Đăng nhập





CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Học xong bài này các em có thể

  • Biết được cách xác định tọa độ của điểm và véctơ.
  • Biết cách áp dụng tích vô hướng.
  • Biết cách tìm tâm và bán kính mặt cầu.
  • Biết viết phương trình mặt cầu trong một số tính huống đơn giản.

I. Tọa độ của điểm và véctơ

1. Hệ tọa độ

∙\bullet\quad OxOx gọi là trục hoành, OyOy gọi là trục tung, OzOz gọi là trục cao.

∙i→\bullet\quad \overrightarrow{i}, j→\overrightarrow{j}, k→\overrightarrow{k} là các véctơ đơn vị, thỏa ∣i→∣=∣j→∣=∣k→∣=1,i→⋅j→=j→⋅k→=k→⋅i→=0.|\overrightarrow{i}|=|\overrightarrow{j}|=|\overrightarrow{k}|=1,\quad \overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{i}=0.

2. Tọa độ của điểm

OM→=xi→+yj→+zk→⇔M(x;y;z).\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\Leftrightarrow M(x;y;z).

∙\bullet\quad M∈Ox⇔M(x;0;0)M\in Ox\Leftrightarrow M(x;0;0).

∙\bullet\quad M∈Oy⇔M(0;y;0)M\in Oy\Leftrightarrow M(0;y;0).

∙\bullet\quad M∈Oz⇔M(0;0;z)M\in Oz\Leftrightarrow M(0;0;z).

∙\bullet\quad M∈(Oxy)⇔M(x;y;0)M\in (Oxy)\Leftrightarrow M(x;y;0).

∙\bullet\quad M∈(Oyz)⇔M(0;y;z)M\in (Oyz)\Leftrightarrow M(0;y;z).

∙\bullet\quad M∈(Oxz)⇔M(x;0;z)M\in (Oxz)\Leftrightarrow M(x;0;z).

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm M(3;−2;1)M(3;-2;1). Gọi AA, BB theo thứ tự là hình chiếu của điểm MM trên trục OxOx và mặt phẳng (Oxz)(Oxz). Tìm tọa độ của AA và BB.

∙\bullet\quad Do AA là hình chiếu của M(3;−2;1)M(3;-2;1) trên trục OxOx nên A(3;0;0)A(3;0;0).

∙\bullet\quad Do BB là hình chiếu của M(3;−2;1)M(3;-2;1) trên mặt phẳng (Oxz)(Oxz) nên B(3;0;1)B(3;0;1).

3. Tọa độ của véctơ

a→=a1i→+a2j→+a3k→⇔a→=(a1;a2;a3).\overrightarrow{a}=a_1\overrightarrow{i}+a_2\overrightarrow{j}+a_3\overrightarrow{k}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3).

Chú ý.

∙\bullet\quad Tọa độ của điểm MM chính là tọa độ của véctơ OM→\overrightarrow{OM}. Tức là

M(x;y;z)⇔OM→=(x;y;z).M(x;y;z)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=(x;y;z).

∙\bullet\quad i→=(1;0;0)\overrightarrow{i}=(1;0;0), j→=(0;1;0)\overrightarrow{j}=(0;1;0), k→=(0;0;1)\overrightarrow{k}=(0;0;1).

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(5;3;−1)A(5;3;-1) và B(−2;2;0)B(-2;2;0). Tìm tọa độ của véctơ AB→\overrightarrow{AB}.

A(5;3;−1)⇒OA→=5i→+3j→−k→A(5;3;-1)\Rightarrow \overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}

B(−2;2;0)⇒OB→=−2i→+2j→+0k→B(-2;2;0)\Rightarrow \overrightarrow{OB}=-2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k}

Suy ra

AB→= OB→−OA→= (−2i→+2j→+0k→)−(5i→+3j→−k→)= −7i→−j→+k→⇒AB→= (−7;−1;1).\begin{aligned} \overrightarrow{AB}=\ &\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ =\ &(-2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+0\overrightarrow{k})-(5\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k})\\ =\ &-7\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}\\ \Rightarrow\overrightarrow{AB}=\ &(-7;-1;1). \end{aligned}

II. Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ

Định lí. Trong không gian OxyzOxyz cho hai véctơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3). Ta có

∙\bullet\quad a→+b→=(a1+b1;a2+b2;c1+c2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2;c_1+c_2).

∙\bullet\quad a→−b→=(a1−b1;a2−b2;c1−c2)\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2;c_1-c_2).

∙\bullet\quad ka→=k(a1;a2;c1)k\overrightarrow{a}=k(a_1;a_2;c_1)=(ka_1;ka_2;kc_1)\) với kk là số thực.

Hệ quả.

Cho hai véctơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3). Ta có a→=b→⇔{a1=b1a2=b2a3=b3.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \begin{cases}a_1&=b_1\\ a_2&=b_2\\ a_3&=b_3.\end{cases}

∙\bullet\quad Véctơ 0→\overrightarrow{0} có tọa độ là (0;0;0)(0;0;0).

∙\bullet\quad Nếu b→≠0→\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số kk sao cho: {a1=kb1a2=kb2a3=kb3.\begin{cases}a_1=kb_1\\ a_2=kb_2\\ a_3=kb_3.\end{cases}

∙\bullet\quad Trong không gian OxyzOxyz nếu cho hai điểm A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) và B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B) thì

+)AB→=(xB−xA;yB−yA;zB−zA).+)Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB laˋ:M(xA+xB2;yA+yB2;zA+zB2).\begin{aligned} &+)\quad \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).\\ &+) \quad \text{Tọa độ trung điểm }M\ \text{của đoạn thẳng }AB\ \text{là:}\quad M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right). \end{aligned}

III. Tích vô hướng

1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí. Trong không gian OxyzOxyz cho hai véctơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3). Ta có

a→⋅b→=a1b1+a2b2+a3b3.\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

2. Ứng dụng

a. Độ dài của một véctơ: Với a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) thì ∣a→∣=a12+a22+a32|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.

b. Khoảng cách giữa hai điểm: Cho hai điểm A(xA;yA;zA)A(x_A;y_A;z_A) và B(xB;yB;zB)B(x_B;y_B;z_B) thì AB=∣AB→∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2.AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.

c. Góc giữa hai véctơ: Cho hai véctơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3). Ta có cos⁡(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}.

d. Điều kiện vuông góc của hai véctơ: Cho hai véctơ a→=(a1;a2;a3)\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3) và b→=(b1;b2;b3)\overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3). Ta có a→⊥b→⇔a→⋅b→=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0.

Ví dụ 1. Cho 3 véctơ a→=(3;0;1)\overrightarrow{a}=(3;0;1), b→=(1;−1;−2)\overrightarrow{b}=(1;-1;-2), c→=(2;1;−1)\overrightarrow{c}=(2;1;-1). Tính a→+2b→−3c→\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}, a→⋅(b→+c→)\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) và ∣a→+b→∣\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|.

∙\bullet\quad a→+2b→−3c→=(3;0;1)+2(1;−1;−2)−3(2;1;−1)=(−1;−5;0)\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}=(3;0;1)+2(1;-1;-2)-3(2;1;-1)=(-1;-5;0).

∙\bullet\quad b→+c→=(1;−1;−2)+(2;1;−1)=(3;0;−3)\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(1;-1;-2)+(2;1;-1)=(3;0;-3). Suy ra a→⋅(b→+c→)=3⋅3+0⋅0+1⋅(−3)=6.\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=3\cdot3+0\cdot0+1\cdot(-3)=6.

∙\bullet\quad a→+b→=(3;0;1)+(1;−1;−2)=(4;−1;−1)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3;0;1)+(1;-1;-2)=(4;-1;-1). Suy ra ∣a→+b→∣=42+(−1)2+(−1)2=32.\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{4^2+(-1)^2+(-1)^2}=3\sqrt{2}.

Ví dụ 2. Cho 2 véctơ a→=(1;2;−5)\overrightarrow{a}=(1;2;-5) và b→=(m;−1;2m+1)\overrightarrow{b}=(m;-1;2m+1). Tìm mm để hai véctơ này vuông góc nhau.

Ta có a→⊥b→⇔1⋅m+2⋅(−1)+(−5)(2m+1)=0⇔−9m−7=0⇔m=−79.\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow 1\cdot m+2\cdot(-1)+(-5)(2m+1)=0\Leftrightarrow -9m-7=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{7}{9}.

Ví dụ 3. Cho điểm A(2;1;−4)A(2;1;-4). Tính khoảng cách từ điểm AA đến trục OyOy và khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (Oxy)(Oxy).

∙\bullet\quad Gọi HH là hình chiếu của điểm AA lên trục OyOy, ta có H(0;1;0)H(0;1;0). Suy ra d(A,Oy)=AH=(0−2)2+(1−1)2+(0+4)2=25.\mathrm{d}(A,Oy)=AH=\sqrt{(0-2)^2+(1-1)^2+(0+4)^2}=2\sqrt{5}.

∙\bullet\quad Gọi KK là hình chiếu của điểm AA lên mặt phẳng OxyOxy, ta có K(2;1;0)K(2;1;0). Suy ra d(A,Oxy)=AK=(2−2)2+(1−1)2+(0+4)2=4.\mathrm{d}(A,Oxy)=AK=\sqrt{(2-2)^2+(1-1)^2+(0+4)^2}=4.

IV. Phương trình mặt cầu

Định lí. Trong không gian OxyzOxyz, mặt cầu (S)(S) tâm I(a;b;c)I(a;b;c) bán kính rr có phương trình là: (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2.(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2.

Nhận xét: Phương trình x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2−d>0a^2+b^2+c^2-d>0 cũng là phương trình mặt cầu, có tâm là điểm I(a;b;c)I(a;b;c) và bán kính là r=a2+b2+c2−dr=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm I(−2;3;−1)I(-2;3;-1) và bán kính r=5r=5.

Phương trình mặt cầu có tâm I(−2;3;−1)I(-2;3;-1) và bán kính r=5r=5 là (x+2)2+(y−3)2+(z+1)2=25.(x+2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25.

Ví dụ 2. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình x2+y2+z2−4x+6y−z+3=0x^2+y^2+z^2-4x+6y-z+3=0.

Ta có −2a=−4⇒a=2-2a=-4\Rightarrow a=2, −2b=6⇒b=−3-2b=6\Rightarrow b=-3, −2c=−1⇒c=12-2c=-1\Rightarrow c=\dfrac{1}{2}, d=3d=3.

Vậy mặt cầu đã cho có tâm I(2;−3;12)I\left(2;-3;\dfrac{1}{2}\right) và bán kính r=a2+b2+c2−d=412r=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}.

Ví dụ 3. Viết phương trình mặt cầu tâm A(3;−1;2)A(3;-1;2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz)(Oyz).

Gọi HH là hình chiếu của điểm AA lên mặt phẳng (Oyz)(Oyz), ta có H(0;−1;2)H(0;-1;2).

Bán kính của mặt cầu là r=d(A,Oyz)=AH=(0−3)2+(−1+1)2+(2−2)2=3r=\mathrm{d}(A,Oyz)=AH=\sqrt{(0-3)^2+(-1+1)^2+(2-2)^2}=3.

Vậy phương trình của mặt cầu là (x−3)2+(y+1)2+(z−2)2=9.(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9.

BÀI TẬP

Dạng 1. Tìm tọa độ của điểm và véctơ. Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ

Ví dụ 1. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;−4;3)A(2;-4;3) và B(2;2;7)B(2;2;7). Trung điểm của đoạn ABAB có tọa độ là

A. (1;3;2)(1;3;2)

B. (2;6;4)(2;6;4)

C. (2;−1;5)(2;-1;5)

D. (4;−2;10)(4;-2;10)

Gọi MM là trung điểm của đoạn thẳng ABAB. Khi đó {xM=xA+xB2=2yM=yA+yB2=−1zM=zA+zB2=5⇒M(2;−1;5)\left\{\begin{aligned} &x_M=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}=2 \\ &y_M=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}=-1 \\ &z_M=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}=5 \end{aligned}\right. \Rightarrow M(2;-1;5).

Ví dụ 2. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;1;−2)A(1;1;-2) và B(2;2;1)B(2;2;1). Véc-tơ AB→\overrightarrow{AB} có toạ độ là

A. (3;3;−1)(3;3;-1)

B. (−1;−1;−3)(-1;-1;-3)

C. (3;1;1)(3;1;1)

D. (1;1;3)(1;1;3)

Ta có AB→=(2−1;2−1;1−(−2))=(1;1;3) \overrightarrow{AB}=(2-1;2-1;1-(-2))=(1;1;3) .

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz,Oxyz, cho ba véc-tơ a→=(1;2;3),\overrightarrow{a}=(1; 2; 3), b→=(−2;0;1),\overrightarrow{b} = (-2; 0; 1), c→=(−1;0;1).\overrightarrow{c} = (-1; 0; 1). Tọa độ của véc-tơ n→=a→+b→+2c→−3i→\overrightarrow{n}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{i} là

A. (−6;2;6)(-6; 2; 6)

B. (0;2;6)(0; 2; 6)

C. (6;2;−6)(6; 2; -6)

D. (6;2;6)(6; 2; 6)

n→=a→+b→+2c→−3i→=(1;2;3)+(−2;0;1)+2⋅(−1;0;1)−3⋅(1;0;0)=(−6;2;6).\overrightarrow{n}= \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{i}=(1; 2; 3)+(-2; 0; 1)+2\cdot (-1; 0; 1)-3\cdot (1; 0; 0) = (-6; 2; 6).

Ví dụ 4. Trong không gian OxyzOxyz, cho các điểm A(−1;2;−3)A(-1;2;-3), B(2;−1;0)B(2;-1;0). Tìm tọa độ véc-tơ AB→\overrightarrow{AB}.

A. AB→=(3;−3;−3)\overrightarrow{AB}=(3;-3;-3)

B. AB→=(3;−3;3)\overrightarrow{AB}=(3;-3;3)

C. AB→=(−3;3;−3)\overrightarrow{AB}=(-3;3;-3)

D. AB→=(1;−1;1)\overrightarrow{AB}=(1;-1;1)

Ta có AB→=(2−(−1);−1−2;0−(−3))=(3;−3;3)\overrightarrow{AB}=(2-(-1);-1-2;0-(-3))=(3;-3;3).

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, Oxyz, cho a→=(3;2;1) \overrightarrow{a} = (3;2;1) ; b→=(−2;0;1) \overrightarrow{b} = (-2;0;1) . Tính độ dài của véc-tơ a→+b→. \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.

A. 9 9

B. 2 2

C. 3 3

D. 2 \sqrt{2}

Ta có a→+b→=(1;2;2)⇒∣a→+b→∣=3. \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \left(1;2;2\right) \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| = 3.

Ví dụ 6. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(2;3;−1)A(2;3;-1) và B(−4;1;9)B(-4;1;9). Tìm tọa độ của véc-tơ AB→\overrightarrow{AB}.

A. AB→=(−6;−2;10)\overrightarrow{AB}=(-6;-2;10)

B. AB→=(−1;2;4)\overrightarrow{AB}=(-1;2;4)

C. AB→=(6;2;−10)\overrightarrow{AB}=(6;2;-10)

D. AB→=(1;−2;−4)\overrightarrow{AB}=(1;-2;-4)

Ta có AB→=(−4−2;1−3;9+1)=(−6;−2;10)\overrightarrow{AB}=(-4-2;1-3;9+1)=(-6;-2;10).

Ví dụ 7. Hình chiếu vuông góc của điểm A(2;−1;0)A(2;-1;0) lên mặt phẳng (Oxz)(Oxz) là

A. (0;0;0)(0;0;0)

B. (2;−1;0)(2;-1;0)

C. (2;0;0)(2;0;0)

D. (0;−1;0)(0;-1;0)

Hình chiếu vuông góc của điểm A(2;−1;0)A(2;-1;0) lên mặt phẳng (Oxz)(Oxz) là điểm có tọa độ (2;0;0)(2;0;0).

Ví dụ 8. Trong không gian OxyzOxyz cho OM→=2i→−3j→+k→\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}. Tìm tọa độ điểm MM.

A. M(−2;−3;1)M(-2;-3;1)

B. M(2;−3;1)M(2;-3;1)

C. M(2;−1;3)M(2;-1;3)

D. M(2;3;1)M(2;3;1)

Ta có OM→=(2;−3;1)⇒M(2;−3;1)\overrightarrow{OM}=(2;-3;1)\Rightarrow M(2;-3;1).

Ví dụ 9. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm M(3;−1;2)M(3;-1;2). Tìm tọa độ điểm NN đối xứng với MM qua mặt phẳng (Oyz)(Oyz).

A. N(0;−1;2)N(0;-1;2)

B. N(3;1;−2)N(3;1;-2)

C. N(−3;−1;2)N(-3;-1;2)

D. N(0;1;1)N(0;1;1)

Lấy đối xứng qua mặt (Oyz)(Oyz) thì xx đổi dấu còn y,zy,z giữ nguyên nên N(−3;−1;2)N(-3;-1;2).

Ví dụ 10. Trong không gian tọa độ OxyzOxyz, cho điểm A(3;−2;5)A\left(3; -2; 5\right). Hình chiếu vuông góc của điểm AA trên mặt phẳng tọa độ (Oxz)\left(Oxz\right) là

A. M(3;0;5)M\left(3;0; 5\right)

B. M(3;−2;0)M\left(3;- 2; 0\right)

C. M(0;−2;5)M\left(0;- 2; 5\right)

D. M(0;2;5)M\left(0;2; 5\right)

Do MM là hình chiếu vuông góc của AA trên mặt phẳng tọa độ (Oxz)\left(Oxz\right) ta suy ra M(3;0;5)M\left(3;0; 5\right).

Ví dụ 11. Trong không gian với hệ toạ độ OxyzOxyz, hình chiếu của điểm M(1;−3;−5)M(1;-3;-5) trên mặt phẳng (Oyz)(Oyz) có toạ độ là

A. (0;−3;0)(0;-3;0)

B. (0;−3;−5)(0;-3;-5)

C. (0;−3;5)(0;-3;5)

D. (1;−3;0)(1;-3;0)

Phương trình mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là x=0x=0 và hình chiếu của điểm I(a;b;c)I(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là (0;b;c)(0;b;c).

Ví dụ 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hai véc-tơ a→=(1;−2;0)\overrightarrow{a} = (1;-2;0) và b→=(−2;3;1)\overrightarrow{b} = (-2;3;1). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. a→⋅b→=−8\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -8

B. 2a→=(2;−4;0)2\overrightarrow{a} = (2;-4;0)

C. a→+b→=(−1;1;−1)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1;1;-1)

D. ∣b→∣=14\left| \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{14}

Ta có a→+b→=(−1;1;1)\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (-1;1;1).

Ví dụ 13. Trong không gian OxyzOxyz, cho A(−1;0;1)A(-1;0;1) và B(1;−1;2)B(1;-1;2). Tọa độ của AB→\overrightarrow{AB} là

A. (2;−1;1)(2;-1;1)

B. (0;−1;−1)(0;-1;-1)

C. (−2;1;−1)(-2;1;-1)

D. (0;−1;3)(0;-1;3)

Tọa độ của AB→=(2;−1;1)\overrightarrow{AB}=(2;-1;1).

Ví dụ 14. Trong không gian OxyzOxyz, điểm nào sau đây thuộc trục tung OyOy?

A. Q(0;−10;0)Q(0;-10;0)

B. P(10;0;0)P(10;0;0)

C. N(0;0;−10)N(0;0;-10)

D. M(−10;0;10)M(-10;0;10)

Điểm thuộc trục tung OyOy suy ra x=0x=0 và z=0z=0.

Ví dụ 15. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm A(−2;3;1)A(-2;3;1). Hình chiếu vuông góc của điểm AA lên trục OxOx có tọa độ là

A. (2;0;0)(2;0;0)

B. (0;−3;−1)(0;-3;-1)

C. (−2;0;0)(-2;0;0)

D. (0;3;1)(0;3;1)

Tọa độ điểm HH là hình chiếu vuông góc của điểm AA trên trục OxOx là (−2;0;0)(-2;0;0).

Ví dụ 16. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho a→=(1;−1;3)\overrightarrow{a}=(1;-1;3), b→=(2;0;−1)\overrightarrow{b}=(2;0;-1). Tìm tọa độ véc-tơ u→=2a→−3b→\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}.

A. u→=(4;2;−9)\overrightarrow{u}=(4;2;-9)

B. u→=(−4;−2;9)\overrightarrow{u}=(-4;-2;9)

C. u→=(1;3;−11)\overrightarrow{u}=(1;3;-11)

D. u→=(−4;−5;9)\overrightarrow{u}=(-4;-5;9)

u→=2a→−3b→=(−4;−2;9)\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(-4;-2;9).

Ví dụ 17. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho u→=(2;−1;1)\overrightarrow{u}=(2;-1;1), v→=(0;−3;−m)\overrightarrow{v}=(0;-3;-m). Tìm số thực mm sao cho tích vô hướng u→⋅v→=1\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1.

A. m=4m=4

B. m=2m=2

C. m=3m=3

D. m=−2m=-2

Ta có u→⋅v→=1⇔3−m=1⇔m=2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=1\Leftrightarrow 3-m=1\Leftrightarrow m=2.

Ví dụ 18. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai véc-tơ u→=i→3+k→\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i}\sqrt{3}+ \overrightarrow{k} và v→=j→3+k→\overrightarrow{v} = \overrightarrow{j}\sqrt{3}+ \overrightarrow{k}. Khi đó tích vô hướng của u→⋅v→\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} bằng

A. 22

B. 11

C. −3- 3

D. 33

Do giả thiết nên u→(3;0;1)\overrightarrow{u}\left(\sqrt{3}; 0; 1\right) và v→(0;3;1)\overrightarrow{v}\left(0; \sqrt{3}; 1\right). Khi đó u→⋅v→=3⋅0+0⋅3+1⋅1=1\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = \sqrt{3}\cdot 0 + 0\cdot \sqrt{3} + 1\cdot 1 = 1.

Ví dụ 19. Trong không gian OxyzOxyz cho A(1;5;−2)A(1;5;-2); B(2;1;1)B(2;1;1). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng ABAB là

A. I(32;3;−12)I\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

B. I(32;3;12)I\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;\displaystyle\frac{1}{2}\right)

C. I(32;2;−12)I\left(\displaystyle\frac{3}{2};2;-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

D. I(3;6;−1)I\left(3;6;-1\right)

Ta có {xI=xA+xB2yI=yA+yB2zI=zA+zB2⇔{xI=32yI=3zI=−12.\begin{aligned} \begin{cases}x_I=\displaystyle\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_I=\displaystyle\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_I=\displaystyle\frac{z_A+z_B}{2}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_I=\displaystyle\frac{3}{2}\\ y_I=3\\ z_I=-\displaystyle\frac{1}{2}.\end{cases} \end{aligned} Suy ra I(32;3;−12)I\left(\displaystyle\frac{3}{2};3;-\displaystyle\frac{1}{2}\right).

Ví dụ 20. Trong không gian OxyzOxyz cho các a→=(1;−1;2),b→=(3;0;−1),c→=(−2;5;1)\overrightarrow{a}=(1;-1;2),\overrightarrow{b}=(3;0;-1),\overrightarrow{c}=(-2;5;1). Tọa độ của u→=a→+b→−c→\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} là

A. u→=(−6;6;0)\overrightarrow{u}=(-6;6;0)

B. u→=(6;−6;0)\overrightarrow{u}=(6;-6;0)

C. u→=(6;0;−6)\overrightarrow{u}=(6;0;-6)

D. u→=(0;6;−6)\overrightarrow{u}=(0;6;-6)

Dễ dàng tính được u→=a→+b→−c→=(6;−6;0)\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(6;-6;0).

Ví dụ 21. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho a→=(−5;2;3)\overrightarrow{a}=(-5;2;3) và b→=(1;−3;2)\overrightarrow{b}=(1;-3;2). Tìm tọa độ của véc-tơ u→=13a→−34b→.\overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{b}.

A. u→=(−1112;3512;52)\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{11}{12};\displaystyle\frac{35}{12};\displaystyle\frac{5}{2}\right)

B. u→=(−1112;−1912;52)\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{11}{12};-\displaystyle\frac{19}{12};\displaystyle\frac{5}{2}\right)

C. u→=(−2912;3512;−12)\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{29}{12};\displaystyle\frac{35}{12};-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

D. u→=(−2912;−1912;−12)\overrightarrow{u}=\left(-\displaystyle\frac{29}{12};-\displaystyle\frac{19}{12};-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

u→=13a→−34b→=(13⋅(−5)−34⋅1;13⋅2−34⋅(−3);13⋅3−34⋅2)=(−2912;3512;−12).\overrightarrow{u}=\displaystyle\frac{1}{3} \overrightarrow{a} -\displaystyle\frac{3}{4} \overrightarrow{b}=\left(\displaystyle\frac{1}{3}\cdot (-5)-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 1;\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 2-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot (-3);\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 3-\displaystyle\frac{3}{4}\cdot 2 \right)=\left(-\displaystyle\frac{29}{12};\displaystyle\frac{35}{12};-\displaystyle\frac{1}{2}\right).

Ví dụ 22. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(−2;7;3) vaˋ B(4;1;5)A(-2;7;3) \text{ và } B(4;1;5). Tính độ dài đoạn thẳng ABAB.

A. AB=62AB=6\sqrt{2}

B. AB=76AB=76

C. AB=2AB=2

D. AB=219AB=2\sqrt{19}

AB=∣AB→∣=(4+2)2+(1−7)2+(5−3)2=219.AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(4+2)^2+(1-7)^2+(5-3)^2}=2\sqrt{19}.

Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(1;3;2),B(2;−1;5),C(3;2;−1)A(1;3;2),B(2;-1;5),C(3;2;-1). Tìm tọa độ điểm DD sao cho tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

A. D(2;6;8)D(2;6;8)

B. D(0;0;8)D(0;0;8)

C. D(2;6;−4)D(2;6;-4)

D. D(4;−2;4)D(4;-2;4)

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AD→=BC→⇔{xD−1=3−2yD−3=2+1zD−2=−1−5⇔{xD=2yD=6zD=−4⇒D(2;6;−4).\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D-1=3-2\\ y_D-3=2+1\\ z_D-2=-1-5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_D=2\\ y_D=6\\ z_D=-4\end{cases}\Rightarrow D(2;6;-4).

Ví dụ 24. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho A(1;−1;0)A(1;-1;0), B(0;2;0)B(0;2;0) và C(2;1;3)C(2;1;3). Tọa độ điểm MM thỏa mãn MA→−MB→+MC→=0→\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0} là

A. M=(3;2;−3)M=(3;2;-3)

B. M=(3;−2;3)M=(3;-2;3)

C. M=(3;−2;−3)M=(3;-2;-3)

D. M=(3;2;3)M=(3;2;3)

Giả sử M=(x;y;z)M=(x;y;z). Khi đó MA→−MB→+MC→=0→⇔{(1−x)−(0−x)+(2−x)=0(−1−y)−(2−y)+(1−y)=0(0−z)−(0−z)+(3−z)=0⇔{x=3y=−2z=3.\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \begin{cases} (1-x)-(0-x)+(2-x)=0\\ (-1-y)-(2-y)+(1-y)=0\\ (0-z)-(0-z)+(3-z)=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=3\\ y=-2\\ z=3.\end{cases} Vậy M=(3;−2;3)M=(3;-2;3).

Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, tìm tọa độ u→\overrightarrow{u} biết u→=2i→−3j→+5k→\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}.

A. u→=(5;−3;2)\overrightarrow{u}=(5;-3;2)

B. u→=(2;−3;5)\overrightarrow{u}=(2;-3;5)

C. u→=(2;5;−3)\overrightarrow{u}=(2;5;-3)

D. u→=(−3;5;2)\overrightarrow{u}=(-3;5;2)

u→=2i→−3j→+5k→⇒u→=(2;−3;5)\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+5\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{u}=(2;-3;5).

Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho các điểm A(1;0;3)A(1;0;3), B(2;3;−4)B(2;3;-4),C(−3;1;2)C(-3;1;2). Tìm tọa độ điểm DD sao cho tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

A. D(−2;4;−5)D(-2;4;-5)

B. D(4;2;9)D(4;2;9)

C. D(6;2;−3)D(6;2;-3)

D. (−4;−2;9)(-4;-2;9)

Gọi D(x;y;z)⇒CD→=(x+3;y−1;z−2)D(x;y;z)\Rightarrow\overrightarrow{CD}=(x+3;y-1;z-2) và BA→=(−1;−3;7)\overrightarrow{BA}=(-1;-3;7).

Để tứ giác ABCDABCD là hình bình hành ta có BA→=CD→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD} ⇒{x+3=−1y−1=−3z−2=7⇒D(−4;−2;9)\Rightarrow \begin{cases}x+3=-1\\ y-1=-3\\ z-2=7\end{cases} \Rightarrow D(-4;-2;9).

Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho OA→=i→−2j→+3k→\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}. Tìm tọa độ điểm AA.

A. A(−1;−2;−3)A\left(-1;-2;-3\right)

B. A(1;2;3)A\left(1;2;3\right)

C. A(1;−2;3)A\left(1;-2;3\right)

D. A(2;−4;6)A\left(2;-4;6\right)

OA→=i→−2j→+3k→=(1;−2;3)⇒A(1;−2;3)\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}=(1;-2;3)\Rightarrow A(1;-2;3).

Ví dụ 28. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, tính tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC với A(1;−1;0)A(1;-1;0), B(2;0;−2)B(2;0;-2), C(0;−2;−4)C(0;-2;-4) là

A. G(1;−1;−2)G\left(1;-1;-2\right)

B. G(1;−1;2)G\left(1;-1;2\right)

C. G(−1;−1;−2)G\left(-1;-1;-2\right)

D. G(−1;1;2)G\left(-1;1;2\right)

Tọa độ điểm GG là

{xG=xA+xB+xC3=1+2+03=1yG=yA+yB+yC3=−1+0−23=−1zG=zA+zB+zC3=0−2−43=−2⇒G(1;−1;−2).\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\displaystyle\frac{1+2+0}{3}=1\\ y_G=\displaystyle\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\displaystyle\frac{-1+0-2}{3}=-1\\ z_G=\displaystyle\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\displaystyle\frac{0-2-4}{3}=-2\end{cases}\Rightarrow G(1;-1;-2).

Ví dụ 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm M(−2;6;1)M(-2;6;1) và M′(a;b;c)M'(a;b;c) đối xứng nhau qua mặt phẳng (Oyz)(Oyz). Tính S=7a−2b+2017c−1S=7a-2b+2017c-1.

A. S=2017S=2017

B. S=2042S=2042

C. S=0S=0

D. S=2018S=2018

Gọi HH là hình chiếu của MM lên (Oyz)(Oyz), suy ra H(0;6;1)H(0;6;1).

Do M′M' đối xứng với MM qua (Oyz)(Oyz) nên MM′MM' nhận HH làm trung điểm, suy ra M′(2;6;1)M'(2;6;1).

Vậy T=7×2−2×6+2017×1−1=2018T=7\times2-2\times6+2017\times1-1=2018.

Ví dụ 30. Trong không gian với hệ tọa độ (O;i→;j→;k→)\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}\right), cho véc-tơ OM→=j→−k→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}. Tìm tọa độ điểm MM.

A. M(0;1;−1)M(0;1;-1)

B. M(1;1;−1)M(1;1;-1)

C. M(1;−1)M(1;-1)

D. M(1;−1;0)M(1;-1;0)

Có OM→=j→−k→=0⋅i→+1⋅j→−1⋅k→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{j}-\overrightarrow{k}=0\cdot\overrightarrow{i}+1\cdot\overrightarrow{j}-1\cdot\overrightarrow{k}, suy ra M(0;1;−1)M(0;1;-1).

Ví dụ 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho u→=(−2;3;0)\overrightarrow{u}=(-2;3;0), v→=(2;−2;1)\overrightarrow{v}=(2;-2;1). Độ dài của véc-tơ w→=u→−2v→\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v} là

A. 373\sqrt{7}

B. 83\sqrt{83}

C. 89\sqrt{89}

D. 3173\sqrt{17}

Ta có w→=u→−2v→=(−2;3;0)−2(2;−2;1)=(−6;7;−2)\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}=(-2;3;0)-2(2;-2;1)=(-6;7;-2).

Vậy mô-đun của véc-tơ w→\overrightarrow{w} là ∣w→∣=89\left|\overrightarrow{w}\right|=\sqrt{89}.

Ví dụ 32. Cho hai điểm A(5;1;3)A(5;1;3), H(3;−3;−1)H(3;-3;-1). Tọa độ của điểm A′A' đối xứng với AA qua HH là

A. (−1;7;5)(-1;7;5)

B. (1;7;5)(1;7;5)

C. (1;−7;−5)(1;-7;-5)

D. (1;−7;5)(1;-7;5)

Do A′A' đối xứng với AA qua HH nên AA′AA' nhận HH làm trung điểm ⇒{xA′=2xH−xA=1yA′=2yH−yA=−7zA′=2zH−zA=−5.\Rightarrow\begin{cases}x_{A'}=2x_H-x_A=1\\ y_{A'}=2y_H-y_A=-7\\ z_{A'}=2z_H-z_A=-5.\end{cases}

Ví dụ 33. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, hình chiếu của điểm M(1;−3;−5)M(1;-3;-5) trên mặt phẳng OxyOxy có tọa độ là

A. (1;−3;5)(1;-3;5)

B. (1;−3;2)(1;-3;2)

C. (1;−3;0)(1;-3;0)

D. (1;−3;1)(1;-3;1)

Hình chiếu của điểm M(1;−3;−5)M(1;-3;-5) trên mặt phẳng OxyOxy có tọa độ là (1;−3;0)(1;-3;0).

Ví dụ 34. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm M(4;−2;7)M(4;-2;7). Hình chiếu vuông góc của điểm MM trên trục OxOx là điểm

A. H(0;−2;7)H(0;-2;7)

B. S(4;−2;0)S(4;-2;0)

C. R(0;0;7)R(0;0;7)

D. K(4;0;0)K(4;0;0)

Hình chiếu vuông góc của M(x;y;z)M(x;y;z) lên OxOx là điểm Mx(x;0;0)M_x(x;0;0). Vậy chọn K(4;0;0).K(4;0;0).

Ví dụ 35. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC có A(3;0;0)A(3;0;0), B(0;3;0)B(0;3;0) và C(0;0;3)C(0;0;3). Tìm tọa độ trọng tâm GG của tam giác ABCABC.

A. G(3;3;3)G(3;3;3)

B. G(1;1;1)G(1;1;1)

C. G(23;23;23)G\left(\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{2}{3};\displaystyle\frac{2}{3}\right)

D. G(13;13;13)G\left(\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right)

Tọa độ trọng tâm tam giác ABCABC là G(1;1;1)G(1;1;1).

Ví dụ 36. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(−1;2;3)A(-1;2;3), B(2;−1;−3)B(2;-1;-3). Tính tọa độ của véc-tơ AB→\overrightarrow{AB}.

A. (3;−3;−6)(3;-3;-6)

B. (−3;3;6)(-3;3;6)

C. (1;1;0)(1;1;0)

D. (3;1;0)(3;1;0)

Ta có AB→=(2+1;−1−2;−3−3)=(3;−3;−6)\overrightarrow{AB}=(2+1;-1-2;-3-3)=(3;-3;-6).

Ví dụ 37. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(1;2;−1)A(1;2;-1), B(3;−1;2)B(3;-1;2), C(6;0;1)C(6;0;1). Tìm tọa độ điểm DD để tứ giác ABCDABCD là hình bình hành.

A. D(4;3;−2)D(4;3;-2)

B. D(8;−3;4)D(8;-3;4)

C. D(−4;−3;2)D(-4;-3;2)

D. D(−2;1;0)D(-2;1;0)

Gọi D(x;y;z)D(x;y;z). Ta có DC→=(6−x;−y;1−z)\overrightarrow{DC}=(6-x;-y;1-z), AB→=(2;−3;3)\overrightarrow{AB}=(2;-3;3).

Do tứ giác ABCDABCD là hình bình hành nên DC→=AB→⇔{6−x=2−y=−31−z=3⇔{x=4y=3z=−2⇒D(4;3;−2)\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\begin{cases}6-x=2\\ -y=-3\\ 1-z=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\ y=3\\ z=-2\end{cases}\Rightarrow D(4;3;-2).

Ví dụ 38. Trong không gian Oxyz Oxyz , cho hai điểm M(1;0;−2) M(1;0;-2) và N(4;3;0) N(4;3;0) . Tính độ dài đoạn thẳng MN MN .

A. MN=14 MN=\sqrt{14}

B. MN=(3;3;2) MN=(3;3;2)

C. NM=22 NM=\sqrt{22}

D. NM=(−3;−3;−2) NM=(-3;-3;-2)

Ta có MN=(4−1)2+(3−0)2+(0+2)2=22 MN=\sqrt{(4-1)^2+(3-0)^2+(0+2)^2}=\sqrt{22} .

Ví dụ 39. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm A(3;−1;1)A\left(3; - 1; 1\right). Điểm đối xứng của AA qua mặt phẳng (Oyz) \left( Oyz\right) là điểm

A. M(−3;−1;1)M\left(- 3; - 1; 1\right)

B. N(0;−1;1)N\left(0; - 1; 1\right)

C. P(0;−1;0)P\left(0; - 1; 0\right)

D. Q(0;0;1)Q\left(0; 0; 1\right)

Giữ nguyên y,z y,z và đổi dấu x x nên ta suy ra điểm đối xứng của AA qua mặt phẳng (Oyz) \left( Oyz\right) là điểm M(−3;−1;1) M\left( -3; -1; 1\right) .

Ví dụ 40. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho a→=(1;2;3)\overrightarrow{a}=(1;2;3), b→=(−2;3;−1)\overrightarrow{b}=(-2;3;-1). Khi đó a→+b→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} có tọa độ là

A. (−1;5;2)(-1;5;2)

B. (3;−1;4)(3;-1;4)

C. (1;5;2)(1;5;2)

D. (1;−5;−2)(1;-5;-2)

Ta có a→+b→=(−1;5;2)\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} =(-1;5;2).

Ví dụ 41. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm A(−3;2;−1)A(-3;2;-1). Tọa độ điểm A′A' đối xứng với điểm AA qua gốc tọa độ OO là

A. A′(3;−2;1)A'(3;-2;1)

B. A′(3;2;−1)A'(3;2;-1)

C. A′(3;−2;−1)A'(3;-2;-1)

D. A′(3;2;1)A'(3;2;1)

Ta có {xA′=2xO−xA=3yA′=2yO−yA=−2zA′=2zO−zA=1\begin{cases}x_{A'}=2x_O-x_A=3\\ y_{A'}=2y_O-y_A=-2\\ z_{A'}=2z_O-z_A=1\end{cases}. Vậy A′(3;−2;1)A'(3;-2;1).

Ví dụ 42. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm A(−2;3;−1)A(-2;3;-1). Gọi A′A' là điểm đối xứng với AA qua trục hoành. Tìm tọa độ điểm A′A'.

A. A′(2;−3;1)A'(2;-3;1)

B. A′(0;−3;1)A'(0;-3;1)

C. A′(−2;−3;1)A'(-2;-3;1)

D. A′(−2;0;0)A'(-2;0;0)

Điểm đối xứng của điểm A(x;y;z)A(x;y;z) qua trục hoành là điểm có dạng A′(x;−y;−z)A'(x;-y;-z).

Suy ra điểm đối xứng của điểm A(−2;3;−1)A(-2;3;-1) qua trục hoành là điểm A′(−2;−3;1)A'(-2;-3;1).

Ví dụ 43. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm A(5;−6;7)A(5;-6;7). Hình chiếu vuông góc của AA trên mặt phẳng (Ozx)(Ozx) là điểm

A. Q(5;0;0)Q(5;0;0)

B. M(5;0;7)M(5;0;7)

C. N(0;−6;0)N(0;-6;0)

D. P(5;−6;0)P(5;-6;0)

Hình chiếu của điểm A(a;b;c)A(a; b; c) trên mặt phẳng (Oxz)(Oxz) là điểm M(a;0;c)M(a; 0; c).

Áp dụng, ta có đáp án M(5;0;7)M(5;0;7).

Ví dụ 44. Cho điểm M(3;2;−1)M(3;2;-1), điểm M′(a;b;c)M'(a;b;c) là điểm đối xứng của điểm MM qua trục OyOy. Khi đó a+b+ca+b+c bằng

A. 66

B. 44

C. 00

D. 22

M′M' là điểm đối xứng của MM qua OyOy nên a=−3,b=2,c=1.a=-3,b=2,c=1. Vậy a+b+c=0a+b+c=0.

Ví dụ 45. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz cho điểm A(1;2;3)A(1; 2; 3). Hình chiếu vuông góc của điểm AA trên mặt phẳng (Oxy)(Oxy) là điểm

A. Q(0;2;0)Q(0; 2; 0)

B. M(0;0;3)M(0; 0; 3)

C. P(1;0;0)P(1; 0; 0)

D. N(1;2;0)N(1; 2; 0)

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3)A(1; 2; 3) trên mặt phẳng (Oxy)(Oxy) là điểm N(1;2;0)N(1; 2; 0).

Ví dụ 46. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−1;2;3)A(-1;2;3), B(1;0;2)B(1;0;2). Độ dài đoạn thẳng ABAB bằng

A. 5\sqrt{5}

B. 33

C. 99

D. 29\sqrt{29}

AB=(1+1)2+(0−2)2+(2−3)2=4+4+1=3AB=\sqrt{(1+1)^2+(0-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{4+4+1}=3.

Ví dụ 47. Trong không gian toạ độ OxyzOxyz, cho điểm A(2;4;3)A(2;4;3). Khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là

A. 22

B. 44

C. 33

D. 55

Hình chiếu của điểm AA xuống mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là H(0;4;3)H(0;4;3) nên khoảng cách từ điểm AA đến mặt phẳng (Oyz)(Oyz) là AH=2AH=2.

Ví dụ 48. Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành, biết A(1;0;1)A(1; 0; 1), B(2;1;2)B(2; 1; 2), D(1;−1;1)D(1; -1; 1). Tìm tọa độ điểm CC.

A. (0;−2;0)(0; -2; 0)

B. (2;2;2)(2; 2; 2)

C. (2;0;2)(2; 0; 2)

D. (2;−2;2)(2; -2; 2)

Tứ giác ABCDABCD là hình bình hành khi AB→=DC→⇔{xC−1=2−1yC+1=1−0zC−1=2−1⇔{xC=2yC=0zC=2.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Leftrightarrow \begin{cases}x_C -1=2-1\\ y_C+1=1-0\\ z_C-1=2-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_C =2\\ y_C=0\\ z_C=2\end{cases}. Tọa độ điểm C(2;0;2)C(2; 0; 2).

Ví dụ 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(1;2;−1)A(1;2;-1), B(2;−1;3)B(2;-1;3), C(−2;3;3)C(-2;3;3). Điểm M(a;b;c)M(a;b;c) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCMABCM, khi đó P=a+b−cP=a+b-c có giá trị bằng

A. −4-4

B. 88

C. 1010

D. 44

Ta có ABCMABCM là hình bình hành ⇔AB→=MC→⇔{−2−xM=13−yM=−33−zM=4⇔{xM=−3yM=6zM=−1.\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \begin{cases} -2-x_M=1\\ 3-y_M=-3\\ 3-z_M=4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_M=-3\\ y_M=6\\ z_M=-1.\end{cases}

Suy ra M(−3;6;−1)M(-3;6;-1), khi đó P=a+b−c=−3+6−(−1)=4P=a+b-c=-3+6-(-1)=4.

Ví dụ 50. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;2;−1);B(2;3;−1)A\left(1;2;-1\right); B\left(2;3;-1\right). Tìm tọa độ điểm CC sao cho AB→=3AC→\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC}.

A. C(43;13;−13)C\left(\displaystyle\frac{4}{3};\displaystyle\frac{1}{3};-\displaystyle\frac{1}{3}\right)

B. C(43;73;−1)C\left(\displaystyle\frac{4}{3};\displaystyle\frac{7}{3};-1\right)

C. C(43;−13;−13)C\left(\displaystyle\frac{4}{3};-\displaystyle\frac{1}{3};-\displaystyle\frac{1}{3}\right)

D. C(−43;13;13)C\left(-\displaystyle\frac{4}{3};\displaystyle\frac{1}{3};\displaystyle\frac{1}{3}\right)

AB→=(1;1;0);AC→=(a−1;b−2;c+1)\overrightarrow{AB}=\left(1;1;0\right); \overrightarrow{AC}=\left(a-1;b-2;c+1\right).

AB→=3AC→⇔{a−1=13b−2=13c+1=0⇔{a=43b=73c=−1.\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a-1=\displaystyle\frac{1}{3} \\ & b-2=\displaystyle\frac{1}{3} \\ & c+1=0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a=\displaystyle\frac{4}{3} \\ & b=\displaystyle\frac{7}{3} \\ & c=-1. \end{aligned}\right.

Ví dụ 51. Trong không gian OxyzOxyz, cho các điểm A(0;−2;−1)A\left(0;- 2;-1\right), B(1;−1;2)B\left(1;- 1; 2\right). Tìm điểm MM trên đoạn ABAB sao cho MA=2MBMA = 2MB

A. (12;32;12)\left(\displaystyle\frac{1}{2};\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{1}{2}\right)

B. (2;0;5)\left(2;0; 5\right)

C. (23;−43;1)\left(\displaystyle\frac{2}{3}; -\displaystyle\frac{4}{3}; 1\right)

D. (−1;−3;−4)\left(- 1;- 3; - 4\right)

Do giả thiết suy ra AM→=2MB→(∗)\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}\quad (*). Giả sử tọa độ điểm M(x0;y0;z0)M\left(x_{0}; y_{0}; z_{0}\right) suy ra AM→(x0;y0+2;z0+1)\overrightarrow{AM}\left(x_{0}; y_{0} + 2; z_{0} + 1\right) và MB→(1−x0;−1−y0;2−z0)\overrightarrow{MB}\left(1 - x_{0}; -1- y_{0}; 2 - z_{0}\right). Từ (∗)(*) ta có

{x0=2(1−x0)y0+2=2(−1−y0)z0+1=2(2−z0)⇔{3x0=23y0=−43z0=3⇔{x0=23y0=−43z0=1.\begin{cases}x_{0} = 2\left(1 - x_{0}\right)\\ y_{0} + 2 = 2\left(- 1 - y_{0}\right)\\ z_{0} + 1 = 2\left(2 - z_{0}\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3x_{0} = 2\\ 3y_{0} = - 4\\ 3z_{0} = 3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x_{0} = \displaystyle\frac{2}{3}\\ y_{0} = - \displaystyle\frac{4}{3}\\ z_{0} = 1.\end{cases}

Suy ra tọa độ điểm M(23;−43;1)M\left(\displaystyle\frac{2}{3}; - \displaystyle\frac{4}{3}; 1\right).

Ví dụ 52. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(−1;2;6)A(-1;2;6), B(5;−4;2)B(5;-4;2), đường thẳng ABAB cắt mặt phẳng (Oxz)(Oxz) tại MM và MA→=k⋅MB→\overrightarrow{MA}=k\cdot \overrightarrow{MB}. Tính kk.

A. k=−12k=-\displaystyle\frac{1}{2}

B. k=12k=\displaystyle\frac{1}{2}

C. k=2k=2

D. k=−2k=-2

M∈Ox⇒M(a;0;0)M\in Ox\Rightarrow M(a;0;0). MA→=(−1−a;2;6−c)\overrightarrow{MA}=(-1-a;2;6-c); MB→=(5−a;−4;2−c)\overrightarrow{MB}=(5-a;-4;2-c); AB→=(6;−6;−4)\overrightarrow{AB}=(6;-6;-4).

MA→=k⋅MB→⇔{−1−a=k(5−a)2=−4k6−c=k(2−c)⇒k=−12.\overrightarrow{MA}=k\cdot \overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \begin{cases}-1-a=k(5-a)\\ 2=-4k\\ 6-c=k(2-c)\end{cases} \Rightarrow k=-\displaystyle\frac{1}{2}.

Ví dụ 53. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D', với A(−3;0;0)A(-3;0;0), B(0;2;0)B(0;2;0), D(0;0;1)D(0;0;1) và A′(1;2;3)A'(1;2;3). Tìm tọa độ điểm C′C'.

A. C′(10;4;4)C'(10;4;4)

B. C′(−13;4;4)C'(-13;4;4)

C. C′(13;4;4)C'(13;4;4)

D. C′(7;4;4)C'(7;4;4)

Ta có {AB→=(3;2;0)AD→=(3;0;1)AA′→=(4;2;3).\begin{cases}\overrightarrow{AB}=(3;2;0)\\ \overrightarrow{AD}=(3;0;1)\\ \overrightarrow{AA'}=(4;2;3).\end{cases}

Do ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên theo quy tắc hình hộp, ta có

AC′→=AB→+AD→+AA′→⇒{xC′+3=10yC′=4zC′=4⇔{xC′=7yC′=4zC′=4⇒C′(7;4;4).\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}\Rightarrow \begin{cases}x_{C'}+3=10\\ y_{C'}=4\\ z_{C'}=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_{C'} =7\\ y_{C'}=4\\ z_{C'}=4\end{cases} \Rightarrow C'(7;4;4).

Ví dụ 54. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Biết tọa độ các đỉnh A(−3;2;1),C(4;2;0),B′(−2;1;1),D′(3;5;4)A(-3;2;1), C(4;2;0), B'(-2;1;1), D'(3;5;4). Tìm tọa độ điểm A′A' của hình hộp.

A. A′(−3;3;3)A'(-3;3;3)

B. A′(−3;−3;−3)A'(-3;-3;-3)

C. A′(−3;3;1)A'(-3;3;1)

D. A′(−3;−3;3)A'(-3;-3;3)

Gọi I,I′I, I' lần lượt là tâm của ABCDABCD và A′B′C′D′A'B'C'D'. Khi đó:

II là trung điểm ACAC nên I(12;2;12)I\left( \displaystyle\frac{1}{2};2;\displaystyle\frac{1}{2}\right) .

I′I' là trung điểm B′D′B'D' nên I′(12;3;52)I'\left( \displaystyle\frac{1}{2};3;\displaystyle\frac{5}{2}\right) .

Hơn nữa AA′→=II′→⇔(xA′+3;yA′−2;zA′−1)=(0;1;2)\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{II'}\Leftrightarrow \left(x_{A'}+3;y_{A'}-2;z_{A'}-1 \right)=(0;1;2) hay A′(−3;3;3)A'(-3;3;3).

Ví dụ 55. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm A(−3;4;2)A(-3;4;2), B(−5;6;2)B(-5;6;2), C(−4;6;−1)C(-4;6;-1). Tọa độ điểm DD thỏa mãn AD→=2AB→+3AC→\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AC} là

A. (10;17;−7)(10;17;-7)

B. (−10;−17;7)(-10;-17;7)

C. (10;−17;7)(10;-17;7)

D. (−10;14;−7)(-10;14;-7)

Giả sử DD có tọa độ (x;y;z)(x;y;z). Ta có AD→=(x+3;y−4;z−2)\overrightarrow{AD} = (x+3;y-4;z-2), AB→=(−2;2;0)\overrightarrow{AB} =(-2;2;0), AC→=(−1;2;−3)\overrightarrow{AC}=(-1;2;-3).

Suy ra 2AB→+3AC→=(−7;10;−9)2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC} = (-7;10;-9).

AD→=2AB→+3AC→⇔{x+3=−7y−4=10z−2=−9⇔{x=−10y=14z=−7.\overrightarrow{AD} =2\overrightarrow{AB} +3\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \begin{cases}x+3 =-7 \\ y-4 = 10 \\ z-2 = -9\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-10 \\ y=14 \\ z=-7.\end{cases}

Ví dụ 56. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai véc-tơ a→=(m;2;4)\overrightarrow{a}=(m;2;4) và b→=(1;n;2)\overrightarrow{b}=(1;n;2) cùng phương. Tìm cặp số thực (m;n)(m;n).

A. (m;n)=(4;8)(m;n)=(4;8)

B. (m;n)=(1;2)(m;n)=(1;2)

C. (m;n)=(2;1)(m;n)=(2;1)

D. (m;n)=(−2;−1)(m;n)=(-2;-1)

Hai véc-tơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng phương ⇔m1=2n=42⇔m=2, n=1\Leftrightarrow\displaystyle\frac{m}{1}=\displaystyle\frac{2}{n}=\displaystyle\frac{4}{2}\Leftrightarrow m=2,\ n=1.

Ví dụ 57. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC biết C(1;1;1)C(1;1;1) và trọng tâm G(2;5;8)G(2;5;8). Tìm tọa độ các đỉnh AA và BB biết AA thuộc mặt phẳng (Oxy)(Oxy) và điểm BB thuộc trục OzOz.

A. A(3;9;0)A(3;9;0) và B(0;0;15)B(0;0;15)

B. A(6;15;0)A(6;15;0) và B(0;0;24)B(0;0;24)

C. A(7;16;0)A(7;16;0) và B(0;0;25)B(0;0;25)

D. A(5;14;0)A(5;14;0) và B(0;0;23)B(0;0;23)

Vì A∈(Oxy)A\in (Oxy) và B∈OzB\in Oz nên A(x;y;0)A(x;y;0), B(0;0;z)B(0;0;z).\\ Do GG là trọng tâm tam giác ABCABC nên ta có {x+0+13=2y+0+13=50+z+13=8⇒{x=5y=14z=23\begin{cases}\displaystyle\frac{x+0+1}{3}=2\\ \displaystyle\frac{y+0+1}{3}=5\\ \displaystyle\frac{0+z+1}{3}=8\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x=5\\ y=14\\ z=23\end{cases}.

Vậy A(5;14;0)A(5;14;0), B(0;0;23)B(0;0;23).

Ví dụ 58. Trong không gian OxyzOxyz cho tam giác MNPMNP biết M(−9;0;4)M(-9;0;4), N(3;6;−7)N(3;6;-7) và G(−2;3;−1)G(-2;3;-1) là trọng tâm tam giác MNPMNP. Tọa độ điểm PP là

A. (0;−3;0)(0;-3;0)

B. (0;2;0)(0;2;0)

C. (0;3;1)(0;3;1)

D. (0;3;0)(0;3;0)

Gọi P(xP;yP;zP)P(x_P;y_P;z_P), khi đó {xG=13(xM+xN+xP)yG=13(yM+yN+yP)zG=13(zM+zN+zP)⇒{xP=0yP=3zP=0.\begin{cases}x_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( x_M+x_N+x_P\right) \\ y_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( y_M+y_N+y_P\right) \\ z_G=\displaystyle\frac{1}{3}\left( z_M+z_N+z_P\right)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_P=0\\ y_P=3\\ z_P=0.\end{cases}

Vậy P(0;3;0)P(0;3;0).

Ví dụ 59. Trong không gian OxyzOxyz, cho bốn điểm M(2;−3;5)M(2;-3;5), N(4;7;−9)N(4;7;-9), E(3;2;1)E(3;2;1), F(1;−8;12)F(1;-8;12). Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng?

A. M, N, EM,\ N,\ E

B. M, E, FM,\ E,\ F

C. N, E, FN,\ E,\ F

D. M, N, FM,\ N,\ F

MN→=(2;10;−14),ME→=(1;5;−4),MF→=(−1;−5;7),NE→=(−1;−5;10),NF→=(−3;−15;21).\begin{aligned} & \overrightarrow{MN}=(2;10;-14),\\ & \overrightarrow{ME}=(1;5;-4),\\ & \overrightarrow{MF}=(-1;-5;7),\\ & \overrightarrow{NE}=(-1;-5;10),\\ & \overrightarrow{NF}=(-3;-15;21). \end{aligned} Từ đó suy ra hai véctơ MN→\overrightarrow{MN} và MF→\overrightarrow{MF} cùng phương vì MN→=−23NF→\overrightarrow{MN}=-\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{NF}, do đó ba điểm M, N, FM,\ N,\ F thẳng hàng.

Ví dụ 60. Cho a→=(−2;1;3)\overrightarrow{a}=(-2;1;3), b→=(1;2;m)\overrightarrow{b}=(1;2;m). Véc-tơ a→\overrightarrow{a} vuông góc với véc-tơ b→\overrightarrow{b} khi

A. m=1m=1

B. m=−1m=-1

C. m=2m=2

D. m=0m=0

a→⊥b→⇔a→⋅b→=0⇔−2+2+3m=0⇔m=0.\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0 \Leftrightarrow -2+2+3m=0 \Leftrightarrow m = 0.

Ví dụ 61. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho OA→=3i→+j→−2k→\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k} và B(m;m−1;−4)B(m;m-1;-4). Tìm tất cả các giá trị của tham số mm để độ dài đoạn AB=3AB=3.

A. m=1m=1

B. m=1m=1 hoặc m=4m=4

C. m=−1m=-1

D. m=4m=4

Từ giả thiết ta có A(3;1;−2)A(3;1;-2). Từ đó AB→=(m−3;m−2;−2)\overrightarrow{AB}=(m-3;m-2;-2).

Ta có AB=3⇔AB2=9⇔(m−3)2+(m−2)2+(−2)2=9⇔2m2−10m+8=0⇔x=1 ∨ x=4.AB=3\Leftrightarrow AB^2=9\Leftrightarrow (m-3)^2+(m-2)^2+(-2)^2=9\Leftrightarrow 2m^2-10m+8=0\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=4.

Vậy m=1m=1 hoặc m=4m=4.

Ví dụ 62. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai véc-tơ a→=(2;1;0)\overrightarrow{a}=(2;1;0), b→=(−1;0;2)\overrightarrow{b}=(-1;0;2). Tính cos⁡(a→,b→).\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).

A. cos⁡(a→,b→)=225\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{2}{25}

B. cos⁡(a→,b→)=−225\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\displaystyle\frac{2}{25}

C. cos⁡(a→,b→)=−25\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\displaystyle\frac{2}{5}

D. cos⁡(a→,b→)=25\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{2}{5}

cos⁡(a→,b→)=a→⋅b→∣a→∣⋅∣b→∣=2⋅(−1)+1⋅0+0⋅222+12+02⋅(−1)2+02+22=−25.\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\displaystyle\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\displaystyle\frac{2\cdot(-1)+1\cdot0+0\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}}=-\displaystyle\frac{2}{5}.

Ví dụ 63. Trong không gian OxyzOxyz, cho tam giác ABCABC với A(8;9;2)A(8; 9; 2), B(3;5;1)B(3; 5; 1), C(11;10;4)C(11; 10; 4). Số đo góc AA của tam giác ABCABC là

A. 150∘150^\circ

B. 60∘60^\circ

C. 120∘120^\circ

D. 30∘30^\circ

Ta có BAC^=(AB→;AC→)\widehat{BAC} = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right), AB→=(−5;−4;−1)\overrightarrow{AB} = (-5; -4; -1), AC→=(3;1;2)\overrightarrow{AC} = (3;1;2). Ta có cos⁡(AB→;AC→)=AB→⋅AC→∣AB→∣⋅∣AC→∣=−2142⋅14=−32⇒BAC^=(AB→;AC→)=150∘.\cos \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right) = \displaystyle\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{AC} \right|} = \displaystyle\frac{-21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{14}} = - \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \widehat{BAC} = \left( \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} \right) = 150^\circ.

Ví dụ 64. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho ba điểm M(2;3;1)M(2;3;1), N(3;1;1) N(3;1;1) và P(1;m−1;2)P(1;m-1;2). Tìm mm để MN⊥NPMN\perp NP.

A. m=−4m=-4

B. m=2m=2

C. m=1m=1

D. m=0m=0

MN→=(1;−2;0)\overrightarrow{MN}=(1;-2;0) và NP→=(−2;m−2;1)\overrightarrow{NP}=(-2;m-2;1). Để MN⊥NPMN\perp NP thì 1⋅(−2)+(−2)⋅(m−2)=0⇔m=11\cdot(-2)+(-2)\cdot (m-2)=0 \Leftrightarrow m=1.

Ví dụ 65. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho A(2;3;−1)A(2;3;-1) ,B(−1;1;1)B(-1;1;1), C(1;m−1;2)C(1;m-1;2). Tìm mm để tam giác ABCABC vuông tại BB.

A. m=1m=1

B. m=0m=0

C. m=2m=2

D. m=−3m=-3

BA→=(3;2;−2),BC→=(2;m−2;1)\overrightarrow{BA}=(3;2;-2),\overrightarrow{BC}=(2;m-2;1).

Để tam giác ABCABC vuông tại BB thì

\[BA⊥BC⇔BA→⋅BC→=0⇔3⋅2+2⋅(m−2)+(−2)⋅1=0⇔m=0BA\perp BC\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0\Leftrightarrow 3\cdot 2+2\cdot (m-2)+(-2)\cdot 1=0\Leftrightarrow m=0.\]

Ví dụ 66. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz cho M(2;3;−1)M(2;3;-1), N(−2;−1;3)N(-2;-1;3). Tìm tọa độ điểm EE thuộc trục hoành sao cho tam giác MNEMNE vuông tại MM.

A. (−2;0;0)(-2;0;0)

B. (0;6;0)(0;6;0)

C. (6;0;0)(6;0;0)

D. (4;0;0)(4;0;0)

Gọi E(x;0;0)∈OxE(x;0;0)\in Ox. Ta có MN→=(−4;−4;4)\overrightarrow{MN}=(-4;-4;4), ME→=(x−2;−3;1)\overrightarrow{ME}=(x-2;-3;1).

△MNE\triangle MNE vuông tại MM khi và chỉ khi MN→⋅ME→=0⇔x−2−3−1=0⇔x=6\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{ME}=0\Leftrightarrow x-2-3-1=0\Leftrightarrow x=6.

Vậy tọa độ điểm EE là (6;0;0)(6;0;0).

Ví dụ 67. Cho 2 véc-tơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} tạo với nhau một góc 120∘120^\circ. Tìm ∣a→−b→∣\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|, biết ∣a→∣=3,∣b→∣=5|\overrightarrow{a}|=3,\left|\overrightarrow{b}\right|=5.

A. 34−83\sqrt{34-8\sqrt{3}}

B. 22

C. 19\sqrt{19}

D. 77

Ta có (a→−b→)2=∣a→∣2+∣b→∣2−2⋅∣a→∣⋅∣b→∣⋅cos⁡(a→,b→)=49\left(\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b}\right)^2=|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right) = 49.

Do đó ∣a→−b→∣2=49⇒∣a→−b→∣=7\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|^2=49 \Rightarrow \left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right| =7.

Dạng 2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu

Ví dụ 1. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:(x+3)2+(y+1)2+(z−1)2=2(S)\colon (x+3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2. Tâm của (S)(S) có tọa độ là

A. (3;1;−1)(3;1;-1)

B. (3;−1;1)(3;-1;1)

C. (−3;−1;1)(-3;-1;1)

D. (−3;1;−1)(-3;1;-1)

Tâm của (S) ⁣:(x+3)2+(y+1)2+(z−1)2=2(S)\colon (x+3)^2+(y+1)^2+(z-1)^2=2 có tọa độ là (−3;−1;1)(-3;-1;1).

Ví dụ 2. Trong không gian OxyzOxyz, mặt cầu (S) ⁣:(x−5)2+(y−1)2+(z+2)2=3\left( S \right)\colon\left(x - 5\right)^2+\left(y - 1\right)^2+\left(z + 2\right)^2= 3 có bán kính bằng

A. 3\sqrt{3}

B. 232\sqrt{3}

C. 33

D. 99

Bán kính mặt cầu R=3R=\sqrt{3}.

Ví dụ 3. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0. Tính bán kính RR của mặt cầu (S)(S).

A. R=9R=9

B. R=33R=3\sqrt3

C. R=3R=\sqrt3

D. R=3R=3

Mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;−2;−1)I(1;-2;-1) và bán kính R=12+(−2)2+(−1)2−(−3)=3R=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-1)^2-(-3)}=3.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,Oxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−2x+4z+1=0(S) \colon x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0. Tâm của mặt cầu là điểm

A. I(1;−2;0)I(1;-2;0)

B. I(1;0;−2)I(1;0;-2)

C. I(−1;2;0)I(-1;2;0)

D. I(0;1;2)I(0;1;2)

Ta có (S):(x−1)2+y2+(z+2)2=4⇒(S) (S): (x-1)^2+y^2+(z+2)^2=4\Rightarrow (S) có tâm I(1;0;−2). I(1;0;-2).

Ví dụ 5. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2+4x−2y+6z+5=0{(S) \colon x^2+y^2+z^2 +4x-2y+6z+5=0}. Mặt cầu (S)(S) có bán kính bằng

A. 33

B. 55

C. 22

D. 77

Bán kính mặt cầu R=22+12+32−5=3. R=\sqrt{2^2+1^2+3^2-5}=3.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S):(x−5)2+(y−1)2+(z+2)2=16\left(S \right): \left( x-5 \right)^2+\left( y-1 \right)^2+\left( z+2 \right)^2=16. Tính bán kính của (S)\left( S \right).

A. 44

B. 1616

C. 77

D. 55

Bán kính của mặt cầu (S)\left( S \right) là R=16=4R=\sqrt{16} =4.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, tính bán kính RR của mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−2x−2y=0(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x-2y=0.

A. R=2R=\sqrt{2}

B. R=2R=2

C. R=3R=\sqrt{3}

D. R=1R=1

Với hình cầu x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0 thì bán kính là R=a2+b2+c2−dR=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}. Nên bán kính của (S)(S) là R=2R=\sqrt{2}.

Ví dụ 8. Trong không gian OxyzOxyz, mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2+4x−2y+2z−3=0(S)\colon x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0 có tâm và bán kính là

A. I(2;−1;1)I(2;-1;1), R=9R=9

B. I(−2;1;−1)I(-2;1;-1), R=3R=3

C. I(2;−1;1)I(2;-1;1), R=3R=3

D. I(−2;1;−1)I(-2;1;-1), R=9R=9

Mặt cầu (S)(S) có tâm I(−2;1;−1)I(-2;1;-1) và bán kính R=(−2)2+12+(−1)2−(−3)=3R=\sqrt{(-2)^2+1^2+(-1)^2-(-3)}=3.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:(x−2)2+y2+(z+1)2=4(S)\colon (x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 4. Tọa độ tâm II của mặt cầu (S)(S) là

A. I(2;1−1)I(2;1-1)

B. I(2;0;−1)I(2;0;-1)

C. I(−2;0;1)I(-2;0;1)

D. I(−2;1;1)I(-2;1;1)

Tâm của mặt cầu (S)(S) là I(2;0;−1)I(2;0;-1).

Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S):(x−9)2+(y−1)2+(z−1)2=25(S) : (x-9)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=25. Tìm tâm II và tính bán kính RR của (S)(S).

A. I(9;1;1)I(9;1;1) và R=5R=5

B. I(9;−1;−1)I(9;-1;-1) và R=5R=5

C. I(9;1;1)I(9;1;1) và R=25R=25

D. I(9;1;−1)I(9;1;-1) và R=25R=25

Từ phương trình mặt cầu, đọc được ngay tọa độ tâm I(9;1;1)I(9;1;1) và bán kính R=5R=5.

Ví dụ 11. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S)(S) có phương trình (x+4)2+(y−3)2+(z+1)2=9(x+4)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=9. Tọa độ tâm II của mặt cầu (S)(S) là

A. I(4;−3;1)I(4;-3;1)

B. I(−4;3;1)I(-4;3;1)

C. I(−4;3;−1)I(-4;3;-1)

D. I(4;3;1)I(4;3;1)

Dạng phương trình mặt cầu (S)(S) là (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Khi đó mặt cầu (S)(S) có tâm I(a,b,c)I(a,b,c). Vậy I(−4;3;−1)I(-4;3;-1).

Ví dụ 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu (S):(x+2)2+(y−1)2+z2=4(S): (x+2)^2+(y-1)^2+z^2=4 có tâm II và bán kính RR bằng

A. I(2;−1;0),R=4I(2;-1;0), R=4

B. I(2;−1;0),R=2I(2;-1;0), R=2

C. I(−2;1;0),R=2I(-2;1;0), R=2

D. I(−2;1;0),R=4I(-2;1;0), R=4

Phương trình mặt cầu có dạng (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. Tâm I(a,b,c)I(a,b,c), bán kính RR.

Tâm I(−2;1;0)I(-2;1;0), bán kính R=2R=2.

Ví dụ 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:(x+1)2+(y−2)2+(z−1)2=9(S)\colon (x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9. Tìm tọa độ tâm II và tính bán kính RR của mặt cầu (S)(S).

A. I(−1;2;1)I(-1;2;1) và R=3R=3

B. I(−1;2;1)I(-1;2;1) và R=9R=9

C. I(1;−2;−1)I(1;-2;-1) và R=3R=3

D. I(1;−2;−1)I(1;-2;-1) và R=9R=9

Mặt cầu (S)(S) có tâm I(−1;2;1)I(-1;2;1) và bán kính R=9=3R=\sqrt{9}=3.

Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz. Tìm tâm II và tính bán kính RR của mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−2x−4y+2z+2=0(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z+2=0.

A. I(−1;−2;1),R=2I\left(-1;-2;1\right),R=2

B. I(1;2;−1),R=22I\left(1;2;-1\right),R=2\sqrt{2}

C. I(−1;−2;1),R=22I\left(-1;-2;1\right),R=2\sqrt{2}

D. I(1;2;−1),R=2I\left(1;2;-1\right),R=2

Mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;2;−1)I(1;2;-1) và bán kính R=12+22+(−1)2−2=2R=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2-2}=2.

Ví dụ 15. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−2x+4y−6z−2=0(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-6 z-2=0. Tìm tọa độ tâm II và bán kính RR của mặt cầu (S)(S).

A. I(1;−2;3)I(1;-2;3) và R=12R=\sqrt{12}

B. I(1;−2;3)I(1;-2;3) và R=4R=4

C. I(−1;2;−3)I(-1;2;-3) và R=16R=16

D. I(−1;2;−3)I(-1;2;-3) và R=4R=4

Ta có a=1a=1, b=−2b=-2, c=3c=3, d=−2d=-2. Tâm mặt cầu I(1;−2;3)I(1;-2;3), bán kính R=12+(−2)2+32−(−2)=4R=\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2-(-2)}=4.

Ví dụ 16. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S):x2+y2+z2−2x−4y−6z=0(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = 0 và ba điểm O(0;0;0)O(0; 0; 0), A(1;2;3)A(1; 2; 3), B(2;−1;−1)B(2; -1; -1). Trong số ba điểm trên số điểm nằm trên mặt cầu là

A. 22

B. 00

C. 33

D. 11

Lần lượt thay tọa độ các điểm O,A,BO, A, B vào phương trình mặt cầu (S)(S) ta chỉ thấy duy nhất điểm OO thuộc mặt cầu (S)(S).

Ví dụ 17. Trong không gian OxyzOxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu?

A. x2+y2−z2+4x−2y+6z+5=0x^2+y^2-z^2+4x-2y+6z+5=0

B. x2+y2+z2+4x−2y+6z+15=0x^2+y^2+z^2+4x-2y+6z+15=0

C. x2+y2+z2+4x−2y+z−1=0x^2+y^2+z^2+4x-2y+z-1=0

D. x2+y2+z2−2x+2xy+6z−5=0x^2+y^2+z^2-2x+2xy+6z-5=0

Phương trình x2+y2+z2+4x−2y+z−1=0x^2+y^2+z^2+4x-2y+z-1=0 là phương trình mặt cầu vì có dạng là x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0 và thỏa a2+b2+c2−d>0a^2+b^2+c^2-d>0 (dễ nhận biết vì d=−1<0d=-1<0).

Ví dụ 18. Trong không gian OxyzOxyz, tìm tất cả các giá trị của mm để phương trình x2+y2+z2+4x−2y+2z+m=0x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z+m=0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m≤6m\leq 6

B. m<6m<6

C. m>6m>6

D. m≥6m\geq 6

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi: (2)2+(−1)2+(1)2−m>0⇔m<6 (2)^2+(-1)^2+(1)^2-m > 0 \Leftrightarrow m < 6 .

Ví dụ 19. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S): x2+(y−1)2+z2=2(S):\ x^2+(y-1)^2+z^2=2. Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S)(S)?

A. M(1;1;1)M(1;1;1)

B. N(0;1;0)N(0;1;0)

C. P(1;0;1)P(1;0;1)

D. Q(1;1;0)Q(1;1;0)

Mặt cầu có tâm I(0;1;0)I(0;1;0) và bán kính R=2R=\sqrt{2}. Vì IP=3>RIP=\sqrt{3}>R nên điểm PP nằm ngoài mặt cầu (S)(S).

Ví dụ 20. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?

A. x2+y2+z2−2x+4y+3z+8=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 8 = 0

B. x2+y2+z2−2x+4y+3z+7=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 7 = 0

C. x2+y2−2x+4y−1=0x^2 + y^2 - 2x + 4y - 1 = 0

D. x2+z2−2x+6z−2=0x^2 + z^2 - 2x + 6z -2 = 0

Xét phương trình x2+y2+z2−2x+4y+3z+7=0⇒a=1,b=−2,c=−32,d=7⇒a2+b2+c2−d=14>0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 7 = 0\Rightarrow a=1, b=-2, c=-\displaystyle\frac{3}{2}, d=7\Rightarrow a^2+b^2+c^2-d=\displaystyle\frac{1}{4}>0. Vậy x2+y2+z2−2x+4y+3z+7=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 3z + 7 = 0 là phương trình mặt cầu.

Ví dụ 21. Trong không gian OxyzOxyz, tìm điều kiện của tham số mm để phương trình x2+y2+z2−2mx+4y+2mz+m2+5m=0x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y + 2mz + m^2 + 5m = 0 là phương trình mặt cầu

A. m<4m < 4

B. m≤1 ∨ m≥4m\leq 1\ \vee\ m\geq 4

C. m>1m > 1

D. m<1 ∨ m>4m < 1\ \vee\ m> 4

Ta có phương trình x2+y2+z2−2mx+4y+2mz+m2+5m=0⇔(x−m)2+(y+2)2+(z+m)2=m2−5m+4x^2 + y^2 + z^2 - 2mx + 4y + 2mz + m^2 + 5m = 0\Leftrightarrow \left(x - m\right)^2 + \left(y + 2\right)^2 + \left(z + m\right)^2 = m^2 - 5m + 4 Để thỏa mãn bài toán khi m2−5m+4>0⇔m<1 ∨ m>4.m^2 - 5m + 4 > 0\Leftrightarrow m < 1\ \vee\ m > 4.

Ví dụ 22. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−2x−4y+4z−m=0(S)\colon x^2 + y^2+ z^2 -2x - 4y + 4z - m = 0 (mm là tham số ). Biết mặt cầu có bán kính bằng 55. Tìm mm.

A. m=25m=25

B. m=11m=11

C. m=16m=16

D. m=−16m=-16

R=5⇔1+4+4+m=5⇔m=16R=5\Leftrightarrow \sqrt{1+4+4+m}=5\Leftrightarrow m=16.

Ví dụ 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, tìm tất cả các giá trị mm để phương trình x2+y2+z2−2x−2y−4z+m=0x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z+m=0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m>6m>6

B. m≤6m\le6

C. m<6m<6

D. m≥6m\ge6

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu ⇔12+12+22−m>0⇔m<6\Leftrightarrow 1^2+1^2+2^2-m>0\Leftrightarrow m<6.

Ví dụ 24. Trong không gian OxyzOxyz, phương trình x2+y2+z2−2mx+6y+4mz+6m2−4m+12=0x^2+y^2+z^2-2mx+6y+4mz+6m^2-4m+12=0 là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi

A. 1≤m≤31\leq m\leq 3

B. −3<m<−1-3 < m < -1

C. −1<m<3-1 < m < 3

D. 1<m<31 < m < 3

Ta có a=ma=m, b=−3b=-3, c=−2mc=-2m và d=6m2−4m+12d=6m^2-4m+12.

Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2−d=m2+9+4m2−(6m2−4m+12)>0⇔m2−4m+3<0⇔1<m<3.a^2+b^2+c^2-d=m^2+9+4m^2-(6m^2-4m+12) > 0 \Leftrightarrow m^2-4m+3 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3.

Ví dụ 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,Oxyz, tìm số giá trị nguyên m∈[−2018;2018]m\in [-2018;2018] để phương trình (C) ⁣:x2+y2+z2−2mx+2my−2mz+27=0(C)\colon x^2+y^2+z^2-2mx+2my-2mz+27=0 là phương trình mặt cầu.

A. 40334033

B. 40304030

C. 40314031

D. 40324032

Điều kiện 3m2−27>0⇔m<−33m^2-27>0\Leftrightarrow m < -3 hay m>3m>3. Mặt khác m∈[−2018;2018]⇒m∈{−2018;−2017;…;−5;−4;4;5;…;2017;2018}.m\in [-2018;2018]\Rightarrow m\in \{-2018;-2017;\ldots;-5;-4;4;5;\ldots;2017;2018\}. Có tất cả 40304030 giá trị nguyên của mm thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz cho phương trình: x2+y2+z2−2(m+2)x+4my−2mz+5m2+9=0{x}^2+y^2+z^2-2\left(m+2\right)x+4my-2mz+5m^2+9=0. Tìm mm để phương trình trên là phương trình của một mặt cầu

A. −5<m<1-5 < m < 1

B. m<−5m < -5 hoặc m>1m > 1

C. m<−5m < -5

D. m>1m > 1

Để phương trình x2+y2+z2−2(m+2)x+4my−2mz+5m2+9=0x^2+y^2+z^2-2(m+2)x+4my-2mz+5m^2+9=0 là phương trình của một mặt cầu thì: (m+2)2+(2m)2+m2−5m2−9>0⇔m2+4m−5>0⇔m<−5{(m+2)}^2+{(2m)}^2+m^2-5m^2-9>0\Leftrightarrow m^2+4m-5>0\Leftrightarrow m<-5 hoặc m>1m>1.

Ví dụ 27. Trong không gian OxyzOxyz, cho phương trình x2+y2+z2+2(2m−3)x−2(m+1)y+2z+4m2−4m+3=0  (1)x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(2m-3)x-2(m+1)y+2z+4m^{2}-4m+3=0 \ \ (1) với mm là tham số. Gọi SS là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của mm để (1)(1) không phải là phương trình của mặt cầu. Tính tổng các phần tử của SS.

A. 1515

B. 1616

C. 33

D. 99

Từ phương trình ta có a=−2m+3;b=m+1;c=−1;d=4m2−4m+3a=-2m+3; b=m+1; c=-1; d=4m^2-4m+3.

Để (1)\left(1\right) không là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2−d≤0a^2+b^2+c^2-d\leq 0 tức là

(−2m+3)2+(m+1)2+1−4m2+4m−3≤0⇔m2−6m+8≤0⇔2≤m≤4\left(-2m+3\right)^2+\left(m+1\right)^2+1-4m^2+4m-3\leq 0 \Leftrightarrow m^2-6m+8\leq 0 \Leftrightarrow 2\leq m\leq 4.

Vậy S={2;3;4}S=\left\{2;3;4\right\} và tổng các phần tử của SS là 99.

Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1. Trong không gian OxyzOxyz, phương trình mặt cầu tâm I(2;1;−3)I(2;1;-3) bán kính R=4R=4 là

A. (x+2)2+(y+1)2+(z−3)2=16(x+2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=16

B. (x+2)2+(y+1)2+(z−3)2=4(x+2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4

C. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=4(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=4

D. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=16(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=16

Áp dụng công thức mặt cầu tâm I(a;b;c)I(a;b;c), bán kính RR có phương trình là (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu tâm I(3;−1;0)I(3;-1;0), bán kính R=5R=5 có phương trình là

A. (x+3)2+(y−1)2+z2=5(x+3)^2+(y-1)^2+z^2=5

B. (x−3)2+(y+1)2+z2=5(x-3)^2+(y+1)^2+z^2=5

C. (x−3)2+(y+1)2+z2=25(x-3)^2+(y+1)^2+z^2=25

D. (x+3)2+(y−1)2+z2=25(x+3)^2+(y-1)^2+z^2=25

Mặt cầu tâm I(3;−1;0)I(3;-1;0), bán kính R=5R=5 có phương trình là (x−3)2+(y+1)2+z2=25(x-3)^2+(y+1)^2+z^2=25.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz , cho điểm A(2;−3;1)A(2;-3;1). Viết phương trình mặt cầu tâm AA và có bán kính R=5R=5.

A. (x+2)2+(y−3)2+(z+1)2=5(x+2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=5

B. (x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=25(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25

C. (x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=5(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=5

D. (x+2)2+(y−3)2+(z+1)2=25(x+2)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25

Mặt cầu tâm A(2;−3;1)A(2;-3;1) và bán kính R=5R=5 có phương trình là (x−2)2+(y+3)2+(z−1)2=25.(x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu tâm I(2;−2;3)I(2; -2; 3) đi qua điểm A(5;−2;1)A(5; -2; 1) có phương trình

A. (x−5)2+(y−2)2+(z+1)2=13(x-5)^2 +(y-2)^2 +(z+1)^2 = \sqrt{13}

B. (x+2)2+(y−2)2+(z+3)2=13(x+2)^2 +(y-2)^2 +(z+3)^2 = 13

C. (x−2)2+(y+2)2+(z−3)2=13(x-2)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 = 13

D. (x−2)2+(y+2)2+(z−3)2=13(x-2)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 = \sqrt{13}

Mặt cầu có bán kính R=IA=13R=IA=\sqrt{13}.

Mặt cầu tâm I(2;−2;3)I(2; -2; 3) bán kính R=13R=\sqrt{13} là (x−2)2+(y+2)2+(z−3)2=13(x-2)^2 +(y+2)^2 +(z-3)^2 = 13.

Ví dụ 5. Trong không gian OxyzOxyz, phương trình mặt cầu (S)\left(S\right) đường kính ABAB với A(4;−3;5)A\left(4; -3; 5\right), B(2;1;3)B\left(2; 1; 3\right) là

A. x2+y2+z2+6x+2y−8z−26=0x^2 + y^2 + z^2 + 6x + 2y - 8z - 26 = 0

B. x2+y2+z2−6x+2y−8z+20=0x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 8z + 20 = 0

C. x2+y2+z2+6x−2y+8z−20=0x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 2y + 8z - 20 = 0

D. x2+y2+z2−6x+2y−8z+26=0x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 8z + 26 = 0

Ta có AB=(2−4)2+(1+4)2+(3−5)2=26AB = \sqrt{\left(2 - 4\right)^2 + \left(1 + 4\right)^2 + \left(3 - 5\right)^2} = 2\sqrt{6}. Gọi II, RR là tâm và bán kính của mặt cầu (S)\left(S\right) suy ra R=AB2=6R = \displaystyle\frac{AB}{2} = \sqrt{6} và I(3;−1;4)I\left(3; - 1; 4\right). Khi đó phương trình mặt cầu (S)\left(S\right) là (x−3)2+(y+1)2+(z−4)2=6⇔x2+y2+z2−6x+2y−8z+20=0\left(x - 3\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 4\right)^2 = 6\Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 8z + 20 = 0

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, viết phương trình mặt cầu (S)(S) có tâm I(−1;4;2)I(-1;4;2), biết thể tích khối cầu tương ứng là V=972πV=972\pi.

A. (x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=81(x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=81

B. (x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=9(x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=9

C. (x−1)2+(y+4)2+(z−2)2=9(x-1)^2+(y+4)^2+(z-2)^2=9

D. (x−1)2+(y+4)2+(z+2)2=81(x-1)^2+(y+4)^2+(z+2)^2=81

Thể tích khối cầu V=43πR3=972π⇔R=9V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3=972\pi\Leftrightarrow R=9.

Phương trình mặt cầu (S) ⁣:(x+1)2+(y−4)2+(z−2)2=81(S)\colon (x+1)^2+(y-4)^2+(z-2)^2=81.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, giả sử tồn tại mặt cầu (S)(S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−2az+10a=0x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0. Với những giá trị thực nào của aa thì (S)(S) có chu vi đường tròn lớn bằng 8π8\pi.

A. {1;10}\{1;10\}

B. {−10;2}\{-10;2\}

C. {1;−11}\{1;-11\}

D. {−1;11}\{-1;11\}

Mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2−4x+2y−2az+10a=0(S)\colon x^2+y^2+z^2-4x+2y-2az+10a=0 có tâm I(2;−1;a)I(2;-1;a) và R=a2−10a+5R=\sqrt{a^2-10a+5}.

Chu vi đường tròn lớn C=2πR=2πa2−10a+5C=2\pi R=2\pi\sqrt{a^2-10a+5}.

Vì C=8π⇔a2−10a+5=16⇔a=11 ∨ a=−1C=8\pi\Leftrightarrow a^2-10a+5=16\Leftrightarrow a=11\ \vee\ a=-1.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, tìm bán kính RR của mặt cầu tâm I(6;3;−4)I(6;3;-4) tiếp xúc với trục OxOx.

A. R=5R=5

B. R=3R=3

C. R=6R=6

D. R=4R=4

Gọi HH là hình chiếu của II lên trục Ox⇒H(6;0;0)Ox\Rightarrow H(6;0;0). Khi đó R=IH=(6−6)2+(0−3)2+(0+4)2=5R=IH=\sqrt{(6-6)^2+(0-3)^2+(0+4)^2}=5.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;−2;3)I(1;-2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)(Oxz). Viết phương trình của mặt cầu (S)(S).

A. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=9(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9

B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=1(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=1

C. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=2(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=2

D. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=4(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4

Vì (S)(S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)(Oxz) nên R=d(I,(Oxz))=∣yI∣=2R=\mathrm{d}(I,(Oxz))=|y_I|=2.

Vậy (S):(x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=4(S):(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4.

Ví dụ 10. Trong không gian OxyzOxyz, cho phương trình mặt cầu (S)(S) có tâm I(3;−4;5)I(3;-4;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz)(Oxz) là

A. (x+3)2+(y−4)2+(z+5)2=16(x+3)^2+(y-4)^2+(z+5)^2=16

B. (x−3)2+(y+4)2+(z−5)2=25(x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=25

C. (x−3)2+(y+4)2+(z−5)2=16(x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=16

D. (x−3)2+(y−4)2+(z−5)2=9(x-3)^2+(y-4)^2+(z-5)^2=9

Bán kính mặt cầu (S)(S) là  d(I,(Oxz))=5\mathrm{\,d}\left( I, (Oxz)\right) = 5.

Phương trình mặt cầu (S)(S) có tâm I(3;−4;5)I(3;-4;5) và bán kính R=4R=4 có dạng (x−3)2+(y+4)2+(z−5)2=16.(x-3)^2+(y+4)^2+(z-5)^2=16.

Ví dụ 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;−2;3)A(1;-2;3) và B(5;4;7)B(5;4;7). Phương trình mặt cầu nhận ABAB làm đường kính là

A. (x−6)2+(y−2)2+(z−10)2=17(x-6)^2+(y-2)^2+(z-10)^2=17

B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=17(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=17

C. (x−3)2+(y−1)2+(z−5)2=17(x-3)^2+(y-1)^2+(z-5)^2=17

D. (x−5)2+(y−4)2+(z−7)2=17(x-5)^2+(y-4)^2+(z-7)^2=17

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu là I(1+52;−2+42;3+72)=(3;1;5);R=IA=(3−1)2+(1+2)2+(5−3)2=17.\begin{aligned} &I\left(\displaystyle\frac{1+5}{2};\displaystyle\frac{-2+4}{2};\displaystyle\frac{3+7}{2}\right)=(3;1;5);\\ &R=IA=\sqrt{(3-1)^2+(1+2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{17}. \end{aligned} Vậy phương trình mặt cầu nhận ABAB làm đường kính là (x−3)2+(y−1)2+(z−5)2=17.(x-3)^2+(y-1)^2+(z-5)^2=17.

Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm M(1;−2;3)M(1;-2;3). Gọi II là hình chiếu vuông góc của MM trên trục OxOx. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm II, bán kính IMIM?

A. (x−1)2+y2+z2=13(x-1)^2+y^2+z^2=\sqrt{{13}}

B. (x+1)2+y2+z2=17(x+1)^2+y^2+z^2=17

C. (x+1)2+y2+z2=13(x+1)^2+y^2+z^2=13

D. (x−1)2+y2+z2=13(x-1)^2+y^2+z^2=13

II là hình chiếu của MM lên trục OxOx suy ra I(1;0;0)I(1;0;0). Do đó, ta có IM⃗=(0;−2;3)\vec{IM}=(0;-2;3) suy ra ∣IM⃗∣=13|\vec{IM}|=\sqrt{13}.

Phương trình mặt cầu tâm II, bán kính IMIM có phương trình là (x−1)2+y2+z2=13.(x-1)^2+y^2+z^2=13.

Ví dụ 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Oxyz , phương trình mặt cầu tâm K(0;2;22) K(0;2;2\sqrt{2}) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) (Oxy) là

A. x2+(y−2)2+(z−22)2=4 x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=4

B. x2+(y−2)2+(z−22)2=8 x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=8

C. x2+(y−2)2+(z−22)2=22 x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=2\sqrt{2}

D. x2+(y−2)2+(z−22)2=2 x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=2

Bán kính mặt cầu tâm K K và tiếp xúc với (Oxy) (Oxy) là R=d(K,(Oxy))=22⇒ R=\mathrm{d}(K,(Oxy))=2\sqrt{2}\Rightarrow phương trình mặt cầu là x2+(y−2)2+(z−22)2=8 x^{2}+(y-2)^{2}+(z-2\sqrt{2})^{2}=8 .

Ví dụ 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Oxyz , cho hai điểm A(2;1;−2) A(2; 1; -2) và B(4;3;2) B(4; 3; 2) . Viết phương trình mặt cầu (S) (S) nhận đoạn AB AB làm đường kính.

A. (S) ⁣:(x+3)2+(y+2)2+z2=24 (S)\colon (x+3)^2+(y+2)^2+z^2=24

B. (S) ⁣:(x−3)2+(y−2)2+z2=6 (S)\colon (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=6

C. (S) ⁣:(x−3)2+(y−2)2+z2=24 (S)\colon (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=24

D. (S) ⁣:(x+3)2+(y+2)2+z2=6 (S)\colon (x+3)^2+(y+2)^2+z^2=6

Trung điểm của AB AB là I(3;2;0) I(3; 2; 0) .

Bán kính của mặt cầu (S) (S) là R=IA=(3−2)2+(2−1)2+(0+2)2=6 R=IA=\sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2+(0+2)^2}=\sqrt{6} .

Vậy phương trình mặt cầu là (S) ⁣:(x−3)2+(y−2)2+z2=6 (S)\colon (x-3)^2+(y-2)^2+z^2=6 .

Ví dụ 15. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;3;−2)I(1; 3; -2), biết diện tích mặt cầu bằng 100π100 \pi. Khi đó phương trình mặt cầu (S)(S) là

A. x2+y2+z2−2x−6y+4z−86=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z - 86 = 0

B. x2+y2+z2−2x−6y+4z+4=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z + 4 = 0

C. x2+y2+z2−2x−6y+4z+9=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z + 9 = 0

D. x2+y2+z2−2x−6y+4z−11=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z - 11 = 0

Gọi RR là bán kính của mặt cầu, áp dụng công thức diện tích mặt cầu ta có: 4πR2=100π4 \pi R^2 = 100 \pi . ⇒R=25=5\Rightarrow R = \sqrt{25} = 5. Suy ra phương trình của mặt cầu cần tìm có dạng (x−1)2+(y−3)2+(z+2)2=25.(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 25. Hay x2+y2+z2−2x−6y+4z−11=0x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 6y + 4z - 11 = 0.

Ví dụ 16. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(3;2;0)A(3;2;0), B(1;0:−4)B(1;0:-4). Mặt cầu nhận ABAB làm đường kính có phương trình là

A. x2+y2+z2−4x−2y+4z−15=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z - 15 = 0

B. x2+y2+z2+4x+2y−4z−15=0x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 4z - 15 = 0

C. x2+y2+z2−4x−2y+4z+3=0x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 4z + 3 = 0

D. x2+y2+z2+4x+2y−4z+3=0x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 4z + 3 = 0

AB→=(−2;−2;−4)⇒AB=26\overrightarrow{AB}=(-2;-2;-4)\Rightarrow AB=2\sqrt{6}.

Vì mặt cầu nhận ABAB làm đường kính nên có tâm I(2;1;−2)I(2;1;-2) là trung điểm của ABAB và bán kính R=AB2=6R=\displaystyle\frac{AB}{2}=\sqrt{6}. Phương trình của mặt cầu là (x−2)2+(y−1)2+(z+2)2=6⇔x2+y2+z2−4x−2y+4z+3=0(x-2)^2+(y-1)^2+(z+2)^2=6\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z+3=0.

Ví dụ 17. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;2;3)A(1;2;3) và B(−1;4;1)B(-1;4;1). Phương trình mặt cầu đường kính ABAB là

A. x2+(y−3)2+(z−2)2=3x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=3

B. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=12(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=12

C. (x+1)2+(y−4)2+(z−1)2=12(x+1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=12

D. x2+(y−3)2+(z−2)2=12x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=12

Trung điểm II của ABAB có tọa độ I(0;3;2)I(0;3;2) và độ dài đường kính AB=2R=23AB=2R=2\sqrt{3}.

Từ đó, phương trình mặt cầu đường kính ABAB là x2+(y−3)2+(z−2)2=3x^2+(y-3)^2+(z-2)^2=3.

Ví dụ 18. Trong không gian Oxyz,Oxyz, mặt cầu tâm I(1;2;3)I(1;2;3) đi qua điểm A(1;1;2)A(1;1;2) có phương trình là

A. (x−1)2+(y−1)2+(z−2)2=2(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=2

B. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=2(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2

C. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=2(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\sqrt{2}

D. (x−1)2+(y−1)2+(z−2)2=2(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=\sqrt{2}

Bán kính R=IA=2R = IA = \sqrt{2} nên phương trình mặt cầu là (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=2(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2.

Ví dụ 19. Trong không gian toạ độ OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;−2;3),B(2;3;−4)A(1;-2;3), B(2;3;-4). Gọi (S)(S) là mặt cầu có tâm AA và bán kính bằng ABAB. Phương trình mặt cầu (S)(S) là

A. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=75(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=75

B. (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=11(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=11

C. (x−2)2+(y−3)2+(z+4)2=75(x-2)^2+(y-3)^2+(z+4)^2=75

D. (x+1)2+(y−2)2+(z+3)2=75(x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=75

Vì AB⃗=(1;5;−7)\vec{AB}=(1;5;-7) nên bán kính của mặt cầu (S)(S) là AB=∣AB⃗∣=75AB=\left|\vec{AB}\right|=\sqrt{75}. Suy ra phương trình mặt cầu (S)(S) là (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2=75(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=75.

Ví dụ 20. Trong không gian Oxyz Oxyz , phương trình mặt cầu tâm I(2;−3;4) I(2;-3;4) và đi qua điểm A(4;−2;2) A(4;-2;2) là phương trình nào sau đây?

A. (x−2)2+(y+3)2+(z−4)2=3 (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=3

B. (x+2)2+(y−3)2+(z+4)2=9 (x+2)^2+(y-3)^2+(z+4)^2=9

C. (x+2)2+(y−3)2+(z+4)2=3 (x+2)^2+(y-3)^2+(z+4)^2=3

D. (x−2)2+(y+3)2+(z−4)2=9 (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9

Ta có IA=4+1+4=3 IA=\sqrt{4+1+4}=3 . Phương trình mặt cầu là (x−2)2+(y+3)2+(z−4)2=9 (x-2)^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9 .

Ví dụ 21. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho tứ diện ABCDABCD có tọa độ đỉnh A(2;0;0)A(2;0;0), B(0;4;0)B(0;4;0), C(0;0;6)C(0;0;6) và D(2;4;6)D(2;4;6). Gọi (S)(S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD. Viết phương trình mặt cầu (S′)(S') có tâm trùng với tâm của mặt cầu (S)(S) và có bán kính gấp 2 lần bán kính của mặt cầu (S)(S).

A. (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=56(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=56

B. x2+y2+z2−2x−4y−6z=0x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0

C. (x+1)2+(y+2)2+(z+3)2=14(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=14

D. x2+y2+z2−2x+4y+6z−12=0x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z-12=0

Gọi (S)(S): x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0.x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0. Ta có

{A∈(S)B∈(S)C∈(S)D∈(S)⇔{−4a+d=−4−8b+d=−16−12c+d=−36−4a−8b−12c+d=−56⇔{a=1b=2c=3d=0.\begin{cases}A\in (S) \\ B\in (S) \\ C\in (S) \\ D\in (S)\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -4a+d=-4 \\ -8b+d=-16 \\ -12c+d=-36 \\ -4a-8b-12c+d=-56\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \\ c=3 \\ d=0.\end{cases}

Từ đó suy ra (S) (S) có tâm I(1;2;3),R=14I(1;2;3), R=\sqrt{14}.

Phương trình mặt cầu (S′)(S') có tâm I′≡I(1;2;3),R′=2R=214I'\equiv I(1;2;3), R'=2R=2\sqrt{14} là (x−1)2+(y−2)2+(z−3)2=56.(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=56.

Ví dụ 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Oxyz , mặt cầu tâm I(2;1;−3) I(2;1;-3) và tiếp xúc với trục Oy Oy có phương trình là

A. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=4 (x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2=4

B. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=13 (x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =13

C. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=9 (x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =9

D. (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=10 (x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =10

Mặt cầu tiếp xúc với trục Oy Oy nên bán kính mặt cầu R=22+(−3)2=13. R=\sqrt{2^2+(-3)^2} =\sqrt{13}.

Vậy phương trình mặt cầu tâm I(2;1,−3) I(2;1,-3) tiếp xúc với trục Oy Oy có phương trình (x−2)2+(y−1)2+(z+3)2=13.(x-2)^2+(y-1)^2+(z+3)^2 =13.

Ví dụ 23. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt cầu (S)(S) đi qua hai điểm A(1;1;1)A(1;1;1); B(0;0;1)B(0;0;1) và có tâm nằm trên trục OxOx.

A. (x+1)2+y2+z2=4\left(x+1\right)^2+y^2+z^2=4

B. (x−1)2+y2+z2=2{\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=2

C. (x+1)2+y2+z2=2{\left(x+1\right)}^2+y^2+z^2=2

D. (x−1)2+y2+z2=4{\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=4

Vì tâm II của mặt cầu (S)(S) nằm trên trục OxOx nên tọa độ điểm II có dạng I(a;0;0)I(a;0;0).

Vì mặt cầu (S)(S) đi qua hai điểm A(1;1;1)A(1;1;1); B(0;0;1)B(0;0;1) nên IA=IBIA=IB. Do đó

(1−a)2+1+1=a2+1⇔2a=2⇔a=1.\sqrt{(1-a)^2+1+1}=\sqrt{a^2+1} \Leftrightarrow 2a =2 \Leftrightarrow a=1.

Suy ra I(1;0;0)I(1;0;0) và R=IA=2R=IA=\sqrt{2}.

Mặt cầu (S)(S) có tâm I(1;0;0)I(1;0;0) và bán kính R=2R=\sqrt{2} nên có phương trình (x−1)2+y2+z2=2{\left(x-1\right)}^2+y^2+z^2=2.

Ví dụ 24. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S)(S) tâm II nằm trên mặt phẳng (Oxy)(Oxy) đi qua ba điểm A(1;2;−4)A(1;2;-4), B(1;−3;1)B(1;-3;1), C(2;2;3)C(2;2;3). Tìm tọa độ điểm II.

A. I(2;−1;0)I(2;-1;0)

B. I(0;0;1)I(0;0;1)

C. I(0;0;−2)I(0;0;-2)

D. I(−2;1;0)I(-2;1;0)

Vì I∈(Oxy)⇒I(a;b;0)I\in (Oxy)\Rightarrow I(a;b;0). Ta có AI⃗=(a−1;b−2;4);BI⃗=(a−1;b+3;−1);CI⃗=(a−2;b−2;−3)\vec{AI}=(a-1;b-2;4);\vec{BI}=(a-1;b+3;-1);\vec{CI}=(a-2;b-2;-3).

Do II là tâm cầu nên

{IA=IBIA=IC⇔ {(a−1)2+(b−2)2+42=(a−1)2+(b+3)2+1(a−1)2+(b−2)2+42=(a−2)2+(b−2)2+9⇔ {−4b+20=6b+10−2a+17=−4a+13⇔{b=1a=−2⇒I(−2;1;0).\begin{aligned} \begin{cases} IA = IB\\ IA = IC\end{cases} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(a-1)^2+(b-2)^2+4^2=(a-1)^2+(b+3)^2+1\\ (a-1)^2+(b-2)^2+4^2=(a-2)^2+(b-2)^2+9\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}-4b+20=6b+10\\ -2a+17=-4a+13\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}b=1\\ a=-2\end{cases}\Rightarrow I(-2;1;0). \end{aligned}

Ví dụ 25. Trong không gian OxyzOxyz, gọi (S)(S) là mặt cầu đi qua 44 điểm A(2;0;0)A(2;0;0), B(0;4;0)B(0;4;0), C(0;0;−2)C(0;0;-2) và D(2;4;−2)D(2;4;-2). Tính bán kính rr của (S)(S).

A. r=6r=\sqrt{6}

B. r=3r=3

C. r=22r=2\sqrt{2}

D. r=6r=6

Giả sử I(a;b;c)I(a;b;c) là tâm mặt cầu (S)(S). Ta có

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔ {(a−2)2+b2+c2=a2+(b−4)2+c2(a−2)2+b2+c2=a2+b2+(c+2)2(a−2)2+b2+c2=(a−2)2+(b−4)2+(c+2)2⇔ {−4a+8b=12−4a−4c=08b−4c=20⇔{a=1b=2c=−1.\begin{aligned}\begin{cases}IA^2=IB^2\\ IA^2=IC^2\\ IA^2=ID^2\end{cases} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}(a-2)^2+b^2+c^2=a^2+(b-4)^2+c^2\\ (a-2)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\\ (a-2)^2+b^2+c^2=(a-2)^2+(b-4)^2+(c+2)^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-4a+8b=12\\ -4a-4c=0\\ 8b-4c=20\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=1\\ b=2\\ c=-1.\end{cases}\end{aligned}

Suy ra r=IA=6r=IA=\sqrt{6}.

Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu tâm I(2;−1;3)I(2;-1;3) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy)(Oxy) có phương trình là

A. (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=9(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9

B. (x−2)2+(y+1)2+(z−2)2=4(x-2)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=4

C. (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=2(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=2

D. (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=3(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=3

Mặt phẳng (Oxy)(Oxy) có phương trình z=0z=0.

Khoảng cách từ II đến mặt phẳng (Oxy)(Oxy) là d=3=R\mathrm{d}=3=R.

Mặt cầu thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là (x−2)2+(y+1)2+(z−3)2=9.(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9.

Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho điểm I(0;2;3)I(0;2;3). Viết phương trình mặt cầu (S)(S) tâm II tiếp xúc với trục OyOy.

A. x2+(y+2)2+(z+3)2=2 x^2+(y+2)^2+(z+3)^2=2

B. x2+(y+2)2+(z+3)2=3 x^2+(y+2)^2+(z+3)^2=3

C. x2+(y−2)2+(z−3)2=4 x^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4

D. x2+(y−2)2+(z−3)2=9 x^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9

Ta có R=d(I;Oy)=02+32=3R=\mathrm{d}(I;Oy)=\sqrt{0^2+3^2}=3.

Phương trình mặt cầu (S)(S) là x2+(y−2)2+(z−3)2=9 x^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9 .

Ví dụ 28. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, cho 33 điểm A(2;3;0)A(2;3;0), B(0;−4;1)B(0;-4;1), C(3;1;1)C(3;1;1). Mặt cầu đi qua ba điểm A,B,CA,B,C và có tâm II thuộc mặt phẳng (Oxz)(Oxz), biết I(a;b;c)I(a;b;c). Tính tổng T=a+b+cT=a+b+c.

A. T=3T=3

B. T=−3T=-3

C. T=−1T=-1

D. T=2T=2

Gọi phương trình mặt cầu có dạng (S) ⁣:x2+y2+z2−2ax−2by−2cz+d=0(S)\colon x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0.

Mặt cầu có tâm I(a;b;c)I(a;b;c). Vì I∈(Oxz)I\in (Oxz) và A,B,C∈(S)A,B,C\in (S) nên ta có hệ {13−4a−6b+d=017+8b−2c+d=011−6a−2b−2c+d=0b=0⇔&{13−4a−6b+d=04a+14b−2c=−4−2a+4b−2c=2b=0⇔{a=−1b=0c=0d=−17.\begin{aligned} \begin{cases}13-4a-6b+d=0\\ 17+8b-2c+d=0\\ 11-6a-2b-2c+d=0\\ b=0\end{cases}\Leftrightarrow\& \begin{cases} 13-4a-6b+d=0\\ 4a+14b-2c=-4\\ -2a+4b-2c=2\\ b=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\b=0\\c=0\\d=-17.\end{cases} \end{aligned} Vậy T=a+b+c=−1+0+0=−1T=a+b+c=-1+0+0=-1.

Ví dụ 29. Trong không gian OxyzOxyz, cho điểm A(1;4;3)A(1;4;3). Viết phương trình mặt cầu (S)(S) có tâm AA và cắt trục OxOx tại hai điểm B,CB,C sao cho BC=6BC=6.

A. (S):(x−1)2+(y−4)2+(z−3)2=19(S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=19

B. (S):(x−1)2+(y−4)2+(z−3)2=28(S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=28

C. (S):(x−1)2+(y−4)2+(z−3)2=26(S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=26

D. (S):(x−1)2+(y−4)2+(z−3)2=34(S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=34

Chọn M(1;0;0)M(1;0;0) thuộc OxOx, MA→=(0;4;3)\overrightarrow{MA}=(0;4;3);

vec-tơ chỉ phương của OxOx là i→=(1;0;0)\overrightarrow{i}=(1;0;0).

Gọi hh là khoảng cách từ AA đến OxOx, ta có

h=d[A,Ox]=∣[i→,MA→]∣∣i→∣=∣(0;−3;4)∣∣(1;0;0)∣=5h=\mathrm{d}[A,Ox]=\displaystyle\frac{|[\overrightarrow{i},\overrightarrow{MA}]|}{|\overrightarrow{i}|}=\displaystyle\frac{|(0;-3;4)|}{|(1;0;0)|}=5.

Bán kính mặt cầu R=CI2+h2=34R=\sqrt{CI^2+h^2}=\sqrt{34}.

Phương trình mặt cầu là (S):(x−1)2+(y−4)2+(z−3)2=34(S): (x-1)^2+(y-4)^2+(z-3)^2=34.

Ví dụ 30. Trong không gian OxyzOxyz, cho hai điểm A(1;2;3)A(1;2;3), B(−2;1;5)B(-2;1;5). Phương trình mặt cầu (S)(S) đi qua A,BA,B và tâm thuộc trục OzOz có phương trình là

A. x2+y2+(z−4)2=9x^2+y^2+(z-4)^2=9

B. x2+y2+(z−4)2=14x^2+y^2+(z-4)^2=14

C. x2+y2+(z−4)2=16x^2+y^2+(z-4)^2=16

D. x2+y2+(z−4)2=6x^2+y^2+(z-4)^2=6

Tâm II thuộc trục OzOz nên I(0;0;c)I(0;0;c), khi đó

IA=IB⇔(1−0)2+(2−0)2+(3−c)2=(−2−0)2+(1−0)2+(5−c)2⇔c=4IA=IB\Leftrightarrow (1-0)^2+(2-0)^2+(3-c)^2=(-2-0)^2+(1-0)^2+(5-c)^2\Leftrightarrow c=4.

Bán kính R=IA=(1−0)2+(2−0)2+(3−4)2=6R=IA=\sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2+(3-4)^2}=\sqrt{6}.

Phương trình mặt cầu là (S) ⁣:x2+y2+(z−4)2=6(S)\colon x^2+y^2+(z-4)^2=6.

Ví dụ 31. Trong không gian Oxyz Oxyz , mặt phẳng (Oyz) (Oyz) cắt mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2+2x−2y+4z−3=0 (S) \colon x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y + 4z - 3 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm đường tròn đó.

A. (0;−1;2) \left( 0;-1;2 \right)

B. (0;1;−2) \left( 0;1;-2 \right)

C. (−1;0;0) \left( -1;0;0 \right)

D. (0;2;−4) \left( 0;2;-4 \right)

Mặt cầu (S) (S) có tâm I(−1;1;−2) I(-1;1;-2) . Tâm của đường tròn giao tuyến I′ I' là hình chiếu vuông góc của I I lên mặt phẳng Oyz Oyz , suy ra tâm I′(0;1;−2) I'(0;1;-2) .

Ví dụ 32. Trong không gian với hệ tọa độ OxyzOxyz, mặt cầu x2+y2+z2−2x−4y+6z−2=0x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-2=0 cắt mặt phẳng OxyOxy theo giao tuyến là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn này.

A. I(1;−2;0),r=5I\left(1;-2;0\right),r=\sqrt{5}

B. I(1;2;0),r=25I\left(1;2;0\right),r=2\sqrt{5}

C. I(1;2;0),r=7I\left(1;2;0\right),r=\sqrt{7}

D. I(−1;−2;0),r=27I\left(-1;-2;0\right),r=2\sqrt{7}

Mặt cầu có tâm A(1;2;−3)A(1;2;-3), bán kính R=12+22+(−3)2+2=4R=\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2+2}=4.

Tâm II của đường tròn là hình chiếu của điểm AA trên mặt phẳng (Oxy)(Oxy) nên I(1;2;0)I(1;2;0), và bán kính r=R2−d2(A,(Oxy))=7.r=\sqrt{R^2-\mathrm{d}^2(A,(Oxy))}=\sqrt{7}.

Ví dụ 33. Trong không gian OxyzOxyz, cho mặt cầu (S) ⁣:x2+y2+z2=16(S)\colon x^2+y^2+z^2=16 cắt mặt phẳng (Oxy)(Oxy) theo giao tuyến là đường tròn (C)(C). Một hình nón có đỉnh I(0;0;3)I(0;0;3) và đáy là hình tròn (C)(C) có đường sinh bằng bao nhiêu?

A. 55

B. 3

C. 4

D. 7\sqrt{7}

(S)(S) có tâm O(0;0;0)O(0;0;0) và bán kính R=4R=4 do đó giao tuyến của nó với (Oxy)(Oxy) là đường tròn có bán kính là RR. Đường cao hình nón là d=d(I,(Oxy))=3d=\mathrm{d}(I,(Oxy))=3. Vậy độ dài đường sinh là l=d2+R2=5.l=\sqrt{d^2+R^2}=5.

Ví dụ 34. Trong không gian OxyzOxyz cho 33 điểm A(2;0;0)A(2;0;0); B(0;3;0)B(0;3;0); C(2;3;6)C(2;3;6). Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABCO.ABC là

A. 49π49\pi

B. 1372π3\displaystyle\frac{1372\pi }{3}

C. 341π6\displaystyle\frac{341\pi }{6}

D. 343π6\displaystyle\frac{343\pi }{6}

Chú ý bốn đỉnh O,A,B,CO,A,B,C là bốn đỉnh của hình hộp chữ nhật có các kích thước 2;3;62;3;6. Vậy R=1222+32+62=72R=\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\displaystyle\frac{7}{2}.

Từ đó suy ra V=43π⋅R3=343π6V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi\cdot R^3=\displaystyle\frac{343\pi}{6}.

Ví dụ 35. Trong không gian OxyzOxyz cho ba điểm A(2;0;0)A(2;0;0), B(0;−3;0)B(0;-3;0) và C(0;0;6)C(0;0;6). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABCOABC là

A. 11\sqrt{11}

B. 72\displaystyle\frac{7}{2}

C. 73\displaystyle\frac{7}{3}

D. 1111

Giả sử phương trình mặt cầu là x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0. Từ giả thiết ta có hệ sau {22+4a+d=0(−3)2−6b+d=062+12c+d=0d=0⇔{a=−1b=32c=−3d=0.\begin{cases} 2^2+4a+d=0\\ (-3)^2-6b+d=0\\ 6^2+12c+d=0\\ d=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-1\\ b=\displaystyle\frac{3}{2}\\ c=-3\\d=0.\end{cases} Vậy R=a2+b2+c2−d=72R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\displaystyle\frac{7}{2}.

Ví dụ 36. Trong không gian với hệ trục OxyzOxyz, cho các điểm A(1;0;0)A(1; 0; 0), B(0;2;0)B(0; 2; 0), C(0;0;−2)C(0; 0; -2). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABCOABC là

A. 72\displaystyle\frac{7}{2}

B. 12\displaystyle\frac{1}{2}

C. 32\displaystyle\frac{3}{2}

D. 52\displaystyle\frac{5}{2}

Gọi I(a;b;c)I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp OABCOABC. Khi đó {OI2=AI2OI2=BI2OI2=CI2⇔{a2+b2+c2=(a−1)2+b2+c2a2+b2+c2=a2+(b−2)2+c2a2+b2+c2=a2+b2+(c+2)2⇔{a=12b=1c=−1.\begin{cases}OI^2=AI^2\\ OI^2=BI^2\\ OI^2=CI^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^2+b^2+c^2=(a-1)^2+b^2+c^2\\ a^2+b^2+c^2=a^2+(b-2)^2+c^2\\ a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c+2)^2\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=\displaystyle\frac{1}{2}\\ b=1\\ c=-1.\end{cases} Suy ra bán kính R=OI=32R=OI=\displaystyle\frac{3}{2}.