Từ đường thẳng \(d\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right)\), suy ra \(d\) có các véctơ chỉ phương là

\[\overrightarrow{u}_1=2\overrightarrow{u}=2\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{4}{3};-\dfrac{2}{3}\right),\quad \overrightarrow{u}_2=3\overrightarrow{u}=3\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3}\right)=\left(2;-1\right).\]

Do đường thẳng \(\Delta\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;-5)\), nên \(\Delta\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(5;2)\).

a. Viết phương trình tham số của \(d\).

Do đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(3;5)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(-2;9)\) nên có phương trình tham số là \[\begin{cases}x=3-2t\\ y=5+9t.\end{cases}\]

b. Tìm hai điểm thuộc \(d\) khác với điểm \(A\).

Lần lượt cho \(t=1\) và \(t=2\), ta được hai điểm thuộc \(d\) là \(P(1;14)\), \(Q(-1;23)\).

\(\bullet\quad\) Ta có \(M\in \Delta\Leftrightarrow M(-1+2t;3-t)\).

\(\bullet\quad\) Do \(M\) có hoành độ bằng \(3\) nên \(-1+2t=3\Leftrightarrow 2t=4\Leftrightarrow t=2\).

\(\bullet\quad\) Vậy \(M(3;1)\).

Ta thấy \(A(3;0)\in Ox\) và \(B(0;-2)\in Oy\) nên \(d\) qua hai điểm \(A\) và \(B\) có phương trình \[\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{-2}=1.\]

Cho đường thẳng \(\Delta_1\colon a_1x+b_1y+c_1=0\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(a_1;b_1)\) và đường thẳng \(\Delta_2\colon a_2x+b_2y+c_2=0\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(a_2;b_2)\).

a. \(\Delta_1\colon 2x+y-2=0\) và \(\Delta_2\colon x-2=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1;0)\).

Ta thấy \(\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{1}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) không cùng phương nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.

b. \(\Delta_1\colon 2x+y-2=0\) và \(\Delta_2\colon x-y-1=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-1)\).

Ta thấy \(\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{1}{-1}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) không cùng phương nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.

a. \(\Delta_1\colon 2x+y-2=0\) và \(\Delta_2\colon 4x+2y+3=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(4;2)\).

Ta thấy \(\dfrac{2}{4}= \dfrac{1}{2}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) cùng phương nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song hoặc trùng nhau.

\(\bullet\quad\) Để phân biệt, ta chọn điểm \(M(0;2)\in \Delta_1\) và thế vào phương trình của \(\Delta_2\) ta được \[4\cdot 0+2\cdot 2+3=0\Leftrightarrow 7=0\quad \text{vô lí}.\]

Suy ra \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song.

b. \(\Delta_1\colon 2x+y-2=0\) và \(\Delta_2\colon \begin{cases}x=3t\\ y=2-6t.\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(3;-6)\) hay có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(6;3)\).

Ta thấy \(\dfrac{2}{6}= \dfrac{1}{3}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) cùng phương nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) song song hoặc trùng nhau.

\(\bullet\quad\) Để phân biệt, ta chọn điểm \(P(0;2)\in \Delta_2\) và thế vào phương trình của \(\Delta_1\) ta được \[2\cdot 0+2-2=0\Leftrightarrow 0=0\quad \text{đúng}.\]

Suy ra \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trùng nhau.

c. \(\Delta_1\colon \begin{cases}x=t\\ y=2-2t\end{cases}\) và \(\Delta_2\colon \begin{cases}x=1+2t\\ y=t.\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(1;-2)\) nên có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_1=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(2;1)\) nên có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}_2=(1;-2)\).

Ta thấy \(\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{1}{-2}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) không cùng phương nên \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.

Mặt khác, ta thấy \[\overrightarrow{n}_1\overrightarrow{n}_2=2\cdot 1+ 1\cdot (-2)=2-2=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\perp \overrightarrow{n}_2.\]

Vậy \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) vuông góc nhau.

a. Góc giữa \(d_1\colon 2x+4y+5=0\) và \(d_2\colon 3x+y-1=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(2;4)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(3;1)\).

b. Góc giữa \(d_1\colon x+2y+1=0\) và \(d_2\colon \begin{cases}x=t\\ y=-3+2t\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;2)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2)\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(2;-1)\).

c. Góc giữa \(d_1\colon \begin{cases}x=2+2t\\ y=3-7t\end{cases}\) và \(d_2\colon \begin{cases}x=-4+4t\\ y=1-14t\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;-7)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(4;-14)\).

\[\mathrm{d}(O,\Delta)=\dfrac{|4\cdot0+3\cdot0+5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=1.\]

\[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{|4\cdot1+3\cdot2+5|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5.\]

a. \(d\) đi qua điểm \(A(-1;5)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1)\).

\(\bullet\quad\) Do \(d\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1)\) nên có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(1;-2)\).

\(\bullet\quad\) Vậy \(d\) qua điểm \(A(-1;5)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;1)\) nên có phương trình tham số là: \[\begin{cases}x=-1+2t\\ y=5+t.\end{cases}\]

\(\bullet\quad\) Và \(d\) qua điểm \(A(-1;5)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;-2)\) nên có phương trình tổng quát là: \[1(x+1)-2(y-5)=0\Leftrightarrow x+1-2y+10=0\Leftrightarrow x-2y+11=0.\]

b. \(d\) đi qua điểm \(B(4;-2)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;-2)\).

\(\bullet\quad\) Do \(d\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;-2)\) nên có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2;3)\).

\(\bullet\quad\) Vậy \(d\) qua điểm \(B(4;-2)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(2;3)\) nên có phương trình tham số là: \[\begin{cases}x=4+2t\\ y=-2+3t.\end{cases}\]

\(\bullet\quad\) Và \(d\) qua điểm \(B(4;-2)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(3;-2)\) nên có phương trình tổng quát là: \[3(x-4)-2(y+2)=0\Leftrightarrow 3x-12-2y-4=0\Leftrightarrow 3x-2y-16=0.\]

c. \(d\) đi qua điểm \(P(1;1)\) và có hệ số góc \(k=-2\).

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y=-2(x-1)+1\Leftrightarrow y=-2x+3\Leftrightarrow 2x+y-3=0.\)

Suy ra \(d\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;1)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-2)\).

+) Phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=1+t\\ y=1-2t.\end{cases}\)

+) Phương trình tổng quát của \(d\) là \(2(x-1)+1(y-1)=0\Leftrightarrow 2x+y-3=0.\)

d. \(d\) đi qua hai điểm \(Q(3;0)\) và \(T(0;2)\).

\(d\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{QT}=(-3;2)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(2;3)\).

+) Phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=3-3t\\ y=2t.\end{cases}\)

+) Phương trình tổng quát của \(d\) là \(2(x-3)+3(y-0)=0\Leftrightarrow 2x+3y-6=0.\)

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(BC\) có véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow{BC}=(4;-6)=2(2;-3)\) hay có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(3;2)\).

\(\bullet\quad\) Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là \[3(x-1)+2(y-2)=0\Leftrightarrow 3x-3+2y-4=0\Leftrightarrow 3x+2y-7=0.\]

\(\bullet\quad\) Tọa độ điểm \(M\) \[x_M=\dfrac{1+5}{2}=3,\quad y_M=\dfrac{2+(-4)}{2}=-1\Rightarrow M\left(3;-1\right).\]

\(\bullet\quad\) Véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{AM}=\left(1;-4\right)\)

\(\bullet\quad\) Phương trình tham số của trung tuyến \(AM\) là \(\begin{cases}x=2+t\\ y=5-4t.\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) Véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{BC}=(-4;-6)=-2(2;3)\).

\(\bullet\quad\) Phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) \[2(x-2)+3(y-5)=0\Leftrightarrow 2x-4+3y-15=0\Leftrightarrow 2x+3y-19=0.\]

a. \(d\) đi qua \(A(2;1)\) và song song với đường thẳng \(3x+y+9=0\).

\(\bullet\quad\) Vậy phương trình tham số của \(d\) là \(\begin{cases}x=2+t\\ y=1-3t.\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) Và phương trình tổng quát của \(d\) là \[3(x-2)+1(y-1)=0\Leftrightarrow 3x+y-7=0.\]

b. \(d\) đi qua \(B(-1;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(2x-y-2=0\).

\(\bullet\quad\) Vậy phương trình tham số của \(d\) là: \(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=4-t.\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Và phương trình tổng quát của \(d\) là: \[1(x+1)+2(y-4)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0.\]

a. \(d_1\colon x-y+2=0\) và \(d_2\colon x+y+4=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;-1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(1;1)\).

\(\bullet\quad\) Ta thấy \(\dfrac{1}{1}\neq \dfrac{1}{-1}\Rightarrow\) \(\overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) không cùng phương. Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Mặt khác \(\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2=1\cdot 1+(-1)\cdot1=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\perp\overrightarrow{n}_2\). Suy ra \(d_1\perp d_2\).

b. \(d_1\colon \begin{cases}x=1+2t\\ y=3+5t\end{cases}\) và \(d_2\colon 5x-2y+9=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;5)\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(5;-2)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(5;-2)\).

\(\bullet\quad\) Ta thấy \(\dfrac{5}{5}= \dfrac{-2}{-2}\Rightarrow\) \(\overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) cùng phương. Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau.

\(\bullet\quad\) Chọn điểm \(A(1;3)\in d_1\). Thay vào phương trình của \(d_2\) ta được \[5\cdot 1 -2\cdot 3+9=0\Leftrightarrow 8=0\quad (\text{sai}).\] Suy ra \(d_1\parallel d_2\).

c. \(d_1\colon \begin{cases}x=2-t\\ y=5+3t\end{cases}\) và \(d_2\colon 3x+y-11=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(-1;3)\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(3;1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(3;1)\).

\(\bullet\quad\) Ta thấy \(\dfrac{3}{3}= \dfrac{1}{1}\Rightarrow\) \(\overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) cùng phương. Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau.

\(\bullet\quad\) Chọn điểm \(A(2;5)\in d_1\). Thay vào phương trình của \(d_2\) ta được \[3\cdot 2 + 5 -11=0\Leftrightarrow 0=0\quad (\text{đúng}).\] Suy ra \(d_1\equiv d_2\).

\(\bullet\quad\) Để tìm giao điểm với trục hoành \(Ox\), ta cho \(y=0\). Khi đó \[\begin{cases}x=2-t\\ 0=5+3t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=2-t\\ t=-\dfrac{5}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{11}{3}\\ t=-\dfrac{5}{3}\end{cases}\]

Vậy \(d\) cắt trục hoành tại điểm \(A\left(\dfrac{11}{3};0\right)\).

\(\bullet\quad\) Để tìm giao điểm với trục tung \(Oy\), ta cho \(x=0\). Khi đó \[\begin{cases}0=2-t\\ y=5+3t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=2\\ y=5+3t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}t=2\\ y=11\end{cases}\]

Vậy \(d\) cắt trục tung tại điểm \(B\left(0;11\right)\).

a. Góc giữa \(d_1\colon x-2y+3=0\) và \(d_2\colon 3x-y-11=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(1;-2)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(3;-1)\).

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức

\[\begin{aligned} \cos(d_1,d_2)=\ &\left|\cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)\right|=\dfrac{|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1|\cdot|\overrightarrow{n}_2|}=\dfrac{|1\cdot3+(-2)\cdot (-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot \sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow (d_1,d_2)=\ &45^\circ. \end{aligned}\]

b. Góc giữa \(d_1\colon \begin{cases}x=t\\ y=3+5t\end{cases}\) và \(d_2\colon x+5y-5=0\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(1;5)\) nên có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(5;-1)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(1;5)\).

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức

\[\begin{aligned} \cos(d_1,d_2)=\ &\left|\cos(\overrightarrow{n}_1,\overrightarrow{n}_2)\right|=\dfrac{|\overrightarrow{n}_1\cdot\overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1|\cdot|\overrightarrow{n}_2|}=\dfrac{|5\cdot1+(-1)\cdot 5|}{\sqrt{5^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+5^2}}=0\\ \Rightarrow (d_1,d_2)=\ &90^\circ. \end{aligned}\]

c. Góc giữa \(d_1\colon \begin{cases}x=3+2t\\ y=7+4t\end{cases}\) và \(d_2\colon \begin{cases}x=t\\ y=-9+2t\end{cases}\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_1\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_1=(2;4)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(d_2\) có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}_2=(1;2)\).

Góc giữa hai đường thẳng được tính bằng công thức

\[\begin{aligned} \cos(d_1,d_2)=\ &\left|\cos(\overrightarrow{u}_1,\overrightarrow{u}_2)\right|=\dfrac{|\overrightarrow{u}_1\cdot\overrightarrow{u}_2|}{|\overrightarrow{u}_1|\cdot|\overrightarrow{u}_2|}=\dfrac{|2\cdot1+4\cdot 2|}{\sqrt{2^2+4^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2}}=1\\ \Rightarrow (d_1,d_2)=\ &0^\circ. \end{aligned}\]

a. \(M(1;2)\) và \(\Delta\colon 3x-4y+12=0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) được tính theo công thức

\[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|3\cdot 1 - 4\cdot 2+12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{7}{5}.\]

b. \(M(4;4)\) và \(\Delta\colon \begin{cases}x=t\\ y=-t\end{cases}\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(0;0)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;-1)\) hay có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(1;1)\) nên có phương trình tổng quát

\[1(x-0)+1(y-0)=0\Leftrightarrow x+y=0.\]

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) được tính theo công thức

\[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|4 + 4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=4\sqrt{2}.\]

c. \(M(0;5)\) và \(\Delta\colon \begin{cases}x=t\\ y=-\dfrac{19}{4}\end{cases}\).

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A\left(0;-\dfrac{19}{4}\right)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;0)\) hay có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=(0;1)\) nên có phương trình tổng quát

\[0(x-0)+1\left(y+\dfrac{19}{4}\right)=0\Leftrightarrow y+\dfrac{19}{4}=0\Leftrightarrow y+4{,}75=0.\]

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) được tính theo công thức

\[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|0 + 5+4{,}75|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\dfrac{39}{4}.\]

d. \(M(0;0)\) và \(\Delta\colon 3x+4y-25=0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) được tính theo công thức

\[\mathrm{d}(M,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|3\cdot 0 + 4\cdot 0- 25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5.\]

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_1=(3;4)\).

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta'\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_2=(6;8)\).

\(\bullet\quad\) Ta thấy \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}\) nên \(\overrightarrow{n}_1\) và \(\overrightarrow{n}_2\) cùng phương. Suy ra \(\Delta\) và \(\Delta'\) song song hoặc trùng nhau.

\(\bullet\quad\) Chọn điểm \(A(-2;4)\in \Delta\). Thay vào phương trình của \(\Delta'\) ta được

\[6\cdot(-2)+8\cdot4-1=0\Leftrightarrow 19=0\quad (\text{sai})\Rightarrow A\not\in \Delta'.\]

\[\mathrm{d}(\Delta,\Delta')=\mathrm{d}(A,\Delta')=\dfrac{|6\cdot (-2)+8\cdot 4-1|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\dfrac{19}{10}.\]

Trục \(Ox \colon y=0\) có VTCP \(\overrightarrow{i}\left(1;0\right)\) nên một đường thẳng song song với \(Ox\) cũng có VTCP là \(\overrightarrow{i}\left(1;0\right).\)

Trục \(Oy \colon x=0\) có VTCP \(\overrightarrow{j}\left(0;1\right)\) nên một đường thẳng song song với \(Oy\) cũng có VTCP là \(\overrightarrow{j}\left(0;1\right).\)

Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left(-3;2\right)\) và \(B\left(1;4\right)\) có VTCP là \(\overrightarrow{AB}=\left(4;2\right)\) hoặc \(\overrightarrow{u}\left(2;1\right).\)

\(\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right)\) suy ra đường thẳng \(OM\) có VTCP \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right).\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\) suy ra đường thẳng AB có VTCP \(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\) hoặc \(\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{AB}=\left(a;-b\right).\)

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất là \(x-y=0\) suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}\left(1;-1\right)\).

Suy ra VTCP \(\overrightarrow{u}\left(1;1\right).\)

Đường thẳng song song với \(Ox\colon y+m=0\left(m\ne0\right)\) suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}\left(0;1\right).\)

Đường thẳng song song với \(Oy \colon x+m=0\) với \(( m\ne 0 )\) VTPT \(\overrightarrow{n}\left(1;0\right).\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;-2\right)\), suy ra đường thẳng AB có VTCP \(\overrightarrow{u}\left(1;-1\right)\), suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}\left(1;1\right).\)

\(\overrightarrow{OA}=\left(a;b\right)\), suy ra đường thẳng \(OA\) có VTCP \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}=\left(a;b\right)\), suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}\left(b;-a\right).\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)\), suy ra đường thẳng AB có VTCP \(\overrightarrow{u}=\left(-a;b\right)\), suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}=\left(b;a\right).\)

Đường phân giác góc phần tư thứ hai \(x+y=0\), suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}=\left(1;1\right).\)

Đường thẳng \( d \) có VTCP \(\overrightarrow{u}\left(2;-1\right)\), suy ra VTPT \(\overrightarrow{n}\left(1;2\right)\) hoặc \(3\overrightarrow{n}=\left(3;6\right).\)

Đường thẳng \( d \) có VTPT \(\overrightarrow{n}\left(4;-2\right)\), suy ra VTCP \(\overrightarrow{u}\left(2;4\right)\) hoặc \(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{u}=\left(1;2\right).\)

\[\begin{cases} \overrightarrow{u}_d=\left(3;-4\right) \\ \Delta \perp d\end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\overrightarrow{u}_d=\left(3;-4\right).\]

\[\begin{cases}\overrightarrow{u}_d=\left(3;-4\right) \\ \Delta \parallel d\end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}_{\Delta}=\overrightarrow{u}_d=\left(3;-4\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(4;3\right).\]

\[\begin{cases}\overrightarrow{n}_d=\left(-2;-5\right) \\ \Delta \parallel d\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\overrightarrow{n}_d=\left(-2;-5\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}_{\Delta}=\left(5;-2\right).\]

\[d\colon\begin{cases}x=2 \\ y=-1+6t\end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}=(0;6)=6(0;1).\]

\[\Delta\colon\begin{cases} x=5-\displaystyle\frac{1}{2}t \\ y=-3+3t\end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}= \left(-\displaystyle\frac{1}{2};3\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-1;6\right).\]

\[d\colon x-2y+2017=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(1;-2).\]

\[d\colon -3x+y+2017=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(-3;1)\quad \text{hay chọn}\quad -2\overrightarrow{n}_d=(6;-2)\]

\[d\colon \begin{cases}x=-1+2t \\ y=3-t\end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=(2;-1)\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(1;2).\]

\[d\colon 2x-3y+2018=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(2;-3)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=(-3;-2)\]

Gọi \(d\) là trung trực đoạn \(AB\), ta có

\[\begin{cases} \overrightarrow{AB}=(0;1) \\ d\perp AB \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=\overrightarrow{AB}=(0;1).\]

Ta có

\[\Delta\colon x-3y-2=0\Rightarrow \overrightarrow{n}=(1;-3)=\overrightarrow{n}_1\]

và

\[\overrightarrow{n}_2=(-2;6)=-2\overrightarrow{n},\quad \overrightarrow{n}_3=\left(\dfrac{1}{3};-1\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{n}\]

nên \(\overrightarrow{n}_1,\ \overrightarrow{n_2},\ \overrightarrow{n}_3\) cũng là các véctơ pháp tuyến.

Do không tồn tại số \(k\) để \(\overrightarrow{n}_4=k\overrightarrow{n}\) nên \(\overrightarrow{n}_4\) không phải là véctơ pháp tuyến.

Thử từng tọa độ của các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) ta thấy tọa độ của \(M\) thỏa mãn.

Ta có \(d\colon \begin{cases} x=1+2t \\ y=3-t\end{cases}\Leftrightarrow x+2y-7=0\).

Thử từng tọa độ của các điểm \(M, N, P, Q\) ta thấy tọa độ của \(Q\) thỏa mãn.

Thay tọa độ của các điểm \(M, N, P, Q\) ta thấy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng.

Ta có \(\begin{cases} x=-1+2t \\ y=3-5t\end{cases}\Leftrightarrow 5x+2y-1=0\).

Thay tọa độ của các điểm \(M, N, P, Q\) ta thấy điểm \(P\) không thuộc đường thẳng.

\[\begin{cases} M\left(1;-2\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\left(3;5\right) \end{cases} \Rightarrow d\colon \begin{cases} x=1+3t \\ y=-2+5t \end{cases}.\]

\[\begin{cases} O(0;0)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=-\overrightarrow{u}=(1;-2)\end{cases}\Rightarrow d\colon\begin{cases} x=t \\ y=-2t\end{cases}\]

\[\begin{cases} M(0;-2)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\overrightarrow{u}=(3;0)\end{cases}\Rightarrow d\colon\begin{cases} x=3t \\ y=-2.\end{cases}\]

\[\begin{cases} A(2;-1)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=(0;6)\end{cases}\Rightarrow AB\colon\begin{cases} x=2 \\ y=-1+6t\end{cases}\]

\[\begin{cases} A(-1;3)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=(4;-2)=-2(-2;1)\end{cases}\Rightarrow AB\colon\begin{cases} x=-1-2t \\ y=3+t\end{cases}\]

\[\begin{cases} A(1;1)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=(1;1) \end{cases} \Rightarrow AB\colon \begin{cases} x=1+t \\ y=1+t\end{cases}\]

Cho \(t=-1\), ta được \(x=0,\ y=0\). Do đó \(AB\) qua điểm \(O(0;0)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;1)\). Suy ra \[AB\colon \begin{cases} x=t \\ y=t\end{cases}\]

\[\begin{cases} A(3;-7)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=(-2;0)=-2(1;0) \end{cases}\Rightarrow AB\colon\begin{cases} x=3+t \\ y=-7\end{cases}\]

Cho \(t=-3\), ta được \(x=0,\ y=-7\). Do đó \(AB\) qua điểm \(M(0;-7)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(1;0)\). Vậy \(AB\) có phương trình \(AB\colon \begin{cases} x=t \\ y=-7.\end{cases}\)

Thay tọa độ điểm \(O(0;0)\) vào từng đường thẳng, nhận thấy đường thẳng không đi qua điểm \(O\) là \(\begin{cases}x=1-t \\ y=3t.\end{cases}\)

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(B\) và song song với \(AC\).

Ta có

\[\begin{cases} B(0;3)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\overrightarrow{AC}=(-5;-1)=-1\cdot (5;1) \end{cases}\Rightarrow d\colon \begin{cases} x=5t \\ y=3+t\end{cases}\]

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và song song với \(PQ\).

Ta có

\[\begin{cases} A(3;2)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\overrightarrow{PQ}=(-4;-2)=-2(2;1) \end{cases} \Rightarrow d\colon\begin{cases} x=3+2t \\ y=2+t\end{cases}\quad \text{hay}\quad \begin{cases} x=-1+2t \\ y=t\end{cases}\]

\[\begin{cases} A(-2;1)\in AB,\overrightarrow{u}_{CD}=(4;3) \\ AB\parallel CD \Rightarrow\overrightarrow{u}_{AB}=-\overrightarrow{u}_{CD}=(-4;-3)\end{cases} \Rightarrow AB\colon \begin{cases} x=-2-4t \\ y=1-3t\end{cases}\]

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là \(x-y=0\Rightarrow \overrightarrow{n}=(1;-1)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(1;-1)\).

Do \(d\) song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất nên \(\overrightarrow{u}_d =\overrightarrow{u}=(1;-1)\).

Vậy phương trình của đường thẳng \(d\) là \(\begin{cases} x=-3+t \\ y=5+t.\end{cases}\)

\(\overrightarrow{u}_{Ox}=(1;0)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=(1;0)\).

Phương trình của \(d\)

\[d\colon \begin{cases} x=4+t \\ y=-7\end{cases} \quad \text{hay}\quad d\colon \begin{cases}x=t \\ y=-7.\end{cases}\]

\(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(M(2;3)\). Vậy

\[\begin{cases} C(7;3)\in CM\\ \overrightarrow{u}_{MC}= \overrightarrow{MC}=(5;0)=5(1;0)\end{cases} \Rightarrow CM\colon\begin{cases} x=7+t \\ y=3\end{cases}\]

Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\) là \(M\left(2;\dfrac{5}{2}\right)\). Suy ra

\[\begin{cases} B(5;0) \in BM \\ \overrightarrow{MB}=\left(3;-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{1}{2}(6;-5)\Rightarrow\overrightarrow{u}=(6;-5)\end{cases} \Rightarrow MB\colon\begin{cases}x=5+6t \\ y=-5t.\end{cases}\]

Ta có \(N(20;y_N)\in BM\Rightarrow\begin{cases} 20=5+6t \\ y_N=-5t\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t=\dfrac{5}{2} \\ y_N=-\dfrac{25}{2}.\end{cases}\)

\[\begin{aligned}&\begin{cases} A(1;-2)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=(-2;4)=-2(1;-2)\end{cases}\\ \Rightarrow\ &d \colon (x-1)-2(y+2)=0\\ \Leftrightarrow\ &-2x+4y+10=0\Leftrightarrow x-2y-5=0.\end{aligned}\]

\[\begin{cases} M(0;-2)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=(3;0)=3(1;0)\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=(0;1).\end{cases}\]

Phương trình của \(d\)

\[d\colon y+2=0\]

\[\begin{cases} A\left(-4;5\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=\left(3;2\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=\left(-2;3\right)\end{cases} \Rightarrow d\colon \begin{cases} x=-4-2t \\ y=5+3t.\end{cases}\]

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(3;1)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(-5;4)\).

Suy ra véctơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(4;5)\).

Phương trình của \(d\)

\[4\left(x-3\right)+5\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow d:4x+5y-17=0.\]

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(15;6)\) và có véctơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}=(0;7)=7(0;1)\).

Suy ra véctơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(1;0)\).

Phương trình của \(d\) là \(1(x-15)+0(y-6)=0\Leftrightarrow x-15=0\).

\[d:x-y+3=0\Rightarrow \begin{cases} x=0\Rightarrow y=3 \\ \overrightarrow{n}_d=\left(1;-1\right) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A\left(0;3\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\left(1;1\right) \end{cases}\Rightarrow d:\begin{cases}x=t \\ y=3+t. \end{cases}\]

\[d:3x-2y+6=0\Rightarrow \begin{cases} x=0\Rightarrow y=3 \\ \overrightarrow{n}_d=\left(3;-2\right)\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A\left(0;3\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\left(2;3\right)=2\left(1;\displaystyle\frac{3}{2}\right). \end{cases}\]

Phương trình của \(d\) là \(d:\begin{cases}x=t \\ y=3+\displaystyle\frac{3}{2}t. \end{cases}\)

\[\begin{cases}M\left(1;2\right)\in d \\ d\parallel\Delta\colon2x+3y-12=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} M\left(1;2\right)\in d \\ d\colon2x+3y+c=0 \left(c\ne -12\right) \end{cases}\]

Suy ra \(2\cdot 1+3\cdot 2+c=0\Leftrightarrow c=-8\).

Vậy \(d\colon2x+3y-8=0.\)

Cách 2.

\(\bullet\quad\) Đường thẳng \(\Delta\) có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_{\Delta}=)2;3)\).

\(\bullet\quad\) Do \(d\) song song với \(\Delta\) nên \(d\) nhận \(\overrightarrow{n}_{\Delta}\) làm véctơ pháp tuyến.

\(\bullet\quad\) Vậy \(d\) qua điểm \(M(1;2)\) và có véctơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}_d=(2;3)\) nên có phương trình

\[2(x-1)+3(y-2)=0\Leftrightarrow 2x-2+3y-6=0\Leftrightarrow 2x+3y-8=0.\]

\[\begin{cases} O\left(0;0\right)\in d \\ d\parallel\Delta\colon6x-4x+1=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} O\left(0;0\right)\in d \\ d\colon6x-4x+c=0 \left(c\ne 1\right) \end{cases}\]

Suy ra \(6\cdot 0-4\cdot 0+c=0\Leftrightarrow c=0\).

Vậy \(d\colon6x-4y=0\Leftrightarrow 3x-2y=0.\)

\[\begin{cases} M\left(-1;2\right)\in d \\ d\perp \Delta\colon2x+y-3=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}M\left(-1;2\right)\in d\\ d\colon x-2y+c=0\end{cases}\]

Suy ra \(-1-2\cdot 2+c=0\Leftrightarrow c=5\).

Vậy \(d\colon x-2y+5=0.\)

\[\begin{aligned} & \begin{cases} A\left(4;-3\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\left(-2;3\right) \\ \Delta \parallel d \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}A\left(4;-3\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_{\Delta}=\left(-2;3\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(3;2\right) \end{cases} \\ \Rightarrow\ &\Delta\colon3\left(x-4\right)+2\left(y+3\right)=0 \Leftrightarrow \Delta\colon 3x+2y-6=0. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} & \begin{cases} B\left(0;3\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_{AC}=\overrightarrow{AC}=\left(-5;1\right) \\ d\parallel AC \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}B\left(0;3\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=\left(1;5\right) \end{cases} \\ \Rightarrow\ &d\colon 1\left(x-0\right)+5\left(y-3\right)=0 \Leftrightarrow d\colon x+5y-15=0. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\begin{cases} M\left(-1;0\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_{\Delta}=\left(1;-2\right) \\ d\perp \Delta \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} M\left(-1;0\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=\left(1;-2\right) \end{cases}\\ \Rightarrow\ &d\colon 1\left(x+1\right)-2\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow d\colon x-2y+1=0.\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} &\begin{cases} M\left(-2;1\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_{\Delta}=\left(-3;5\right) \\ d\perp \Delta \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}M\left(-2;1\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=\left(-3;5\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=\left(5;3\right) \end{cases}\\ \Rightarrow\ &d\colon\begin{cases}x=-2+5t \\ y=1+3t \end{cases}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}&\begin{cases} A\left(-1;2\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(3;-13\right) \\ d\parallel\Delta \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A\left(-1;2\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_d=\left(3;-13\right)\Rightarrow \overrightarrow{u}_d=\left(13;3\right) \end{cases}\\ \Rightarrow\ &d\colon\begin{cases} x=-1+13t \\ y=2+3t \end{cases}.\end{aligned}\]

\[\begin{cases} A\left(-1;2\right)\in d \\ \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(2;-1\right) \\ d\perp \Delta \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A\left(-1;2\right)\in d \\ \overrightarrow{u}_d=\left(2;-1\right) \end{cases}\Rightarrow d\colon\begin{cases} x=-1+2t \\ y=2-t.\end{cases}\]

\[\begin{aligned}&\begin{cases} M\left(-2;-5\right)\in d \\ (I)\colon x-y=0\left(\Delta \right) \\ d\parallel\Delta \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} M\left(-2;-5\right)=0 \\ d\colon x-y+c=0\left(c\ne 0\right) \end{cases}\\ \Rightarrow\ &-2-\left(-5\right)+c=0\Leftrightarrow c=-3.\end{aligned}\]

Vậy \(d\colon x-y-3=0.\).

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai là \(\Delta\colon x+y=0\).

\[\begin{aligned} & \begin{cases} M\left(3;-1\right)\in d \\ \Delta\colon x+y=0 \\ d\perp \Delta \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} M\left(3;-1\right) \\ d\colon x-y+c=0 \end{cases} \\ \Rightarrow\ &3-\left(-1\right)+c=0\Leftrightarrow c=-4\Rightarrow d\colon x-y-4=0. \end{aligned}\]

Đường phân giác của góc phần tư thứ hai là \(\Delta\colon x+y=0\).

\[\begin{aligned} & \begin{cases} M\left(-4;0\right)\in d \\ \Delta\colon x+y=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(1;1\right) \\ d\perp \Delta \Rightarrow \overrightarrow{u}_d=\left(1;1\right) \end{cases} \Rightarrow d\colon \begin{cases} x=-4+t \\ y=t \end{cases}\\ \Rightarrow\ &d\colon\begin{cases} x=t \\ y=4+t \end{cases}\end{aligned}\]

\[\begin{aligned} & \begin{cases} A\left(3;-1\right)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=\left(-2;6\right) \Rightarrow \overrightarrow{n}_{AB}=\left(3;1\right) \end{cases} \\ \Rightarrow\ &AB\colon 3\left(x-3\right)+1\left(y+1\right)=0 \Leftrightarrow 3x+y-8=0.\end{aligned}\]

\[\begin{cases} A\left(-2;0\right)\in Ox \\ B\left(0;3\right)\in Oy \end{cases}\Rightarrow AB\colon\displaystyle\frac{x}{-2}+\displaystyle\frac{y}{3}=1\Leftrightarrow 3x-2y+6=0.\]

\[\begin{cases} A\left(2;-1\right)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=\left(0;6\right) \Rightarrow \overrightarrow{n}_{AB}=\left(1;0\right) \end{cases} \Rightarrow AB\colon x-2=0.\]

\[\begin{cases} A\left(3;-7\right)\in AB \\ \overrightarrow{u}_{AB}=\overrightarrow{AB}=\left(-4;0\right) \Rightarrow \overrightarrow{n}_{AB}=\left(0;1\right) \end{cases}\Rightarrow AB\colon y+7=0.\]

Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Ta có \(M(2;0)\).

\[\begin{cases} A\left(1;1\right) \\ \overrightarrow{u}_{AM}=\overrightarrow{AM}=\left(1;-1\right) \Rightarrow \overrightarrow{n}_{AM}=\left(1;1\right)\end{cases} \Rightarrow AM\colon x+y-2=0.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(d\) là trung trực đoạn \(AB\). Ta có \(I(3;-1)\)

\[\begin{cases} I\left(3;-1\right)\in d \\ d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{n}_d =\overrightarrow{AB}=\left(4;6\right)=2\left(2;3\right)\end{cases} \Rightarrow d:2x+3y-3=0.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(d\) là trung trực đoạn \(AB\). Ta có \(I\left(\displaystyle\frac{5}{2};-\displaystyle\frac{5}{2}\right)\).

\[\begin{cases} I\left(\displaystyle\frac{5}{2};-\displaystyle\frac{5}{2}\right)\in d \\ d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3\right)=-3\left(1;1\right) \end{cases} \Rightarrow d:x+y=0.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(d\) là trung trực đoạn \(AB\). Ta có \(I\left(1;-1\right)\)

\[\begin{cases} I\left(1;-1\right)\in d \\ d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{n}_d =\overrightarrow{AB}=\left(0;6\right)=6\left(0;1\right) \end{cases}\Rightarrow d:y+1=0.\]

Gọi \(I\) là trung điểm của AB và \(d\) là trung trực đoạn \(AB\). Ta có \(I\left(2;-4\right)\).

\[\begin{cases} I\left(2;-4\right)\in d \\ d\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{n}_d =\overrightarrow{AB}=\left(2;0\right)=2\left(1;0\right) \end{cases}\Rightarrow d:x-2=0.\]

Gọi \(h_A\) là đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).

\[\begin{cases} A\left(2;-1\right)\in h_A \\ h_A\bot BC\Rightarrow \overrightarrow{n}_{h_A} =\overrightarrow{BC}=\left(-7;-3\right)=-\left(7;3\right) \end{cases}\Rightarrow h_A: 7x+3y-11=0.\]

Gọi \(h_B\) là đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác ABC.

\[\begin{cases} B\left(4;5\right)\in h_B \\ h_B\bot AC \Rightarrow \overrightarrow{n}_{h_B} =\overrightarrow{AC}=\left(-5;3\right)=-\left(5;-3\right) \end{cases}\Rightarrow h_B:5x-3y-5=0.\]

Gọi \(h_C\) là đường cao kẻ từ \(C\) của tam giác \(ABC\).

\[\begin{cases} C\left(-3;2\right)\in h_C \\ h_C\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{n}_{h_C} =\overrightarrow{AB}=\left(2;6\right)=2\left(1;3\right) \end{cases}\Rightarrow h_C:x+3y-3=0.\]

\[\begin{cases} d_1:x-2y+1=0 \\ d_2:-3x+6y-10=0 \end{cases}\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{-3}=\displaystyle\frac{-2}{6}\ne\displaystyle\frac{1}{-10}\Rightarrow d_1\parallel d_2.\]

\[\begin{cases} d_1:3x-2y-6=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(3;-2\right) \\ d_2:6x-2y-8=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(6;-2\right) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{3}{6}\ne\displaystyle\frac{-2}{-2} \\ \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2\ne0 \end{cases}\]

Suy ra \(d_1,\ d_2\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

\[\begin{cases} d_1:\displaystyle\frac{x}{3}-\displaystyle\frac{y}{4}=1\Rightarrow \overrightarrow{n}_1 =\left(\displaystyle\frac{1}{3};-\displaystyle\frac{1}{4}\right) \\ d_2:3x+4y-10=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(3;4\right) \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2=0\Rightarrow d_1\bot d_2.\]

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=-1+t \\ y=-2-2t \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_1=\left(1;-2\right) \\ & d_2:\begin{cases} x=2-2{t}' \\ y=-8+4{t}' \end{cases}\Rightarrow B\left(2;-8\right)\in d_2,{\overrightarrow{u}}_2=\left(-2;4\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{-2}=\displaystyle\frac{-2}{4} \\ B\in d_1\ (t=3)\end{cases}\Rightarrow d_1\equiv d_2.\]

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=-3+4t \\ y=2-6t \end{cases}\Rightarrow A\left(-3;2\right)\in d_1,{{\overrightarrow{u}}}_1=\left(2;-3\right) \\ & d_2:\begin{cases} x=1-2{t}' \\ y=4+3{t}' \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(-2;3\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{2}{-2}=\displaystyle\frac{-3}{3} \\ A\notin d_2 \end{cases}\Rightarrow d_1\parallel d_2.\]

\[\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned} & {\Delta}_1:\begin{cases} x=3+\displaystyle\frac{3}{2}t \\ y=-1+\displaystyle\frac{4}{3}t \end{cases}\Rightarrow A\left(3;-1\right)\in {\Delta}_1,{{\overrightarrow{u}}}_1=\left(\displaystyle\frac{3}{2};\displaystyle\frac{4}{3}\right) \\ & {\Delta}_2:\begin{cases} x=\displaystyle\frac{9}{2}+9{t}' \\ y=\displaystyle\frac{1}{3}+8{t}' \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(9;8\right) \\ \end{aligned}\right.\\ \Rightarrow\ &\begin{cases} \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{2}}{9}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{3}}{8} \\ A\in {\Delta}_2\leftrightarrow {t}'=-\displaystyle\frac{1}{6} \end{cases}\Rightarrow {\Delta}_1\equiv {\Delta}_2.\end{aligned}\]

\[\left. \begin{aligned} & {\Delta}_1:7x+2y-1=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_1=\left(7;2\right) \\ & {\Delta}_2:\begin{cases} x=4+t \\ y=1-5t \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(1;-5\right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_2=\left(5;1\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} \displaystyle\frac{7}{5}\ne\displaystyle\frac{2}{1} \\ {{\overrightarrow{n}}}_1\cdot {{\overrightarrow{n}}}_2\ne0 \end{cases}\]

Suy ra \({\Delta}_1,\ {\Delta}_2\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=4+2t \\ y=1-3t \end{cases}\Rightarrow A\left(4;1\right)\in d_1,{{\overrightarrow{u}}}_1=\left(2;-3\right) \\ & d_2:3x+2y-14=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_2=\left(3;2\right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(2;-3\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} {{\overrightarrow{u}}}_1={{\overrightarrow{u}}}_2 \\ A\in d_2 \end{cases}\Rightarrow d_1\equiv d_2.\]

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=4+2t \\ y=1-5t \end{cases}\Rightarrow A\left(4;1\right)\in d_1,{{\overrightarrow{u}}}_1=\left(2;-5\right) \\ & d_2:5x+2y-14=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_2=\left(5;2\right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(2;-5\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} {{\overrightarrow{u}}}_1={{\overrightarrow{u}}}_2 \\ A\notin d_2 \end{cases}\Rightarrow d_1\parallel d_2.\]

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=2+3t \\ y=-2t \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_1=\left(3;-2\right) \\ & d_2:\begin{cases} x=2{t}' \\ y=-2+3{t}' \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(2;3\right) \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2=0\Rightarrow d_1\bot d_2.\]

\[\left. \begin{aligned} & d_1:\begin{cases} x=2+t \\ y=-3+2t \end{cases}\Rightarrow d_1:2x-y-7=0 \\ & d_2:\begin{cases} x=5-t_1 \\ y=-7+3t_1 \end{cases}\Rightarrow d_2:3x+y-8=0 \\ \end{aligned}\right\}\Rightarrow \begin{cases} d_1:2x-y-7=0 \\ d_2:3x+y-8=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=3 \\ y=-1 \end{cases}\\ \Rightarrow d_1\cap d_2=M\left(3;-1\right).\]

\(d_1:\begin{cases} x=1-t \\ y=5+3t \end{cases}\Rightarrow d_1:3x+y-8=0\)

Xét hệ

\[\begin{cases} d_1:3x+y-8=0 \\ d_2: x-2y+1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{15}{7} \\ y=\displaystyle\frac{11}{7} \end{cases}\]

\(\Rightarrow A,\ B,\ D\) sai.

Mặc khác: \(Oy\cap d_2: x-2y+1=0\leftrightarrow x=0\Rightarrow y=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow d_2\cap Oy=M\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(1;4\right)\), \(\overrightarrow{CD}=\left(-4;-1\right)\). Suy ra \(AB\) và \(CD\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Vì \(\overrightarrow{AB}=\left(3;-2\right)\), \(\overrightarrow{CD}=\left(6;-4\right)\) và \(\overrightarrow{AC}=\left(0;-5\right)\) nên \(AB\parallel CD.\)

(i) \(\begin{cases} d_1:\begin{cases} x=t \\ y=-1-2t \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}_1=\left(1;-2\right) \\ d_2:2x+y1=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(2;1\right)\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(1;-2\right) \end{cases}\Rightarrow {\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2\ne0\Rightarrow \) loại A.

(ii) \(\begin{cases} d_1:x-2=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_1=\left(1;0\right) \\ d_2:\begin{cases} x=t \\ y=0 \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}}_2=\left(1;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(0;1\right) \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2=0\Rightarrow d_1\bot d_2.\)

Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D.

Xét đáp án A: \(\begin{cases} d:2x+3y-1=0 \\ d_A:2x+3y+1=0 \end{cases}\Rightarrow \displaystyle\frac{2}{2}=\displaystyle\frac{3}{3}\ne\displaystyle\frac{-1}{-1}\Rightarrow d \parallel d_A.\)

Để ý rằng một đường thẳng song song với \(2x+3y-1=0\) sẽ có dạng \(2x+3y+c=0 \left(c\ne-1\right).\) Do đó kiểm tra chỉ thấy có đáp án A thỏa mãn, các đáp án còn lại không thỏa mãn.

Kí hiệu \(d:x-3y+4=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_d=\left(1;-3\right).\)

(i) Xét đáp án A: \(d_1:\begin{cases} x=1+t \\ y=2+3t \end{cases}\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;3\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1,\overrightarrow{n}\) không cùng phương nên loại A.

(ii) Xét đáp án B: \(d_2:\begin{cases} x=1-t \\ y=2+3t \end{cases}\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2=\left(3;1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_2,\overrightarrow{n}\) không cùng phương nên loại B.

(iii) Xét đáp án C: \(d_3:\begin{cases} x=1-3t \\ y=2+t \end{cases}\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_3=\left(1;3\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_3,\overrightarrow{n}\) không cùng phương nên loại C.

(iv) Xét đáp án D: \(d_4:\begin{cases} x=1-3t \\ y=2-t \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} M\left(1;2\right)\in d_4 \\ {{\overrightarrow{n}}}_4=\left(1;-3\right) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} {{\overrightarrow{n}}}_4=\overrightarrow{n} \\ M\notin d \end{cases}\Rightarrow d\parallel d_4.\)

Kí hiệu \(d:4x-3y+1=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right).\)

(i) Xét đáp án A: \(d_1:\begin{cases} x=4t \\ y=-3-3t \end{cases}\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1=\left(3;4\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_d=0\).

(ii) Tương tự kiểm tra và loại các đáp án B, C, D.

Ta cần tìm đường thẳng cắt.

\(d\colon \begin{cases} x=-2+3t \\ y=5-7t \end{cases} \Rightarrow d\colon 7x+3y-1=0\) và \(d_1\colon 7x+3y-1=0 \Rightarrow d_1 \equiv d\) nên loại \(d_1\).

Ta có \(d_2\colon 7x+3y+1=0,\ d_3\colon 7x+3y+2018=0\), suy ra \(d_2\parallel d\) và \(d_3\parallel d\) nên loại \(d_2, d_3\).

Ta có \(\begin{cases} d_2:(2m-1)x+m^2y+10=0 \\ d_1:3x+4y+10=0.\end{cases}\)

Khi đó \(d_1\equiv d_2\Leftrightarrow \displaystyle\frac{2m-1}{3}=\dfrac{m^2}{4}=\displaystyle\frac{10}{10} \Leftrightarrow \begin{cases} 2m-1=3 \\ m^2=4\end{cases}\Leftrightarrow m=2.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon mx+\left(m-1\right)y+2m=0 \\ d_2 \colon 2x+y-1=0.\end{cases}\)

Khi đó \(d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{m}{2} =\dfrac{m-1}{1} \neq \displaystyle\frac{2m}{-1} \Leftrightarrow \begin{cases}m \neq 0 \\ m=2m-2\end{cases}\Leftrightarrow m=2. \)

Ta có \(d_1 \colon 2x-3y+4=0\) và \(d_2 \colon \begin{cases} x=2-3t \\ y=1-4mt\end{cases}\), suy ra \(\begin{cases} \overrightarrow{n}_1=(2;-3) \\ \overrightarrow{n}_2=(4m;-3).\end{cases}\)

Khi đó \( d_1\cap d_2=M \Leftrightarrow \displaystyle\frac{4m}{2} \neq \dfrac{-3}{-3} \Leftrightarrow m \neq \displaystyle\frac{1}{2}.\)

Ta có \(d_1 \colon 2x-4y+1=0\) và \(d_2\colon \begin{cases} x=-1+at \\ y=3-(a+1)t \end{cases}\) nên \(\begin{cases} \overrightarrow{n}_1=(1;-2) \\ \overrightarrow{n}_2=(a+1;a).\end{cases} \)

Khi đó \(d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2=0 \Leftrightarrow a+1-2a=0\Leftrightarrow a=1.\)

Ta có

\(\bullet\quad\) \(d_1\colon \begin{cases} x=-2+2t \\ y=-3t \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u}_1=(2;-3),\ d_1\colon 3x+2y+6=0.\)

\(\bullet\quad\) \(d_2\colon \begin{cases} x=2+mt \\ y=-6+(1-2m)t \end{cases}\Rightarrow A (2;-6)\in d_2,\ \overrightarrow{u}_2=(m;1-2m).\)

Khi đó \(d_1\equiv d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} A\in d_1 \\ \displaystyle\frac{m}{2}=\displaystyle\frac{1-2m}{-3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3 \cdot 2+2\cdot (-6)+6=0 \text{ (Đúng)} \\ m=2\end{cases}\Leftrightarrow m=2.\)

Ta có

\(\bullet\quad\) \(d_1\colon \begin{cases}x=2+2t \\y=1+mt\end{cases}\Rightarrow A(2;1)\in d_1,\ \overrightarrow{u}_1=(2;m).\)

\(\bullet\quad\) \( d_2:4x-3y+m=0 \Rightarrow \overrightarrow{u}_2=(3;4).\)

Khi đó \(d_1\equiv d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} A\in d_2 \\ \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{m}{4} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 5+m=0 \\ m=\displaystyle\frac{8}{3} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=-5 \\ m=\displaystyle\frac{8}{3} \end{cases}\Leftrightarrow m\in \varnothing.\)

Với \(m=4 \Rightarrow\begin{cases} d_1:2x+y=0 \\ d_2:7x+y+7=0\end{cases}\Rightarrow d_1\cap d_2\neq \varnothing\) nên loại \(m=4.\)

Với \(m \neq 4\) thì \(\begin{cases} d_1\colon 2x+y+4-m=0 \\ d_2\colon (m+3)x+y-2m-1=0\end{cases}\)

Suy ra \(d_1\parallel d_2\) khi

\[\displaystyle\frac{m+3}{2}=\displaystyle\frac{1}{1}\neq \displaystyle\frac{-2m-1}{4-m}\Leftrightarrow \begin{cases} m=-1 \\ m \neq -5\end{cases}\Leftrightarrow m=-1.\]

\(\bullet\quad\) Với \(m=0\) ta có \(\begin{cases} \Delta_1:x+5=0 \\ \Delta_2:4y+1=0\end{cases}\Rightarrow m=0\) (thoả mãn).

\(\bullet\quad\) Với \(m \neq 0\) ta có \(\Delta_1\cap \Delta_2=M \Leftrightarrow \displaystyle\frac{2}{m} \neq \displaystyle\frac{-3m}{4}\Leftrightarrow \forall m \neq 0.\)

Ta có \(\begin{cases} \Delta_1\colon mx+y-19=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_1=(m;1) \\ \Delta_2\colon (m-1)x+(m+1)y-20=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=(m-1;m+1).\end{cases}\)

Khi đó \(\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow m(m-1)+1(m+1)=0\Leftrightarrow m\in \varnothing\).

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 3mx+2y+6=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_1=(3m;2) \\ d_2\colon (m^2+2)x+2my+6=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=(m^2+2;2m).\end{cases}\)

Suy ra

\(\bullet\quad\) \( m=0\), khi đó \(\begin{cases} d_1\colon y+3=0 \\ d_2\colon x+y+3=0 \end{cases}\Rightarrow m=0\) (thoả mãn điều kiện).

\(\bullet\quad\) \(m \neq 0\), khi đó \(d_1\cap d_2=M \Leftrightarrow \displaystyle\frac{m^2+2}{3m} \neq \displaystyle\frac{2m}{2}\Leftrightarrow m \neq \pm 1\).

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 2x-3y-10=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_1=(2;-3) \\ d_2\colon \begin{cases}x=2-3t \\ y=1-4mt\end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=(4m;-3)\end{cases}\)

Khi đó \(d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow \overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2=0 \Leftrightarrow 2.4m+(-3)\cdot (-3)=0\Leftrightarrow m=-\displaystyle\frac{9}{8}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 4x-3y+3m=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_1=(4;-3). \\ d_2 \colon \begin{cases} x=1+2t \\ y=4+mt\end{cases}\Rightarrow A (1;4)\in d_2, \overrightarrow{n}_2=(m;-2)\end{cases}.\)

Khi đó \(d_1 \equiv d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} A\in d_1 \\ \overrightarrow{n}_1 \text{ cùng phương với } \overrightarrow{n}_2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A\in d_1 \\ \displaystyle\frac{m}{4}=\displaystyle\frac{-2}{-3}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3m-8=0 \\ m=\displaystyle\frac{8}{3} \end{cases} \Leftrightarrow m=\displaystyle\frac{8}{3}.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 3mx+2y-6=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_1=(3m;2) \\ d_2\colon \left(m^2+2\right)x+2my-3=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left( m^2+2;2m\right).\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) \(m=0 \Rightarrow \begin{cases} d_1\colon y-3=0 \\ d_2\colon 2x+2y-3=0\end{cases} \Rightarrow m=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) \( m \neq 0\), khi đó \( d_1\parallel d_2 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{m^2+2}{3m}=\displaystyle\frac{2m}{2}\neq \displaystyle\frac{-3}{-6} \Leftrightarrow m=\pm 1.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon \begin{cases} x=8-(m+1)t\\ y=10+t\end{cases}\Rightarrow A\left(8;10\right)\in d_1, \overrightarrow{n}_1=(1;m+1) \\ d_2\colon mx+2y-14=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=(m;2).\end{cases}\)

Khi đó \(d_1\parallel d_2\) khi và chỉ khi \(\begin{cases} A \notin d_2 \\ \overrightarrow{n}_1 \text{ cùng phương với } \overrightarrow{n}_2=(0;2).\end{cases}\)

\(\bullet\quad\) Với \(m=0\) ta có \(\begin{cases} A \notin d_2 \\ \overrightarrow{n}_1=(1;1), \overrightarrow{n}_2=(0;2)\end{cases}\). Suy ra \(m=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Với \(m \neq 0\) ta có \(\begin{cases} A \notin d_2 \\ \displaystyle\frac {1}{m} = \displaystyle\frac{m+1}{2}.\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 8m+6 \neq 0 \\ m^2+m-2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m \neq -\displaystyle\frac{3}{4} \\ m=1;m=-2 \end{cases} \Leftrightarrow m=1\ \vee\ m=-2.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon (m-3)x+2y+m^2-1=0\\ d_2\colon -x+my+m^2-2m+1=0.\end{cases}\).

Khi đó \(d_1\cap d_2=M\) khi và chỉ khi

\(\bullet\quad\) Với \(m=0\) ta có \(\begin{cases} d_1:-3x+2y-1=0 \\ d_2:-x+1=0 \end{cases}\) (thoả mãn).

\(\bullet\quad\) Với \(m \neq 0\) ta có \(\displaystyle\frac{m-3}{-1} \not = \displaystyle\frac{2}{m}\Leftrightarrow \begin{cases} m\neq1 \\ m \neq 2. \end{cases}\)

Ta có \(\begin{cases} \Delta_1\colon \begin{cases} x=m+2t \\ y=1+(m^2+1)t \end{cases}\Rightarrow A(m;1) \in d_1, \overrightarrow{u}_1= (2;m^2+1). \\ \Delta_2 \colon \begin{cases} x=1+mt \\ y=m+t \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{u}_2=(m;1).\end{cases}\)

Khi đó \(d_1\equiv d_2\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned}&\begin{cases} A \in d_2 \\ \displaystyle\frac{m}{2}=\displaystyle\frac{1}{m^2+1} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m=1+mt \\ 1=m+t \\ m^3+m-2=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} m=1+m(1-m) \\ (m-1)(m^2+m+2)=0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} m^2-1=0 \\ m-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow m=1.\end{aligned}\]

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(\Delta\) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình

\[\begin{cases} y=0 \\ 5x+2y-10=0\end{cases} \Leftrightarrow begin{cases} x=2 \\ y=0.\end{cases}\]

Gọi \(M(x;y)\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục tung.

Khi đó tọa độc của \(M\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases} x=2t \\ y=-5+15t\\ y=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{2}{3}\\ y=0\\ t=\displaystyle\frac{1}{3}\end{cases} \Rightarrow M\left(\displaystyle\frac{2}{3};0\right).\]

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ \[\begin{cases}7x-3y+16=0 \\ x+10=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-10 \\ y=-18.\end{cases}\]

Xét hệ phương trình \(\begin{cases}-3+4t=1+4t' \\ 2+5t=7-5t'\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} t-t'=1 \\ t+t'=1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t=1\\ t'=0.\end{cases}\)

Thay \(t=1\) vào đường thẳng \(d_1\) ta được \(\begin{cases} x=1 \\ y=7.\end{cases}\)

Gọi \(M(x;y)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\).

Khi đó tọa độ giao điểm của \(M\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}2x+3y-19=0 \\ x=22+2t \\ y=55+5t\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=2 \\ y=5 \\ t=-10\end{cases}\Rightarrow M(2;5).\]

Phương trình đường thẳng \(AB\) có dạng \(4x-3y+8=0\).

Gọi \(M(x;y)\) là giao điểm của \(AB\) với \(d\).

Khi đó tọa độ của \(M\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}4x-3y+8=0\\ x=-t \\ y=2-t\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=-2 \\ y=0 \\ t=2\end{cases}\Rightarrow M(-2;0).\]

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của đường thẳng \(d_2\) với trục \(Ox\). Khi đó tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases} x=-1+t \\ y=3+3t\\ y=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-2 \\ y=0 \\ t=-1\end{cases}\Rightarrow A(-2;0).\]

Vì \(A\in d_1\Rightarrow -2a-4=0\Leftrightarrow a=-2.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của đường thẳng \(d_2\) với trục \(Oy\). khi đó tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}x=2+t \\ y=6+2t \\ x=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \\ y=2 \\ t=-2\end{cases}\Rightarrow A(0;2).\]

Vì \(A\in d_1\Rightarrow 6m-m^2=0\Leftrightarrow m=0 \ \vee\ m=6.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\(\begin{cases}3x-2y+5=0 \\ 2x+4y-7=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\displaystyle\frac{3}{8} \\ y=\displaystyle\frac{31}{16}\end{cases}\Rightarrow A\left(-\displaystyle\frac{3}{8};\displaystyle\frac{31}{16}\right).\)

Đường thẳng \(d\) song song với \(d_3\) nên \(d\colon 3x+4y+c=0\).

Vì \(A\in d \Rightarrow -\displaystyle\frac{9}{8}+\displaystyle\frac{31}{4}+c=0\Leftrightarrow c=-\displaystyle\frac{53}{8}.\)

Vậy \(d:3x+4y-\displaystyle\frac{53}{8}=0\Leftrightarrow d\colon24x+32y-53=0.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}x+3y-1=0 \\ x-3y-5=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=3 \\ y=-\displaystyle\frac{2}{3}\end{cases}\Rightarrow A\left(3;-\displaystyle\frac{2}{3}\right).\]

Đường thẳng \(\Delta\perp d_3\) nên \(\Delta\colon x+2y+c=0\).

Vì \(A\in \Delta \Rightarrow 3+2.\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\right)+c=0\Leftrightarrow c=-\displaystyle\frac{5}{3}.\)

Vậy \(\Delta\colon x+2y-\displaystyle\frac{5}{3}=0\Leftrightarrow \Delta\colon 3x+6y-5=0.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}3x-4y+15=0 \\ 5x+2y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=3\end{cases}\Rightarrow A(-1;3).\]

Vì \(A\in d_3\Rightarrow-m-6m+3+9m-13=0\Leftrightarrow m=5.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}2x+y-4=0 \\ 5x-2y+3=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=\displaystyle\frac{5}{9} \\ y=\displaystyle\frac{26}{9} \end{cases}\Rightarrow A\left(\displaystyle\frac{5}{9};\displaystyle\frac{26}{9}\right).\]

Vì \(A\in d_3\Rightarrow \displaystyle\frac{5m}{9}+\displaystyle\frac{26}{3}-2=0 \Leftrightarrow m=-12.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}3x-4y+15=0 \\ 5x+2y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=3\end{cases}\Rightarrow A(-1;3).\]

Vì \(A\in d_3\Rightarrow -m-12+15=0\Leftrightarrow m=3.\)

Gọi \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên tọa độ của nó là nghiệm của hệ

\[\begin{cases}2x+y1=0 \\ x+2y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=-1\end{cases}\Rightarrow A(1;-1).\]

Vì \(A\in d_3\Rightarrow m+1-7=0\Leftrightarrow m=6.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 2x-y-10=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(2;-1\right) \\ d_2\colon x-3y+9=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(1;-3\right) \end{cases}\)

\(\Rightarrow \cos\left(d_1;d_2\right)=\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot \left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)^2}}\cdot\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \varphi ={45}^{\circ}\).

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 7x-3y+6=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(7;-3\right) \\ d_2\colon 2x-5y-4=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(2;-5\right) \end{cases}\)

\(\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 14+15\right|}{\sqrt{49+9}.\sqrt{4+25}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow \varphi =\displaystyle\frac{\pi}{4}.\)

Ta có \(\begin{cases} d_1\colon 2x+2\sqrt 3 y+5=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(1;\sqrt{3}\right) \\ d_2\colon y-6=0 \Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(0;1\right) \end{cases}\)

\(\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| \sqrt{3}\right|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{0+1}}=\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}\)

\(\Rightarrow \varphi ={30}^{\circ}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon x+\sqrt{3}y=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(1;\sqrt{3}\right) \\ d_2\colon x+10=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(1;0\right) \end{cases}\)

\(\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 1+0\right|}{\sqrt{1+3}\cdot \sqrt{1+0}}=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \varphi ={60}^{\circ}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 6x-5y+15=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(6;-5\right) \\ d_2\colon \begin{cases} x=10-6t \\ y=1+5t \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(5;6\right) \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_1\cdot \overrightarrow{n}_2=0\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\varphi =90^{\circ}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon x+2y-7=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(1;2\right) \\ d_2\colon 2x-4y+9=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(1;-2\right) \end{cases}\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 1-4\right|}{\sqrt{1+4}\cdot \sqrt{1+4}}=\displaystyle\frac{3}{5}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon x+2y-2=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(1;2\right) \\ d_2\colon x-y=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(1;-1\right) \end{cases}\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 1-2\right|}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{1+1}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 10x+5y-1=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_1=\left(2;1\right) \\ d_2\colon \left\{\begin{matrix} x=2+t \\ y=1-t \\ \end{matrix}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(1;1\right) \end{cases}\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 2+1\right|}{\sqrt{4+1}\cdot \sqrt{1+1}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{10}}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 3x+4y+1=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(3;4\right) \\ d_2\colon \begin{cases} x=15+12t \\ y=1+5t \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(5;-12\right) \end{cases}\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 15-48\right|}{\sqrt{9+16}.\sqrt{25+144}}=\displaystyle\frac{33}{65}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 2x+3y+m^2-1=0\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_1=\left(2;3\right) \\ d_2\colon \begin{cases} x=2m-1+t \\ y={m}^4-1+3t \end{cases}\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}}_2=\left(3;-1\right) \end{cases}\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)}\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 6-3\right|}{\sqrt{4+9}\cdot \sqrt{9+1}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{130}}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 3x+4y+12=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_1=\left(3;4\right) \\ d_2\colon \begin{cases} x=2+at \\ y=1-2t \end{cases}\Rightarrow \overrightarrow{n}_2=\left(2;a\right) \end{cases}\)

\(\xrightarrow{\varphi =\left(d_1;d_2\right)=45^{\circ}} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos {45}^{\circ}=\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| 6+4a\right|}{\sqrt{25}\cdot \sqrt{a^2+4}}\)

\(\Leftrightarrow 25\left(a^2+4\right)=8\left(4a^2+12a+9\right)\Leftrightarrow 7a^2+96a-28=0\Leftrightarrow a=-14 \ \vee\ a=\displaystyle\frac{2}{7}.\)

\(\begin{cases} d_1\colon 2x+y-3=0 \\ d_2\colon x-2y+1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}\Rightarrow d_1\cap d_2=A\left(1;1\right)\in \Delta.\)

Ta có \(d_3\colon y-1=0\Rightarrow \overrightarrow{n}_3=\left(0;1\right),\) gọi \({\overrightarrow{n}}_{\Delta}=\left(a;b\right),\ \varphi =\left(\Delta;d_3\right)\).

Khi đó \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \varphi =\displaystyle\frac{\left| b\right|}{\sqrt {a^2+b^2}\cdot \sqrt{0+1}}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2b^2\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a=b\Rightarrow a=b=1 \Rightarrow \Delta\colon x+y-2=0\\ &a=-b\Rightarrow a=1,\ b=-1\Rightarrow \Delta\colon x-y=0.\end{aligned}\right.\)

\(d\colon x+2y-6=0\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_d=\left(1;2\right),\) gọi \({\overrightarrow{n}}_{\Delta}=\left(a;b\right)\Rightarrow k_{\Delta}=-\displaystyle\frac{a}{b}.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos {45}^{\circ}=\displaystyle\frac{\left| a+2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{5}}\Leftrightarrow 5\left(a^2+b^2\right)=2a^2+8ab+8b^2\)

\(\Leftrightarrow 3a^2-8ab-3b^2=0\Leftrightarrow a=-\displaystyle\frac{1}{3}b\Rightarrow k_{\Delta}=\displaystyle\frac{1}{3} \ \vee\ a=3b\Rightarrow k_{\Delta}=-3.\)

\(\begin{cases} d\colon y=kx\Rightarrow \overrightarrow{n}_d=\left(k;-1\right) \\ \Delta \colon y=x\Rightarrow \overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(1;-1\right) \end{cases}\)

\(\Rightarrow\displaystyle\frac{1}{2}=\cos{60^\circ}=\displaystyle\frac{\left| k+1\right|}{\sqrt{k^2+1}}\cdot\sqrt{2}\Leftrightarrow k^2+1=2k^2+4k+2\)

\( \Leftrightarrow k^2+4k+1=0\)

\(\xrightarrow{sol:k=k_1,k=k_2}k_1+k_2=-4.\)

\(A\left(1;3\right)\), \(B\left(2;m\right)\) nằm cùng phía với \(d\colon 3x+4y-5=0\) khi và chỉ khi

\(\left(3x_A+4y_A-5\right)\left(3x_B+4y_B-5\right) > 0\Leftrightarrow 10\left(1+4m\right) > 0\Leftrightarrow m > -\displaystyle\frac{1}{4}.\)

Đoạn thẳng \(AB\) và \(d\colon 4x-7y+m=0\) có điểm chung khi và chỉ khi

\(\left(4x_A-7y_A+m\right)\left(4x_B-7y_B+m\right)\le 0\Leftrightarrow \left(m-10\right)\left(m-40\right)\le 0\Leftrightarrow 10\le m\le 40.\)

\(d\colon \begin{cases} x=2+t \\ y=1-3t \end{cases}\Rightarrow d\colon 3x+y-7=0.\)

Khi đó điều kiện bài toán trở thành

\(\left(3x_A+y_A-7\right)\left(3x_B+y_B-7\right) > 0\Leftrightarrow-2\left(m-13\right) > 0\Leftrightarrow m < 13.\)

\(d\colon \begin{cases} x=m+2t \\ y=1-t \end{cases}\Rightarrow d:x+2y-m-2=0.\)

Đoạn thẳng \(AB\) cắt \(d\) khi và chỉ khi

\(\left(x_A+2y_A-m-2\right)\left(x_B+2y_B-m-2\right)\le 0\Leftrightarrow {\left(3-m\right)}^2\le 0\Leftrightarrow m=3.\)

Đặt \(f\left(x;y\right)=2x-3y+6\Rightarrow\begin{cases} f\left(A\left(1;3\right)\right)=-1 < 0 \\ f\left(B\left(-2;4\right)\right)=-10 < 0 \\ f\left(C\left(-1;5\right)\right)=-11 < 0 \end{cases}\)

\(\Rightarrow d\) không cắt cạnh nào của tam giác \(ABC\).

Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta}_1;{\Delta}_2\) khi và chỉ khi

\(d\left(M;{\Delta}_1\right)=d\left(M;{\Delta}_2\right)\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| x+2y-3\right|}{\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{\left| 2x-y+3\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow 3x+y=0 \quad \text{hoặc}\quad x-3y+6=0.\)

Điểm \(M\left(x;y\right)\) thuộc đường phân giác của các góc tạo bởi \(\Delta;Ox\colon y=0\) khi và chỉ khi

\(d\left(M;\Delta\right)=d\left(M;Ox\right)\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| x+y\right|}{\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{\left| y\right|}{\sqrt{1}}\Leftrightarrow x+\left(1+\sqrt{2}\right)y=0 \quad \text{hoặc}\quad x+\left(1-\sqrt{2}\right)y=0.\)

\[\begin{cases} A\left(\displaystyle\frac{7}{4};3\right),B\left(1;2\right)\Rightarrow AB\colon 4x-3y+2=0 \\ A\left(\displaystyle\frac{7}{4};3\right),C\left(-4;3\right)\Rightarrow AC\colon y-3=0 \end{cases}.\]

Suy ra các đường phân giác góc \(A\) là

\[\displaystyle\frac{\left| 4x-3y+2\right|}{5}=\displaystyle\frac{\left| y-3\right|}{1}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&4x+2y-13=0\\ &4x-8y+17=0.\end{aligned}\right.\]

Đặt \(f\left(x;y\right)=4x+2y-13\). Ta có

\[\begin{cases} f\left(B\left(1;2\right)\right)=-5 < 0 \\ f\left(C\left(-4;3\right)\right)=-23 < 0 \end{cases}\]

Suy ra đường phân giác trong góc \(A\) là \(4x-8y+17=0.\)

\[\begin{cases} A\left(1;5\right),B\left(-4;-5\right)\Rightarrow AB:2x-y+3=0 \\ A\left(1;5\right),C\left(4;-1\right)\Rightarrow AC:2x+y-7=0 \end{cases}.\]

Suy ra các đường phân giác góc \(A\) là:

\[\displaystyle\frac{\left| 2x-y+3\right|}{\sqrt{5}}=\displaystyle\frac{\left| 2x+y-7\right|}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& x-1=0\Rightarrow f\left(x;y\right)=x-1 \\ & y-5=0 \end{aligned}\right.\]

\[\Rightarrow \begin{cases} f\left(B\left(-4;-5\right)\right)=-5 < 0 \\ f\left(C\left(4;-1\right)\right)=3>0 \end{cases}\]

Suy ra đường phân giác trong góc \(A\) là \(y-5=0.\)

Các đường phân giác của các góc tạo bởi \(d_1\colon 3x-4y-3=0\) và \(d_2\colon 12x+5y-12=0\) là:

\[\displaystyle\frac{\left| 3x-4y-3\right|}{5}=\displaystyle\frac{\left| 12x+5y-12\right|}{13}\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & 3x+11y-3=0 \\ & 11x-3y-11=0.\end{aligned}\right.\]

Gọi \(I=d_1\cap d_2\Rightarrow I\left(1;0\right);d\colon 3x+11y-3=0\Rightarrow M\left(-10;3\right)\in d\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(d_1.\)

Ta có: \(IM=\sqrt{130},MH=\displaystyle\frac{\left|-30-12-3\right|}{5}=9,\) suy ra

\[\sin MIH=\displaystyle\frac{MH}{IM}= \displaystyle\frac{9}{\sqrt{130}} \Rightarrow MIH > 52\Rightarrow 2MIH > 90.\]

Suy ra \(d\colon 3x+11y-3=0\) là đường phân giác góc tù, suy ra đường phân giác góc nhọn là \(11x-3y-11=0\).

Khoảng cách từ điểm \(M\left(x_0;y_0\right)\) đến đường thẳng \(\Delta\colon ax+by+c=0\) được tính theo công thức

\[d\left(M,\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left| \left. ax_0+by_0+c\right|\right.}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

\(d\left(M;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left|-3-4-3\right|}{\sqrt{9+16}}=2.\)

\(\begin{cases} x-3y+4=0 \\ 2x+3y-1=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}\Rightarrow A\left(-1;1\right)\)

\(\Rightarrow d\left(A;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left|-3+1+4\right|}{\sqrt{9+1}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{10}}.\)

Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(\displaystyle\frac{x}{4}+\displaystyle\frac{y}{3}=1\Leftrightarrow 3x+4y-12=0\).

Khi đó \[h_A=\mathrm{d}\left(A;BC\right)=\displaystyle\frac{\left| 3+8-12\right|}{\sqrt{9+16}}=\displaystyle\frac{1}{5}.\]

Ta có \(\begin{cases} A\left(3;-4\right) \\ B\left(1;5\right),\ C\left(3;1\right) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} A\left(3;-4\right) \\ BC=2\sqrt{5} \\ BC \colon 2x+y-7=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} BC=2\sqrt{5} \\ h_A=\mathrm{d}\left(A;BC\right)=\sqrt{5}. \end{cases}\)

Suy ra \(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2} 2\sqrt{5} \sqrt{5}=5.\)

Áp dụng công thức ta có \[\mathrm{d}\left(M;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left| 3\sin \alpha+3\left(2-\sin \alpha \right)\right|}{\sqrt{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}}=6.\]

Từ \(\Delta \colon \begin{cases} x=1+3t\\ y=2+4t\end{cases}\) suy ra phương trình tổng quát của \(\Delta \colon 4x-3y+2=0\).

Khi đó \[\mathrm{d}\left(M;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left| 8+0+2\right|}{\sqrt{16+9}}=2.\]

Ta có \(\Delta \colon \begin{cases} x=2+3t \\ y=t \end{cases}\) suy ra phương trình tổng quát \(\Delta \colon x-3y-2=0.\)

Gọi \(N\in \Delta\) thì \[MN_{\min}=\mathrm{d}\left(M;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left|15-3-2\right|}{\sqrt{1+9}}=\sqrt{10}.\]

Ta có \(\mathrm{d}\left(A;\Delta \right)= 2\sqrt{5}\)

\[\begin{aligned} &\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left|-m+2-m+4\right|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt{5}\\ &\Leftrightarrow \left| m-3\right|=\sqrt{5} \cdot \sqrt{m^2+1}\\ &\Leftrightarrow 4m^2+6m-4=0\\ &\Leftrightarrow m=-2 \quad \text{hoặc}\quad m=\displaystyle\frac{1}{2}. \end{aligned}\]

Từ \(d_1 \colon \begin{cases} x=t \\ y=2-t \end{cases}\) suy ra phương trình tổng quát của \(d_1 \colon x+y-2=0\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) thì tọa độ \(M\) là nghiệm của hệ

\[\begin{cases} x+y-0 \\ x-2y+m=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=4-m \\ y=m-2 \end{cases}\Rightarrow M\left(4-m;m-2\right).\]

Khi đó: \[OM=2\Leftrightarrow {\left(4-m\right)}^2+{\left(m-2\right)}^2=4\Leftrightarrow m^2-6m+8=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m=2 \\ & m=4.\end{aligned}\right.\]

\[R=\mathrm{d}\left(O;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left| 100\right|}{\sqrt{64+36}}=10.\]

Ta có \(R=\mathrm{d}\left(I;\Delta \right)=\displaystyle\frac{\left|-10-24-10\right|}{\sqrt{25+144}}=\displaystyle\frac{44}{13}.\)

Gọi \(I\) và \(R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn \((C)\).

Khi đó \(I=O\left(0;0\right)\) và \(R=1\).

Ta có \(\left(\Delta \right)\) tiếp xúc đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi

\[\mathrm{d}\left(I;\Delta \right)=R\Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| m\right|}{\sqrt{1}}=1\Leftrightarrow m=\pm 1.\]

Đặt \(f\left(x;y\right)=\left| 21x-11y-10\right|\).

Khi đó \[\begin{cases} f(M)=464 \\ f(N)=54 \\ f(P)=464 \\ f(Q)=44. \end{cases}\]

Đặt \(f\left(x;y\right)=\left| 7x+10y-15\right|\)

Khi đó \[\begin{cases} f(M)=38 \\ f(N)=25 \\ f(P)=98 \\ f(Q)=42. \end{cases}\]

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon x-y+2=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) nên \(x-y+2=0\) thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon x+2y=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{8}{\sqrt{5}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{9}{\sqrt{5}}\) nên \(x+2y=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon 2x-2y+10=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{2}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{2}}\) nên \(2x-2y+10=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon x-y+100=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{99}{\sqrt{2}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{97}{\sqrt{2}}\) nên \(x-y+100=0\) không thỏa mãn.

Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left(12;4\right)\) và \(\overrightarrow{AC}=\left(-3;-1\right)\) rõ ràng \(\overrightarrow{AB}=-4\overrightarrow{AC}\) nên \(A\), \(B\), \(C\) là ba điểm thẳng hàng.

Do đó ta chỉ cần kiểm tra \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\mathrm{d}(B;\Delta)\).

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon x-3y+4=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{10}}\) nên \(x-3y+4=0\) thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon -x+y+10=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{11}{\sqrt{2}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\) nên \(-x+y+10=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon x+y=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{17}{\sqrt{2}}\) nên \(x+y=0\) không thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét \(\Delta \colon 5x-y+1=0 \). Ta có \(\mathrm{d}(A;\Delta)=0\) và \(\mathrm{d}(B;\Delta)=\displaystyle\frac{56}{\sqrt{26}}\) nên \(5x-y+1=0\) không thỏa mãn.

Gọi \(I\) là trung điểm đoạn \(AB\) thì \(I\left(\displaystyle\frac{-1}{2};\displaystyle\frac{5}{2}\right)\) và VTPT của \(AB\) là \(\overrightarrow{n}=(1;1)\).

Khi đó: \(\Delta \colon mx-y+3=0\left(\overrightarrow{n}_{\Delta}=\left(m;-1\right)\right)\) cách đều \(A,B\) khi và chỉ khi

\[\left[\begin{aligned}& I\in \Delta \\ & \displaystyle\frac{m}{1}=\displaystyle\frac{-1}{1}\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&-\displaystyle\frac{m}{2}-\displaystyle\frac{5}{2}+3=0 \\ & m=-1\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}& m=1 \\ & m=-1.\end{aligned}\right.\]

Lấy \(A\left(2;0\right)\in {\Delta}_2\) do \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\) nên \[\mathrm{d}\left({\Delta}_1;{\Delta}_2\right)=\mathrm{d}\left(A;\Delta_1\right)=\displaystyle\frac{\left| 12+3\right|}{\sqrt{100}}=\displaystyle\frac{3}{2}.\]

Từ \(\Delta \colon \begin{cases} x=-2+t\\ y=2-7t\end{cases}\) ta có phương trình tổng quát \(\Delta \colon 7x+y+12=0\). Dễ thấy \(d \parallel \Delta\).

Lấy \(A\left(-2;2\right)\in \Delta\) thì \[\mathrm{d}\left(d;\Delta \right)=athrm{d}\left(A;d\right)=\displaystyle\frac{\left|-14+2-3\right|}{\sqrt{50}}=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}.\]

Ta có \(\displaystyle\frac{6}{3}=\displaystyle\frac{-8}{-4}\) nên \(d_1 \parallel d_2\).

Lấy \(A\left(4;3\right)\in d_2\) khi đó \[\mathrm{d}\left(d_1;d_2\right)=\mathrm{d}(A;d_1)\displaystyle\frac{\left| 24-24-101\right|}{\sqrt{100}}=\displaystyle\frac{101}{10}=10{,}1.\]

Ta có \(M\in d \colon x-2y-1=0\Rightarrow M\left(2m+1;m\right),m\in \mathbb{Z}\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\displaystyle\frac{x-1}{3}=\displaystyle\frac{y-1}{-4}\Leftrightarrow 4x+3y-7=0\).

Ta có \[\begin{aligned} 6=\mathrm{d}\left(M;AB\right) &\Leftrightarrow 6 =\displaystyle\frac{\left| 8m+4+3m-7\right|}{5}\\ &\Leftrightarrow \left| 11m-3\right|=30\\ &\Leftrightarrow m=3 \quad \text{hoặc}\quad m=\displaystyle\frac{27}{11}\left(l\right) \end{aligned}\]

Khi đó \(M\left(7;3\right)\).

Vì \(M\in d\) nên \( M\left(2+2t;3+t\right)\) với \(2+2t < 0\Leftrightarrow t < -1.\) Khi đó

\[\begin{aligned} 5=AM & \Leftrightarrow \left(2t+2\right)^2+\left(t+2\right)^2=25\\ & \Leftrightarrow 5t^2+12t-17=0\\ & \Leftrightarrow t=1\ (L) \quad\text{hoặc}\quad t=-\displaystyle\frac{17}{5}. \end{aligned}\]

Khi đó \(M\left(-\displaystyle\frac{24}{5};-\displaystyle\frac{2}{5}\right).\)

Gọi \(M\left(x;0\right)\in Ox\) thì hoành độ của hai điểm đó là nghiệm của phương trình

\begin{aligned} \mathrm{d}\left(M;\Delta \right)=2\sqrt{5}& \Leftrightarrow \displaystyle\frac{\left| 2x+5\right|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\\ &\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{5}{2}=x_1 \quad\text{hoặc}\quad x=-\displaystyle\frac{15}{2}=x_2. \end{aligned}

Khi đó \( x_1\cdot x_2=-\displaystyle\frac{75}{4}.\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(4x+3y-9=0\).

Giả sử \(M\left(x;0\right) \in Ox\). Khi đó

\[\begin{aligned} &1=\mathrm{d}\left(M;AB\right)\Leftrightarrow 1=\displaystyle\frac{\left| 4x-9\right|}{5}\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{7}{2}\\ \Rightarrow\ & M\left(\displaystyle\frac{7}{2};0\right) \quad\text{hoặc}\quad x=1\Rightarrow M\left(1;0\right). \end{aligned}\]