ÔN TẬP CHƯƠNG VIII

Khai triển của nhị thức \((2x-5)^4\) có \(4+1=5\) số hạng.

Khai triển của nhị thức \((x-1)^5\) có \(5+1=6\) số hạng.

\[\begin{aligned} (x+1)^5=\ &C_5^0x^5+C_5^1x^41+ C_5^2x^31^2+C_5^3x^21^3+ C_5^4x1^4+C_5^51^5\\ =\ &x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (x-2)^5=\ &C_5^0x^5-C_5^1x^42+ C_5^2x^32^2-C_5^3x^22^3+ C_5^4x2^4-C_5^52^5\\ =\ &x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (2x+1)^4=\ &C_4^0 (2x)^4 + C_4^1 (2x)^3 + C_4^2 (2x)^2 + C_4^3 (2x) + C_4^4\\ =\ &16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (3x+4)^5=\ &C_5^0(3x)^5 + C_5^1 (3x)^4 4+ C_5^2 (3x)^3 4^2 + C_5^3 (3x)^2 4^3 + C_5^4 (3x) 4^4 + C_5^5 4^5\\ =\ &243x^5+1620x^4+4320x^3+5760x^2+3840x+1024. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (1-2x)^5=\ &C_5^0 - C_5^1 (2x) + C_5^2 (2x)^2 - C_5^3 (2x)^3 + C_5^4 (2x)^4 - C_5^5 (2x)^5\\ =\ &1-10x+40x^2-80x^3+80x^4-32x^5. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (2x-1)^5=\ &C_5^5 (2x)^5 - C_5^4 (2x)^4 + C_5^3 (2x)^3 - C_5^2 (2x)^2 + C_5^1 (2x) - C_5^0\\ =\ &32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (x-y)^5=\ & C_5^0x^5- C_5^1 x^4y + C_5^2 x^3y^2 - C_5^3 x^2 y^3 + C_5^4 x y^4 - C_5^5 y^5\\ =\ &x^5-5x^4y+10x^3y^2-10x^2y^3+5xy^4-y^5. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} (1+3x)^4=\ &C_4^01^4+C_4^11^3(3x)^1+ C_4^21^2(3x)^2+C_4^31(3x)^3+ C_4^4(3x)^4\\ =\ &1+12x+54x^2+108x^3+81x^4. \end{aligned}\]

Vậy số hạng thứ hai là \(12x\).

\[\begin{aligned} (2a-b)^5=\ & C_5^0 (2a)^5 - C_5^1 (2a)^4 b + C_5^2 (2a)^3 b^2 - C_5^3 (2a)^2 b^3 + C_5^4 (2a) b^4 - C_5^5 b^5. \end{aligned}\]

Số hạng thứ ba là \(C_5^2 (2a)^3 b^2=80a^3b^2\). Suy ra hệ số của số hạng thứ ba bằng \(80\).

\[\begin{aligned} (2x-3)^4=\ & C_4^0 (2x)^4 - C_4^1 (2x)^3 3 + C_4^2 (2x)^2 3^2 - C_4^3 (2x) 3^3 + C_4^4 3^4. \end{aligned}\]

Số hạng thứ ba là \(C_4^2 (2x)^2 3^2=216x^2\). Suy ra hệ số của số hạng thứ ba bằng \(216\).

\[\begin{aligned} \left(x+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4=\ &C_4^0x^4 + C_4^1 x^3 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) + C_4^2 x^2 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2 + C_4^3 x \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3 + C_4^4 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\\ =\ &x^4 + 4x^2 + 6 + \displaystyle\frac{4}{x^2} + \displaystyle\frac{1}{x^4}. \end{aligned}\]

Vậy số hạng không chứa \(x\) là \(6\).

\[\begin{aligned} \left(2x-\displaystyle\frac{1}{x}\right)^5=\ &C_5^0 (2x)^5 - C_5^1 (2x)^4 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) + C_5^2 (2x)^3 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2 - C_5^3 (2x)^2 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3\\ +\ &C_5^4 (2x) \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4 - C_5^5 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^5\\ =\ &32x^5 - 80x^3 + 80x - \displaystyle\frac{40}{x} + \displaystyle\frac{10}{x^3} - \displaystyle\frac{1}{x^5}. \end{aligned}\]

Vậy hệ số của số hạng chứa \(x\) là \(80\).

\[\begin{aligned} \left(x^2+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4 =\ &C_4^0 (x^2)^4 + C_4^1 (x^2)^3 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) + C_4^2 (x^2)^2 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^2 + C_4^3 x^2 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^3 + C_4^4 \left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\\ =\ &x^8 + 4x^5 + 6x^2 + \displaystyle\frac{4}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^4}. \end{aligned}\]

Vậy số hạng chứa \(x^2\) là \(6x^2\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((2x-3)^4\) bằng \((2\cdot 1-3)^4=(-1)^4=1\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((1-2x)^4\) bằng \((1-2\cdot 1)^4=(-1)^4=1\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3-4x)^5\) bằng \((3-4\cdot 1)^5=(-1)^5=-1\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((1-3x)^5\) bằng \((1-3\cdot 1)^5=(-2)^5=-32\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-5)^4\) bằng \((3\cdot 1-5)^4=(-2)^4=16\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((x+2)^5\) bằng \((1+2)^5=3^5=243\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x-7)^4\) bằng \((3\cdot 1-7)^5=(-4)^4=256\).

Tổng hệ số trong khai triển nhị thức \((3x+1)^5\) bằng \((3\cdot 1+1)^5=4^5=1024\).

Ta có \[(x+1)^5=C_5^0x^5+C_5^1x^4+C_5^2x^3+C_5^3x^2+C_5^4x+C_5^5.\] Thay \(x=1\), ta được \[(1+1)^5=C_5^0+C_5^1+C_5^2+C_5^3+C_5^4+C_5^5\Rightarrow S=2^5.\]

Ta có \[(x-1)^5=C_5^0x^5-C_5^1x^4+C_5^2x^3-C_5^3x^2+C_5^4x-C_5^5.\] Thay \(x=1\), ta được \[(1-1)^5=C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5\Rightarrow S=0.\]

Ta có \[(x+1)^5=C_5^0x^5+C_5^1x^4+C_5^2x^3+C_5^3x^2+C_5^4x+C_5^5.\] Thay \(x=2\), ta được \[(2+1)^5=2^5C_5^0 + 2^4C_5^1 + 2^3C_5^2 + 2^2C_5^3 + 2C_5^4+C_5^5\Rightarrow S= 3^5=243.\]

Ta có \[(1-x)^4=C_4^0-C_4^1 x + C_4^2 x^2 - C_4^3 x^3 + C_4^4 x^4.\] Thay \(x=3\), ta được \[(1-3)^4=C_4^0-C_4^1 3 + C_4^2 3^2 - C_4^3 3^3 + C_4^4 3^4\Rightarrow S=(-2)^4=16.\]

Ta có \[(a-b)^4=C_4^0a^4 - C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 - C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4.\] Thay \(a=2\), \(b=3\), ta được \[(2-3)^4=C_4^0 2^4 - C_4^1 2^3\cdot 3 + C_4^2 2^2\cdot 3^2 - C_4^3 2\cdot3^3 + C_4^4 3^4\Rightarrow S=(-1)^4=1.\]