Bài 4. CÁC ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Học xong bài này các em có thể
- Nhận biết được các đường conic.
- Biết viết phương trình chính tắc của đường elip. Biết tìm tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ của elip.
- Biết viết phương trình chính tắc của đường hypebol. Biết tìm trục lớn, trục nhỏ của elip.
- Biết viết phương trình chính tắc của đường parabol. Biết tìm trục lớn, trục nhỏ của elip.
I. Elip
1. Nhận biết elip
Cố định hai điểm \(F_1\), \(F_2\) trên một miếng bìa và cột vào đó một sợi dây có độ dài không đổi. Đặt cây bút sao cho sợi dây được căng. Di chuyển cây bút, ta sẽ được một elip.
Cho hai điểm cố định \(F_1\), \(F_2\) và một độ dài không đổi \(2a\) lớn hơn \(F_1F_2\). Elip \((E)\) là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(F_1M+F_2M=2a\).
\(\bullet\quad\) Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là các tiêu điểm của elip.
\(\bullet\quad\) Độ dài \(F_1F_2=2c\) gọi là tiêu cự của elip (\(a > c\)).
2. Phương trình chính tắc của elip
Elip có tọa độ hai tiêu điểm \(F_1(-c;0)\) và \(F_2(c;0)\), có phương trình \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]
trong đó, \(b=\sqrt{a^2-c^2}\). Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của elip.
Chú ý.
\(\bullet\quad\) \(A_1(-a;0)\), \(A_2(a;0)\), \(B_1(0;-b)\), \(B_2(0;b)\) là các đỉnh.
\(\bullet\quad\) \(A_1A_2\) là trục lớn, độ dài \(A_1A_2=2a\); \(B_1B_2\) là trục nhỏ, độ dài \(B_1B_2=2b\).
\(\bullet\quad\) Độ dài \(F_1F_2=2c\) là tiêu cự.
\(\bullet\quad\) \(M(x;y)\in (E)\) thì \(F_1M+F_2M=2a\) và \(|x|\leq a,\ |y|\leq b\).
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) có độ dài hai trục lần lượt là 26 và 10.
Theo bài ta có \[\begin{cases}2a=26\\ 2b=10\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=13\\ b=5.\end{cases}\]
Vậy phương trình chính tắc của elip là \[\dfrac{x^2}{13^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1.\]
Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 20, tiêu cự bằng 12.
Theo bài ta có \[\begin{cases}2a=20\\ 2c=12\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=10\\ c=6.\end{cases}\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.\]
Vậy phương trình chính tắc của elip là \[\dfrac{x^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1.\]
II. Hypebol
1. Nhận diện hypebol
Cố định hai điểm \(F_1\), \(F_2\). Cho điểm \(P\) đi động thỏa mãn \(|F_1P-F_2P|\) có giá trị không đổi. Khi đó, tập hợp các điểm \(P\) là một hypebol.
Cho hai điểm cố định \(F_1\), \(F_2\) và một độ dài không đổi \(2a\) nhỏ hơn \(F_1F_2\). Hypebol \((H)\) là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho \(|F_1M-F_2M|=2a.\)
\(\bullet\quad\) Các điểm \(F_1\) và \(F_2\) gọi là các tiêu điểm của hypebol.
\(\bullet\quad\) Độ dài \(F_1F_2=2c\) gọi là tiêu cự của hypebol (\(c > a\)).
2. Phương trình chính tắc của hypebol
Hypebol có tọa độ hai tiêu điểm \(F_1(-c;0)\) và \(F_2(c;0)\), có phương trình \[\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\]
trong đó, \(b=\sqrt{c^2-a^2}\). Phương trình trên gọi là phương trình chính tắc của hypebol.
Chú ý.
\(\bullet\quad\) \(A_1(-a;0)\), \(A_2(a;0)\) là các đỉnh.
\(\bullet\quad\) \(A_1A_2\) là trục thực, độ dài \(A_1A_2=2a\); \(B_1B_2\) là trục ảo, độ dài \(B_1B_2=2b\).
\(\bullet\quad\) Độ dài \(F_1F_2=2c\) là tiêu cự.
\(\bullet\quad\) \(M(x;y)\in (H)\) thì \(|F_1M-F_2M|=2a\) và \(x\leq -a\) hoặc \(x\geq a\).
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol có độ dài trục thực bằng 16, và tiêu cự bằng 20.
Theo bài ta có \[\begin{cases}2a=16\\ 2c=20\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=8\\ c=10.\end{cases}\Rightarrow b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.\]
Vậy phương trình chính tắc của elip là \[\dfrac{x^2}{8^2}-\dfrac{y^2}{6^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{36}=1.\]
Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol có độ dài trục ảo bằng 6, và tiêu cự bằng 10.
Theo bài ta có \[\begin{cases}2b=6\\ 2c=10\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}b=3\\ c=5.\end{cases}\Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4.\]
Vậy phương trình chính tắc của elip là \[\dfrac{x^2}{4^2}-\dfrac{y^2}{3^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1.\]
3. Parabol
1. Nhận biết parabol
Cho trước điểm \(F\) và đường thẳng \(\Delta\). Cho điểm \(P\) di động sao cho \(P\) cách đều điểm \(F\) và đường thẳng \(\Delta\). Khi đó, tập hợp các điểm \(P\) là một parabol.
Cho điểm \(F\) và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\). Parabol \((P)\) là tập hợp các điểm \(M\) cách đều \(F\) và \(\Delta\).
\(\bullet\quad\) \(F\) gọi là tiêu điểm.
\(\bullet\quad\) \(\Delta\) gọi là đường chuẩn của parabol \((P)\).
2. Phương trình chính tắc của
Parabol có tọa độ tiêu điểm \(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)\) và đường chuẩn \(\Delta\colon x+\dfrac{p}{2}=0\), có phương trình chính tắc là \[y^2=2px.\]
\(\bullet\quad\) \(O\) là đỉnh.
\(\bullet\quad\) \(Ox\) là trục đối xứng.
\(\bullet\quad\) \(p\) là tham số tiêu.
\(\bullet\quad\) \(M(x;y)\in (P)\) thì \(x\geq 0\) và \(M'(x;-y)\in (P)\).
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của parabol \((P)\) có tiêu điểm \(F\left(\dfrac{3}{2};0\right)\).
Theo giả thiết, suy ra \[\dfrac{p}{2}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow p=3.\]
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \[y^2=2px\Leftrightarrow y^2=2\cdot 3x\Leftrightarrow y^2=6x.\]
Ví dụ 2. Cổng của một ngôi trường có dạng một parabol. Để đo chiều cao của cổng, một người đo khoảng cách giữa hai chân cổng được 9m, người đó thấy nếu đứng cách chân cổng 0,5m thì đầu chạm cổng. Cho biết người này cao 1,6m. Hãy tính chiều cao của cổng.
Lời giải
\(\bullet\quad\) Gắn hệ trục như hình vẽ. Khi đó phương trình của parabol có dạng \(y^2=2px\).
\(\bullet\quad\) Gọi \(h\) là chiều cao của cổng.
\(\bullet\quad\) Ta có \(AB=9\Rightarrow AH=4{,}5\Rightarrow A(h;4{,}5)\).
\(\bullet\quad\) \(AL=0{,}5\Rightarrow HL=AH-AL=4\).
\(\bullet\quad\) \(HK=1{,}6\Rightarrow OK=OH-HK=h-1{,}6\Rightarrow C(h-1{,}6;4)\).
\(\bullet\quad\) Do \(A\) và \(C\) thuộc parabol nên
\[\begin{aligned} &\begin{cases}(4{,}5)^2=2ph\\ 4^2=2p(h-1{,}6)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}p=\dfrac{81}{8h}\\ p=\dfrac{8}{h-1{,}6}\end{cases}\Rightarrow \dfrac{81}{8h}=\dfrac{8}{h-1{,}6}\Rightarrow h\approx 7{,}62m. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Vậy cổng trường cao khoảng \(7{,}62\)m.
BÀI TẬP
Bài 1. Viết phương trình chính tắc của:
a. Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16.
b. Hypebol có tiêu cự \(2c=20\) và độ dài trục thực \(2a=12\).
c. Parabol có tiêu điểm \(F\left(\dfrac{1}{2};0\right)\).
a. Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16.
Theo giả thiết, ta có
\[\begin{cases}2a=20\\ 2b=16\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=10\\ b=8\end{cases}\]
Vậy phương trình chính tắc của elíp là \(\dfrac{x^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1\).
b. Hypebol có tiêu cự \(2c=20\) và độ dài trục thực \(2a=12\).
Theo giả thiết, ta có
\[\begin{cases}2c=20\\ 2a=12\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}c=10\\ a=6\end{cases}\Rightarrow b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.\]
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là \(\dfrac{x^2}{6^2}-\dfrac{y^2}{8^2}=1\).
c. Parabol có tiêu điểm \(F\left(\dfrac{1}{2};0\right)\).
Theo giả thiết, ta có
\[\dfrac{p}{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow p=1.\]
Vậy phương trình chính tắc của parabol là \(y^2=2px\Leftrightarrow y^2=2x\).
Bài 2. Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.
a. \((C_1)\colon 4x^2+16y^2=1\).
b. \((C_2)\colon 16x^2-4y^2=144\).
c. \((C_3)\colon x=\dfrac{1}{8}y^2\).
a. \((C_1)\colon 4x^2+16y^2=1\).
Ta có
\[4x^2+16y^2=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{16}}=1.\]
Đây chính là phương trình chính tắc của elip.
Ta có \(a^2=\dfrac{1}{4}\), \(b^2=\dfrac{1}{16}\). Suy ra \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\).
Vậy hai tiêu điểm của elip là \(F_1\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{4};0\right)\), \(F_2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4};0\right)\).
b. \((C_2)\colon 16x^2-4y^2=144\).
Ta có
\[16x^2-4y^2=144\Leftrightarrow \dfrac{16x^2}{144}-\dfrac{4y^2}{144}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{36}=1.\]
Đây là phương trình chính tắc của hypebol.
Ta có \(a^2=9\), \(b^2=36\). Suy ra \(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}\).
Hai tiêu điểm của hypebol là \(F_1(-3\sqrt{5};0)\) và \(F_2(3\sqrt{5};0)\).
c. \((C_3)\colon x=\dfrac{1}{8}y^2\).
Ta có \(x=\dfrac{1}{8}y^2\Leftrightarrow y^2=8x\).
Đây là phương trình chính tắc của parabol.
Ta có \(2p=8\Rightarrow p=4\).
Vậy tiêu điểm của parabol là \(F(2;0)\).
Bài 3. Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt là nửa elip cao 8m, rộng 20m.
a. Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên.
b. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m lên đến nóc nhà vòm.
a. Viết phương trình chính tắc
Chọn hệ trục như hình vẽ. Khi đó ta có \(a=10\), \(b=8\).
Vậy phương trình chính tắc của elip là \(\dfrac{x^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1\).
b. Tính khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5m lên đến nóc nhà vòm.
Thay \(x=5\) vào phương trình của elip, ta được
\[\begin{aligned}&\dfrac{5^2}{10^2}+\dfrac{y^2}{8^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}+\dfrac{y^2}{64}=1\Leftrightarrow \dfrac{y^2}{64}=\dfrac{3}{4}\\ \Leftrightarrow\ &y^2=48\Rightarrow y=4\sqrt{3}\approx 6{,}9.\end{aligned}\]
Vậy chiều cao cần tìm gần bằng \(6{,}9\)m.
Bài 4. Một tòa tháp cao tầng có mặt cắt là hình hypebol có phương trình \(\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{y^2}{42^2}=1\). Biết chiều cao của tháp là 150m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng \(\dfrac{2}{3}\) khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp.
Ta có
\(HK=150\).
\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow OH=\dfrac{2}{5}HK=\dfrac{2}{5}\cdot 150=60.\)
\(OK=HK-OH=150-60=90.\)
Cần tính \(HB\) và \(KD\).
Thay tung độ điểm \(B\) là \(y=60\) vào phương trình của hypebol ta được
\[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{60^2}{42^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{100}{49}=1\\ \Leftrightarrow\ &\dfrac{x^2}{28^2}=\dfrac{149}{49}\Leftrightarrow x^2=2384\\ \Rightarrow\ &x=4\sqrt{149}\approx 48{,}8. \end{aligned}\]
Vậy bán kính nóc khoảng \(48{,}8\)m.
Tương tự, để tính bán kính đáy, ta thay tung độ điểm D là \(y=-90\) vào phương trình của hypebol ta được
\[\begin{aligned} &\dfrac{x^2}{28^2}-\dfrac{(-90)^2}{42^2}=1\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{28^2}=\dfrac{274}{49}\\ \Leftrightarrow\ &x^2=4384\Rightarrow x=4\sqrt{274}\approx 66{,}2. \end{aligned}\]
Vậy bán kính đáy khoảng \(66{,}2\)m.
Bài 5. Một cây cầu có nhiều nhịp, mỗi nhịp có dây cáp treo hình parabol. Biết mỗi nhịp dài 100m và được treo bởi những sợi dây thẳng đứng từ cáp xuống, dây dài nhất là 30m, dây ngắn nhất là 6m. Tính chiều dài của dây cách điểm giữa nhịp 18m.
Gắn hệ trục như hình vẽ.
Ta có
\[\begin{aligned} &AK=30,\ OL=6\Rightarrow OH=24.\\ &OM=50,\ ON=18.\\ \Rightarrow\ &A(24;50),\ B(b;18). \end{aligned}\]
Phương trình của parabol có dạng \((P)\colon y^2=2px\).
Do \(A(24;50)\) thuộc parabol nên
\[50^2=2p24\Rightarrow p=\dfrac{625}{12}.\]
Vậy \((P)\colon y^2=\dfrac{625}{6}x\).
Mặt khác, do \(B(b;18)\in (P)\) nên
\[18^2=\dfrac{625}{6}b\Rightarrow b\approx 3.\]
Vậy chiều dài của dây cần tìm dài khoảng \(BE=3+6=9\)m.