sin b=-\dfrac{1}{2}\left[\cos(a+b)-\cos(a-b)\right]\)
\(\bullet\quad\) \(\sin a\cdot\cos b=\dfrac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\)
Hàm trong dấu tích phân là hàm phân thức
\(\bullet\quad\) Nếu hàm có dạng \(\dfrac{P(x)}{ax+b}\), trong đó \(P(x)\) là đa thức có bậc \(\geq 1\), thì ta sử dụng phép chia đa thức để biến đổi thành
\[\dfrac{P(x)}{ax+b}=P_1(x)+\dfrac{C}{ax+b}.\]
\(\bullet\quad\) Các biến đổi thường sử dụng đối với hàm phân thức
\[\dfrac{mx+n}{(ax+b)(cx+d)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d};\quad \dfrac{mx+n}{(ax+b)^2}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{(ax+b)^2}.\]
Để tìm \(A\), \(B\) ta sử dụng đồng nhất thức.
Dạng 7. Xác định hệ số của nguyên hàm \(F(x)\)
Phương pháp giải
Chú ý: Nếu \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) thì
\[F'(x)=f(x)\quad \text{và}\quad \displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C.\]
Ví dụ minh họa
Biết \(F(x)=(a\sin x+b\cos x)e^x\) là một nguyên hàm của \(f(x)=2e^x\cos x\). Tìm \(a\), \(b\).
Lời giải
Ta có \[\begin{aligned}F'(x)=\ &(a\cos x-b\sin x)e^x+(a\sin x+b\cos x)e^x\\ =\ &(a+b)e^x\cos x+(a-b)e^x\sin x\end{aligned}\]
Theo giả thiết, suy ra
\[\begin{aligned} F'(x)=f(x)\Leftrightarrow\ &(a+b)e^x\cos x+(a-b)e^x\sin x =2e^x\cos x\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}a+b=2\\ a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\ b=1.\end{cases} \end{aligned}\]
Dạng 8. Nguyên hàm là hàm số cho bởi nhiều công thức
Phương pháp giải
Bài toán: Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x)=\dfrac{1}{ax+b}\) thỏa \(F(x_1)=p\) với \(\left(x_1 < -\dfrac{b}{a}\right)\) và \(F(x_2)=q\) với \(\left(x_2 > -\dfrac{b}{a}\right)\).
Tiến hành theo các bước sau:
B1. Tính \[\begin{aligned}F(x)=\ &\displaystyle\int\dfrac{1}{ax+b}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{a}\ln|ax+b|+C\\ =\ &\begin{cases}\dfrac{1}{a}\ln(ax+b)+C_1& \text{nếu}\ ax+b > 0\\ \dfrac{1}{a}\ln(-ax-b)+C_2& \text{nếu}\ ax+b < 0.\end{cases}\end{aligned}\]
B2. Sử dụng hai giả thiết \(F(x_1)=p\) và \(F(x_2)=q\) sẽ tìm được \(C_1\) và \(C_2\).
B3. Với \(C_1\) và \(C_2\) tìm được, ta có được công thức hoàn chỉnh của \(F(x)\).
Dạng 9. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Phương pháp giải
| STT | Dấu hiệu | Đổi biến số |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int f\left(x^{n+1}\right)\cdot x^n\mathrm{d}x\) | \(t=x^{n+1}\) |
| 2 | \(\displaystyle\int f\left(\sin x\right)\cdot \cos x\mathrm{d}x\) | \(t=\sin x\) |
| 3 | \(\displaystyle\int f\left(\cos x\right)\cdot \sin x\mathrm{d}x\) | \(t=\cos x\) |
| 4 | \(\displaystyle\int f\left(\tan x\right)\cdot \dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x\) | \(t=\tan x\) |
| 5 | \(\displaystyle\int f\left(\cot x\right)\cdot \dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm{d}x\) | \(t=\cot x\) |
| 6 | \(\displaystyle\int f\left(\ln x\right)\cdot \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x\) | \(t=\ln x\) |
Ví dụ minh họa
Tính \(I=\displaystyle\int \dfrac{2\ln x-1}{x}\mathrm{d}x\).
Lời giải
Ta viết thành \(I=\displaystyle\int \dfrac{2\ln x-1}{x}\mathrm{d}x=\displaystyle\int (2\ln x-1)\cdot \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x\).
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx\). Suy ra
\[I=\displaystyle\int (2t-1)\mathrm{d}t=t^2-t+C=\ln^2x-\ln x+C.\]
Dạng 10. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần
Lý thuyết
Công thức \(\displaystyle\int udv=uv-\displaystyle\int vdu.\)
| STT | Dấu hiệu | Cách đặt |
|---|---|---|
| 1 | \(\displaystyle\int P(x)\sin x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=\sin x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 2 | \(\displaystyle\int P(x)\cos x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=\cos x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 3 | \(\displaystyle\int P(x)e^x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=P(x)\\ dv=e^x\mathrm{d}x\end{cases}\) |
| 4 | \(\displaystyle\int P(x)\ln x\mathrm{d}x\) | \(\begin{cases}u=\ln x\\ dv=P(x)\mathrm{d}x\end{cases}\) |
Ví dụ minh họa
Tính \(I=\displaystyle\int (2x-3)\ln x\mathrm{d}x\).
Lời giải
Đặt \(\begin{cases}u=\ln x\\ dv=2x-3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\dfrac{1}{x}\\ v=x^2-3x.\end{cases}\)
Suy ra \[\begin{aligned}I=\ &(x^2-3x)\ln x-\displaystyle\int(x^2-3x)\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x\\ =\ &(x^2-3x)\ln x-\displaystyle\int (x-3)\mathrm{d}x\\ =\ &(x^2-3x)\ln x-\dfrac{x^2}{2}+3x+C.\end{aligned}\]
Dạng 11. Nguyên hàm của hàm ẩn
Phương pháp giải
\(\bullet\quad\) Sử dụng công thức nguyên hàm \[\text{Nếu}\quad F'(x)=f(x)\quad \text{thì}\quad F(x)\in\displaystyle\int f(x)\mathrm{d}x.\]
\(\bullet\quad\) Chý ý một số công thức đạo hàm
\(\qquad \circ\quad\) \((uv)'=u'v+uv'.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}.\)
\(\qquad \circ\quad\) \(\left(ue^v\right)'=u'e^v+uv'e^v.\)
Ví dụ minh họa
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(2)=-\dfrac{1}{9}\) và \(f'(x)=2x\left[f(x)\right]^2\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Tìm \(f(x)\).
Lời giải
Ta có \[f'(x)=2x\left[f(x)\right]^2\Leftrightarrow \dfrac{f'(x)}{\left[f(x)\right]^2}=2x\Leftrightarrow \left[\dfrac{1}{f(x)}\right]'=-2x.\]
Suy ra \(\dfrac{1}{f(x)}=\displaystyle\int (-2x)dx=-x^2+C.\)
Từ \(f(2)=-\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow -4+C=-9\Leftrightarrow C=-5.\)
Vậy \(\dfrac{1}{f(x)}=-x^2-5\Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{-x^2-5}\).