a. $(C)$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R$.

Phương trình đường tròn là $(x-0)^2+(y-0)^2=R^2\Leftrightarrow x^2+y^2=R^2.$

b. $(C)$ có tâm $I(1;-3)$, bán kính $R=5$.

Phương trình đường tròn là $(x-1)^2+(y+3)^2=5^2\Leftrightarrow (x-1)^2+(y+3)^2=25.$

a. $(C)$ có tâm $I(-2;1)$ và đi qua điểm $A(4;5)$.

b. $(C)$ có đường kính $AB$ với $A(-1;6)$, $B(3;2)$.

$\bullet\quad$ Ta có $R=IB=\sqrt{(3-1)^2+(2-4)^2}=2\sqrt{2}.$

$\bullet\quad$ Phương trình đường tròn có tâm $I(1;4)$, $R=2\sqrt{2}$ là

$(x-1)^2+(y-4)^2=8.$

a. $(x-7)^2+(y-2)^2=49.$

Đường tròn $(x-7)^2+(y-2)^2=49$ có tâm $I(7;2)$ và bán kính $R=\sqrt{49}=7$.

b. $(x+3)^2+(y-5)^2=14.$

Đường tròn $(x+3)^2+(y-5)^2=14$ có tâm $I(-3;5)$ và bán kính $R=\sqrt{14}$.

c. $(x-6)^2+y^2=9.$

Đường tròn $(x-6)^2+y^2=9$ có tâm $I(6;0)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

a. $x^2+y^2-4x+6y-23=0$.

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{-4}{-2}=2,\ b=\dfrac{6}{-2}=-3,\ c=-23.$

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=2^2+(-3)^2-(-23)=36 > 0$ nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

$\bullet\quad$ Tâm của đường tròn là $I=(a;b)=(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{36}=6$.

b. $x^2+y^2-2x-4y+9=0$.

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{-2}{-2}=1,\ b=\dfrac{-4}{-2}=2,\ c=9.$

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=1^2+2^2-9=-4 < 0$ nên phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

$\bullet\quad$ Đường tròn đã cho có tâm $I(0;0)$.

$\bullet\quad$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là

$\begin{aligned}&(a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\\ \Leftrightarrow\ &(0-1)(x-1)+(0-2)(y-2)=0\\ \Leftrightarrow\ &-x+1-2y+4=0\Leftrightarrow -x-2y+5=0\\ \Leftrightarrow\ &x+2y-5=0.\end{aligned}$

$\bullet\quad$ Đường tròn đã cho có tâm $I(1;2)$.

$\bullet\quad$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A$ là

$\begin{aligned}&(a-x_0)(x-x_0)+(b-y_0)(y-y_0)=0\\ \Leftrightarrow\ &(1-4)(x-4)+(2-6)(y-6)=0\\ \Leftrightarrow\ &-3x+12-4y+24=0\Leftrightarrow -3x-4y+36=0\\ \Leftrightarrow\ &3x+4y-36=0.\end{aligned}$

a. $x^2+y^2-6x-8y+21=0$.

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{-6}{-2}=3,\ b=\dfrac{-8}{-2}=4,\ c=21$.

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=3^2+4^2-21=4 > 0$ nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

$\bullet\quad$ Tâm $I=(a;b)=(3;4)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4}=2$.

b. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$.

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{-2}{-2}=1,\ b=\dfrac{4}{-2}=-2,\ c=2$.

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=1^2+(-2)^2-2=3 > 0$ nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

$\bullet\quad$ Tâm $I=(a;b)=(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{3}$.

c. $x^2+y^2-3x+2y+7=0$.

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2},\ b=\dfrac{2}{-2}=-1,\ c=7$.

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+(-1)^2-7= -\dfrac{15}{4} < 0$ nên phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

d. $2x^2+2y^2+x+y-1=0$.

$\bullet\quad$ Nhận thấy phương trình đã cho chưa có dạng của phương trình đường tròn. Do đó cần biến đổi

$2x^2+2y^2+x+y-1=0\Leftrightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}=0.$

$\bullet\quad$ Ta có $a=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-2}=-\dfrac{1}{4},\ b=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-2}=-\dfrac{1}{4},\ c=-\dfrac{1}{2}$.

$\bullet\quad$ Suy ra $a^2+b^2-c=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{13}{16} > 0$ nên phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

$\bullet\quad$ Tâm $I=(a;b)=\left(-\dfrac{1}{4};-\dfrac{1}{4}\right)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{\dfrac{13}{16}}=\dfrac{\sqrt{13}}{4}$.

a. $(C)$ có tâm $I(1;5)$ và có bán kính $r=4$.

Phương trình của đường tròn là $(x-1)^2+(y-5)^2=16.$

b. $(C)$ có đường kính $AB$ với $A(3;-1)$ và $B(9;3)$.

Đường tròn có tâm $I$ là trung điểm của $AB$.

$\left.\begin{aligned}&x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3+9}{2}=6\\ &y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-1+3}{2}=1\end{aligned}\right\}\Rightarrow I(6;1).$

Bán kính $R=IA=\sqrt{(3-6)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{13}.$

Vậy phương trình đường tròn là $(x-6)^2+(y-1)^2=13.$

c. $(C)$ có tâm $I(2;1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d\colon 5x-12y+11=0$.

Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng $d$.

d. $(C)$ có tâm $I(1;-2)$ và đi qua điểm $B(4;-5)$.

Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $B$.

a. $M(2;5)$, $N(1;2)$, $P(5;4)$.

$\bullet\quad$ Phương trình của đường tròn cần tìm có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0.$

$\bullet\quad$ Vì đường tròn qua ba điểm $M(2;5)$, $N(1;2)$, $P(5;4)$ nên ta có hệ

$\begin{cases} 2^2+5^2-2a2-2b5+c=0\\ 1^2+2^2-2a1-2b2+c=0\\ 5^2+4^2-2a5-2b4+c=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}-4a-10b+c=-29\\ -2a-4b+c=-5\\ -10a-8b+c=-41\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=3\\ b=3\\ c=13.\end{cases}$

Vậy phương trình của đường tròn là $x^2+y^2-6x-6y+13=0$.

b. $A(0;6)$, $B(7;7)$, $C(8;0)$.

$\bullet\quad$ Phương trình của đường tròn cần tìm có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0.$

$\bullet\quad$ Vì đường tròn qua ba điểm $A(0;6)$, $B(7;7)$, $C(8;0)$ nên ta có hệ

$\begin{cases} 0^2+6^2-2a0-2b6+c=0\\ 7^2+7^2-2a7-2b7+c=0\\ 8^2+0^2-2a8-2b0+c=0 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}0a-12b+c=-36\\ -14a-14b+c=-98\\ -16a-0b+c=-64\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=4\\ b=3\\ c=0.\end{cases}$

Vậy phương trình của đường tròn là $x^2+y^2-8x-6y=0$.

$\begin{aligned}&\begin{cases}\mathrm{d}(I,Ox) = \mathrm{d}(I,Oy)\\ \mathrm{d}(I,Ox) = IA\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}|b|=|a|\\ |b|=\sqrt{(4-a)^2+(2-b)^2}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}b=a\\ b^2=(4-a)^2+(2-b)^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=b\\ b^2=16-8b+b^2 + 4-4b+b^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}a=b\\ -b^2+12b-20=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a=b\\ b=2\ \vee\ b=10\end{cases}\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&a=b=2\\ &a=b=10\end{aligned}\right. \end{aligned}$

+) Với $a=b=2$ thì $R=\mathrm{d}(I,Ox)=b=2$. Phương trình đường tròn là

$(x-2)^2+(y-2)^2=4.$

+) Với $a=b=10$ thì $R=\mathrm{d}(I,Ox)=b=10$. Phương trình đường tròn là

$(x-10)^2+(y-10)^2=100.$

a. Chứng minh rằng điểm $M(4;6)$ thuộc đường tròn $(C)$.

Thay tọa độ điểm $M(4;6)$ vào phương trình của $(C)$ ta được

$4^2+6^2-2\cdot 4-4\cdot 6-20=0\Leftrightarrow 0=0\quad (\text{đúng}).$

Vậy điểm $M$ thuộc $(C)$.

b. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(4;6)$.

Đường tròn đã cho có tâm $I(1;2)$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M$ là

$\begin{aligned}&(1-4)(x-4)+(2-6)(y-6)=0\Leftrightarrow -3x+12-4y+24=0\\ \Leftrightarrow\ &-3x-4y+36=0\Leftrightarrow 3x+4y-36=0.\end{aligned}$

c. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $4x+3y+2=0$.

Do tiếp tuyến $d$ song song với đường thẳng $4x+3y+2=0$ nên phương trình của tiếp tuyến có dạng $d\colon 4x+3y+m=0.$

Đường tròn có tâm $I(1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+20}=5$.

Ta có

$\begin{aligned}&\mathrm{d}(I,d)=R\Leftrightarrow \dfrac{|4\cdot 1+3\cdot 2 +m|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5\Leftrightarrow \dfrac{|10+m|}{5}=5\\ \Leftrightarrow\ &|10+m|=25\Leftrightarrow m=15\ \vee\ m=-35.\end{aligned}$

+) Với $m=15$ thì tiếp tuyến là $4x+3y+15=0$.

+) Với $m=-35$ thì tiếp tuyến là $4x+3y-35=0$.