Bài 1. TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ
Học xong bài này các em có thể
Tìm được tọa độ của một véctơ, tọa độ của một điểm.
Biết cách tìm tọa độ của trung điểm, tọa độ của trọng tâm tam giác.
Biết cách tính độ dài của một véctơ, tính được khoảng cách giữa hai điểm.
Biết ứng dụng tích vô hướng bằng phương pháp tọa độ.
1. Tọa độ của véctơ đối với một hệ trục tọa độ
Trục tọa độ
Trục tọa độ là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm O O O điểm gốc e → \overrightarrow{e} e 1 1 1
Ta kí hiệu trục như trên là ( O , e → ) (O,\overrightarrow{e}) ( O , e )
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ ( O , i → , j → ) (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) ( O , i , j ) ( O , i → ) (O,\overrightarrow{i}) ( O , i ) ( O , j → ) (O,\overrightarrow{j}) ( O , j )
∙ \bullet\quad ∙ O O O
∙ \bullet\quad ∙ ( O , i → ) (O,\overrightarrow{i}) ( O , i ) O x Ox O x ( O , j → ) (O,\overrightarrow{j}) ( O , j ) O y Oy O y
∙ \bullet\quad ∙ ( O , i → , j → ) (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) ( O , i , j ) O x y Oxy O x y
Tọa độ của một véctơ
Trong mặt phẳng O x y Oxy O x y ( x ; y ) (x;y) ( x ; y ) a → = x i → + y j → \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j} a = x i + y j a → \overrightarrow{a} a a → = ( x ; y ) \overrightarrow{a}=(x;y) a = ( x ; y ) x x x y y y a → \overrightarrow{a} a
Nhận xét:
∙ \bullet\quad ∙ i → = 1 ⋅ i → + 0 ⋅ j → \overrightarrow{i}=1\cdot\overrightarrow{i}+0\cdot\overrightarrow{j} i = 1 ⋅ i + 0 ⋅ j i → = ( 1 ; 0 ) \overrightarrow{i}=(1;0) i = ( 1 ; 0 )
∙ \bullet\quad ∙ j → = 0 ⋅ i → + 1 ⋅ j → \overrightarrow{j}=0\cdot\overrightarrow{i}+1\cdot\overrightarrow{j} j = 0 ⋅ i + 1 ⋅ j j → = ( 0 ; 1 ) \overrightarrow{j}=(0;1) j = ( 0 ; 1 )
Chú ý.
∙ \bullet\quad ∙ a → = ( x ; y ) ⇔ a → = x i → + y j → . \overrightarrow{a}=(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}. a = ( x ; y ) ⇔ a = x i + y j .
∙ \bullet\quad ∙ a → = ( x ; y ) \overrightarrow{a}=(x;y) a = ( x ; y ) b → = ( x ′ ; y ′ ) \overrightarrow{b}=(x';y') b = ( x ′ ; y ′ ) a → = b → ⇔ { x = x ′ y = y ′ . \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\begin{cases}x=x'\\ y=y'.\end{cases} a = b ⇔ { x = x ′ y = y ′ .
Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng O x y Oxy O x y M M M O M → \overrightarrow{OM} O M M M M
∙ \bullet\quad ∙ O M → = ( x ; y ) \overrightarrow{OM}=(x;y) O M = ( x ; y ) M M M x ; y x;y x ; y M ( x ; y ) M(x;y) M ( x ; y )
∙ \bullet\quad ∙ M ( x ; y ) ⇔ O M → = x i → + y j → M(x;y)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j} M ( x ; y ) ⇔ O M = x i + y j
Ví dụ 1. Cho các điểm A A A B B B C C C D D D E E E F F F
a. Tìm tọa độ của các điểm A A A B B B C C C D D D E E E F F F
b. Biểu diễn các véctơ O A → \overrightarrow{OA} O A O B → \overrightarrow{OB} O B O C → \overrightarrow{OC} O C O D → \overrightarrow{OD} O D O E → \overrightarrow{OE} O E O F → \overrightarrow{OF} O F i → \overrightarrow{i} i j → \overrightarrow{j} j
a. Tọa độ của các điểm A ( 2 ; 3 ) A(2;3) A ( 2 ; 3 ) B ( − 3 ; 2 ) B(-3;2) B ( − 3 ; 2 ) C ( 0 ; 4 ) C(0;4) C ( 0 ; 4 ) D ( 5 ; 0 ) D(5;0) D ( 5 ; 0 ) E ( 3 ; − 3 ) E(3;-3) E ( 3 ; − 3 ) F ( 1 ; 0 ) F(1;0) F ( 1 ; 0 )
b. Dựa vào hình vẽ, ta có
O A → = 2 i → + 3 j → ⇒ O A → = ( 2 ; 3 ) ; O B → = − 3 i → + 2 j → ⇒ O B → = ( − 3 ; 2 ) ; O C → = 4 j → ⇒ O C → = ( 0 ; 4 ) ; O D → = 5 i → ⇒ O D → = ( 5 ; 0 ) ; O E → = 3 i → − 3 j → ⇒ O E → = ( 3 ; − 3 ) ; O F → = 1 i → ⇒ O F → = ( 1 ; 0 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}&&\Rightarrow \overrightarrow{OA}=(2;3);\\
&\overrightarrow{OB}=-3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}&&\Rightarrow \overrightarrow{OB}=(-3;2);\\
&\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{j}&&\Rightarrow \overrightarrow{OC}=(0;4);\\
&\overrightarrow{OD}=5\overrightarrow{i}&&\Rightarrow \overrightarrow{OD}=(5;0);\\
&\overrightarrow{OE}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}&&\Rightarrow \overrightarrow{OE}=(3;-3);\\
&\overrightarrow{OF}=1\overrightarrow{i}&&\Rightarrow \overrightarrow{OF}=(1;0).
\end{aligned} O A = 2 i + 3 j O B = − 3 i + 2 j O C = 4 j O D = 5 i O E = 3 i − 3 j O F = 1 i ⇒ O A = ( 2 ; 3 ) ; ⇒ O B = ( − 3 ; 2 ) ; ⇒ O C = ( 0 ; 4 ) ; ⇒ O D = ( 5 ; 0 ) ; ⇒ O E = ( 3 ; − 3 ) ; ⇒ O F = ( 1 ; 0 ) .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng O x y Oxy O x y A ( − 1 ; 3 ) A(-1;3) A ( − 1 ; 3 ) B ( 0 ; − 3 ) B(0;-3) B ( 0 ; − 3 ) C ( 4 ; 0 ) C(4;0) C ( 4 ; 0 ) D ( − 3 ; − 2 ) D(-3;-2) D ( − 3 ; − 2 )
a. Vẽ các điểm A A A B B B C C C D D D O x y Oxy O x y
b. Tìm tọa độ của các véctơ O A → \overrightarrow{OA} O A O B → \overrightarrow{OB} O B O C → \overrightarrow{OC} O C O D → \overrightarrow{OD} O D
a. Vẽ các điểm trên mặt phẳng O x y Oxy O x y
b. Tìm tọa độ của các véctơ O A → \overrightarrow{OA} O A O B → \overrightarrow{OB} O B O C → \overrightarrow{OC} O C O D → \overrightarrow{OD} O D
∙ \bullet\quad ∙ O A → = ( − 1 ; 3 ) \overrightarrow{OA}=(-1;3) O A = ( − 1 ; 3 )
∙ \bullet\quad ∙ O B → = ( 0 ; − 3 ) \overrightarrow{OB}=(0;-3) O B = ( 0 ; − 3 )
∙ \bullet\quad ∙ O C → = ( 4 ; 0 ) \overrightarrow{OC}=(4;0) O C = ( 4 ; 0 )
∙ \bullet\quad ∙ O D → = ( − 3 ; − 2 ) \overrightarrow{OD}=(-3;-2) O D = ( − 3 ; − 2 )
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ
Cho hai véctơ a → = ( a 1 ; a 2 ) \overrightarrow{a}=(a_1;a_2) a = ( a 1 ; a 2 ) b → = ( b 1 ; b 2 ) \overrightarrow{b}=(b_1;b_2) b = ( b 1 ; b 2 ) k k k
1. a → + b → = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 ) \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(a_1+b_1;a_2+b_2) a + b = ( a 1 + b 1 ; a 2 + b 2 )
2. a → − b → = ( a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 ) \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(a_1-b_1;a_2-b_2) a − b = ( a 1 − b 1 ; a 2 − b 2 )
3. k a → = k ( a 1 ; a 2 ) = ( k a 1 ; k a 2 ) k\overrightarrow{a}=k(a_1;a_2)=(ka_1;ka_2) k a = k ( a 1 ; a 2 ) = ( k a 1 ; k a 2 )
4. a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2 a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2
Ví dụ 1. Cho hai véctơ a → = ( 2 ; 4 ) \overrightarrow{a}=(2;4) a = ( 2 ; 4 ) b → = ( 3 ; − 5 ) \overrightarrow{b}=(3;-5) b = ( 3 ; − 5 )
a. Tìm tọa độ của các véctơ a → + b → \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} a + b a → − b → \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} a − b 2 a → − b → 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} 2 a − b 3 a → − 2 b → 3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} 3 a − 2 b
b. Tính các tích vô hướng a → ⋅ b → \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} a ⋅ b ( 2 a → ) ⋅ ( − b → ) (2\overrightarrow{a})\cdot(-\overrightarrow{b}) ( 2 a ) ⋅ ( − b ) ( − a → ) ⋅ ( 4 b → ) (-\overrightarrow{a})\cdot(4\overrightarrow{b}) ( − a ) ⋅ ( 4 b )
a. Tìm tọa độ của các véctơ a → + b → \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} a + b a → − b → \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} a − b 2 a → − b → 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} 2 a − b 3 a → − 2 b → 3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} 3 a − 2 b
a → + b → = ( 2 + 3 ; 4 − 5 ) = ( 5 ; − 1 ) , a → − b → = ( 2 − 3 ; 4 + 5 ) = ( − 1 ; 9 ) , 2 a → − b → = ( 2 ⋅ 2 − 3 ; 2 ⋅ 4 + 5 ) = ( 1 ; 13 ) , 3 a → − 2 b → = ( 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ; 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ ( − 5 ) ) = ( 0 ; 22 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}= (2+3;4-5)=(5;-1),\\
&\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2-3;4+5)=(-1;9),\\
&2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(2\cdot2-3;2\cdot4+5)=(1;13),\\
&3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(3\cdot2-2\cdot3;3\cdot4-2\cdot(-5))=(0;22).
\end{aligned} a + b = ( 2 + 3 ; 4 − 5 ) = ( 5 ; − 1 ) , a − b = ( 2 − 3 ; 4 + 5 ) = ( − 1 ; 9 ) , 2 a − b = ( 2 ⋅ 2 − 3 ; 2 ⋅ 4 + 5 ) = ( 1 ; 1 3 ) , 3 a − 2 b = ( 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ; 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ ( − 5 ) ) = ( 0 ; 2 2 ) .
b. Tính các tích vô hướng a → ⋅ b → \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} a ⋅ b ( 2 a → ) ⋅ ( − b → ) (2\overrightarrow{a})\cdot(-\overrightarrow{b}) ( 2 a ) ⋅ ( − b ) ( − a → ) ⋅ ( 4 b → ) (-\overrightarrow{a})\cdot(4\overrightarrow{b}) ( − a ) ⋅ ( 4 b )
a → ⋅ b → = 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ ( − 5 ) = − 14 , ( 2 a → ) ⋅ ( − b → ) = ( 2 ⋅ 2 ) ⋅ ( − 3 ) + ( 2 ⋅ 4 ) ⋅ 5 = 28 , ( − a → ) ⋅ ( 4 b → ) = ( − 2 ) ( 4 ⋅ 3 ) + ( − 4 ) [ 4 ⋅ ( − 5 ) ] = − 24 + 80 = 56. \begin{aligned}
&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot 3+4\cdot(-5)=-14,\\
&(2\overrightarrow{a})\cdot(-\overrightarrow{b})=(2\cdot2)\cdot(-3)+(2\cdot4)\cdot5=28,\\
&(-\overrightarrow{a})\cdot(4\overrightarrow{b})=(-2)(4\cdot3)+(-4)[4\cdot(-5)]=-24+80=56.
\end{aligned} a ⋅ b = 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ ( − 5 ) = − 1 4 , ( 2 a ) ⋅ ( − b ) = ( 2 ⋅ 2 ) ⋅ ( − 3 ) + ( 2 ⋅ 4 ) ⋅ 5 = 2 8 , ( − a ) ⋅ ( 4 b ) = ( − 2 ) ( 4 ⋅ 3 ) + ( − 4 ) [ 4 ⋅ ( − 5 ) ] = − 2 4 + 8 0 = 5 6 .
Ví dụ 2. Cho ba véctơ a → = ( − 1 ; 4 ) \overrightarrow{a}=(-1;4) a = ( − 1 ; 4 ) b → = ( 3 ; − 2 ) \overrightarrow{b}=(3;-2) b = ( 3 ; − 2 ) c → = ( 2 x + 3 y ; x − y ) \overrightarrow{c}=(2x+3y;x-y) c = ( 2 x + 3 y ; x − y ) x x x y y y c → = a → + 2 b → \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b} c = a + 2 b
Ta có a → + 2 b → = ( − 1 + 2 ⋅ 3 ; 4 + 2 ⋅ ( − 2 ) ) = ( 5 ; 0 ) \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=(-1+2\cdot3;4+2\cdot(-2))=(5;0) a + 2 b = ( − 1 + 2 ⋅ 3 ; 4 + 2 ⋅ ( − 2 ) ) = ( 5 ; 0 )
Từ đó
c → = a → + 2 b → ⇔ { 2 x + 3 y = 5 x − y = 0 ⇔ { x = 1 y = 1. \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \begin{cases}2x+3y=5\\ x-y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\ y=1.\end{cases} c = a + 2 b ⇔ { 2 x + 3 y = 5 x − y = 0 ⇔ { x = 1 y = 1 .
Ví dụ 3.
Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc v → = ( 10 ; − 8 ) \overrightarrow{v}=(10;-8) v = ( 1 0 ; − 8 ) w → = ( 4 ; 0 ) \overrightarrow{w}=(4;0) w = ( 4 ; 0 ) v → \overrightarrow{v} v w → \overrightarrow{w} w
Ta có v → + w → = ( 10 + 4 ; − 8 + 0 ) = ( 14 ; − 8 ) . \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}= (10+4;-8+0)=(14;-8). v + w = ( 1 0 + 4 ; − 8 + 0 ) = ( 1 4 ; − 8 ) .
3. Áp dụng của tọa độ véctơ
Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của véctơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A ( x A ; y A ) A(x_A;y_A) A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) B(x_B;y_B) B ( x B ; y B ) A B → = ( x B − x A ; y B − y A ) . \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A). A B = ( x B − x A ; y B − y A ) .
Ví dụ 1. Cho ba điểm A ( 2 ; − 1 ) A(2;-1) A ( 2 ; − 1 ) B ( − 3 ; 5 ) B(-3;5) B ( − 3 ; 5 ) C ( 0 ; − 4 ) C(0;-4) C ( 0 ; − 4 ) A B → \overrightarrow{AB} A B B C → \overrightarrow{BC} B C C A → \overrightarrow{CA} C A
Ta có
A B → = ( x B − x A ; y B − y A ) = ( − 3 − 2 ; 5 + 1 ) = ( − 5 ; 6 ) , B C → = ( x C − x B ; y C − y B ) = ( 0 + 3 ; − 4 − 5 ) = ( 3 ; − 9 ) , C A → = ( x C − x A ; y C − y A ) = ( 2 − 0 ; − 1 + 4 ) = ( 2 ; 3 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(-3-2;5+1)=(-5;6),\\
&\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B;y_C-y_B)=(0+3;-4-5)=(3;-9),\\
&\overrightarrow{CA}=(x_C-x_A;y_C-y_A)=(2-0;-1+4)=(2;3).
\end{aligned} A B = ( x B − x A ; y B − y A ) = ( − 3 − 2 ; 5 + 1 ) = ( − 5 ; 6 ) , B C = ( x C − x B ; y C − y B ) = ( 0 + 3 ; − 4 − 5 ) = ( 3 ; − 9 ) , C A = ( x C − x A ; y C − y A ) = ( 2 − 0 ; − 1 + 4 ) = ( 2 ; 3 ) .
Ví dụ 2. Cho hình bình hành A B C D ABCD A B C D A ( 1 ; − 3 ) A(1;-3) A ( 1 ; − 3 ) B ( − 2 ; 0 ) B(-2;0) B ( − 2 ; 0 ) C ( 4 ; 2 ) C(4;2) C ( 4 ; 2 ) D D D
Vì A B C D ABCD A B C D
A B → = D C → ⇔ { − 2 − 1 = 4 − x D 0 + 3 = 2 − y D ⇔ { x D = 7 y D = − 1. \begin{aligned}
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2-1=4-x_D\\ 0+3=2-y_D\end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases}x_D=7\\ y_D=-1.\end{cases}
\end{aligned} A B = D C ⇔ { − 2 − 1 = 4 − x D 0 + 3 = 2 − y D ⇔ { x D = 7 y D = − 1 .
Vậy D ( 7 ; − 1 ) D(7;-1) D ( 7 ; − 1 )
Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm A ( x A ; y A ) A(x_A;y_A) A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) B(x_B;y_B) B ( x B ; y B ) M ( x M ; y M ) M(x_M;y_M) M ( x M ; y M ) A B AB A B
x M = x A + x B 2 , y M = y A + y B 2 . x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},\quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}. x M = 2 x A + x B , y M = 2 y A + y B .
Cho tam giác A B C ABC A B C A ( x A ; y A ) A(x_A;y_A) A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) B(x_B;y_B) B ( x B ; y B ) C ( x C ; y C ) C(x_C;y_C) C ( x C ; y C ) G ( x G ; y G ) G(x_G;y_G) G ( x G ; y G ) A B C ABC A B C
x G = x A + x B + x C 3 , y G = y A + y B + y C 3 . x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\quad y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}. x G = 3 x A + x B + x C , y G = 3 y A + y B + y C .
Ví dụ 3. Cho ba điểm A ( 4 ; 1 ) A(4;1) A ( 4 ; 1 ) B ( − 2 ; 5 ) B(-2;5) B ( − 2 ; 5 ) C ( 3 ; − 7 ) C(3;-7) C ( 3 ; − 7 ) M M M N N N K K K A B AB A B B C BC B C C A CA C A M M M N N N K K K
Ta có
x M = x A + x B 2 = 4 − 2 2 = 1 ; y M = y A + y B 2 = 1 + 5 2 = 3 ⇒ M ( 1 ; 3 ) , x N = x B + x C 2 = − 2 + 3 2 = 1 2 ; y N = y B + y C 2 = 5 − 7 2 = − 1 ⇒ N ( 1 2 ; − 1 ) , x K = x C + x A 2 = 3 + 4 2 = 7 2 ; y K = y C + y A 2 = − 7 + 1 2 = − 3 ⇒ K ( 7 2 ; − 3 ) . \begin{aligned}
&x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1;&& y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3&& \Rightarrow M(1;3),\\
&x_N=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{1}{2};&& y_N=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{5-7}{2}=-1&& \Rightarrow N\left(\dfrac{1}{2};-1\right),\\
&x_K=\dfrac{x_C+x_A}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\dfrac{7}{2};&& y_K=\dfrac{y_C+y_A}{2}=\dfrac{-7+1}{2}=-3&& \Rightarrow K\left(\dfrac{7}{2};-3\right).
\end{aligned} x M = 2 x A + x B = 2 4 − 2 = 1 ; x N = 2 x B + x C = 2 − 2 + 3 = 2 1 ; x K = 2 x C + x A = 2 3 + 4 = 2 7 ; y M = 2 y A + y B = 2 1 + 5 = 3 y N = 2 y B + y C = 2 5 − 7 = − 1 y K = 2 y C + y A = 2 − 7 + 1 = − 3 ⇒ M ( 1 ; 3 ) , ⇒ N ( 2 1 ; − 1 ) , ⇒ K ( 2 7 ; − 3 ) .
Ví dụ 4. Cho tam giác M N P MNP M N P M ( 5 ; − 2 ) M(5;-2) M ( 5 ; − 2 ) N ( − 1 ; 2 ) N(-1;2) N ( − 1 ; 2 ) P ( 2 ; − 3 ) P(2;-3) P ( 2 ; − 3 ) G G G M N P MNP M N P
Ta có
x G = x M + x N + x P 3 = 5 − 1 + 2 3 = 2 ; y G = y M + y N + y P 3 = − 2 + 2 − 3 3 = − 1 ⇒ G ( 2 ; − 1 ) . x_G=\dfrac{x_M+x_N+x_P}{3}=\dfrac{5-1+2}{3}=2;\quad y_G=\dfrac{y_M+y_N+y_P}{3}=\dfrac{-2+2-3}{3}=-1 \Rightarrow G\left(2;-1\right). x G = 3 x M + x N + x P = 3 5 − 1 + 2 = 2 ; y G = 3 y M + y N + y P = 3 − 2 + 2 − 3 = − 1 ⇒ G ( 2 ; − 1 ) .
Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ
Cho hai véctơ a → = ( a 1 ; a 2 ) \overrightarrow{a}=(a_1;a_2) a = ( a 1 ; a 2 ) b → = ( b 1 ; b 2 ) \overrightarrow{b}=(b_1;b_2) b = ( b 1 ; b 2 ) A ( x A ; y A ) A(x_A;y_A) A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) B(x_B;y_B) B ( x B ; y B )
∙ \bullet\quad ∙ a → ⊥ b → ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0 \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1b_1+a_2b_2=0 a ⊥ b ⇔ a 1 b 1 + a 2 b 2 = 0
∙ \bullet\quad ∙ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b ⇔ a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0 \Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_1=0 ⇔ a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0
∙ \bullet\quad ∙ ∣ a → ∣ = a 1 2 + a 2 2 \left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ = a 1 2 + a 2 2
∙ \bullet\quad ∙ A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} A B = ( x B − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
∙ \bullet\quad ∙ cos ( a → , b → ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = a 1 b 1 + a 2 b 2 a 1 2 + a 2 2 ⋅ b 1 2 + b 2 2 \cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}} cos ( a , b ) = ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ⋅ b = a 1 2 + a 2 2 ⋅ b 1 2 + b 2 2 a 1 b 1 + a 2 b 2
Ví dụ 5. Cho tam giác A B C ABC A B C A ( − 3 ; 1 ) A(-3;1) A ( − 3 ; 1 ) B ( − 1 ; − 2 ) B(-1;-2) B ( − 1 ; − 2 ) C ( 5 ; 2 ) C(5;2) C ( 5 ; 2 )
a. Tính chu vi của tam giác A B C ABC A B C
b. Chứng minh rằng tam giác A B C ABC A B C
a. Tính chu vi
A B → = ( 2 ; − 3 ) ⇒ A B = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 13 , B C → = ( 6 ; 4 ) ⇒ B C = 6 2 + 4 2 = 2 13 , A C → = ( 8 ; 1 ) ⇒ A C = 8 2 + 1 2 = 65 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(2;-3) &&\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\\
&\overrightarrow{BC}=(6;4) &&\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13},\\
&\overrightarrow{AC}=(8;1) &&\Rightarrow AC=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}.
\end{aligned} A B = ( 2 ; − 3 ) B C = ( 6 ; 4 ) A C = ( 8 ; 1 ) ⇒ A B = 2 2 + ( − 3 ) 2 = 1 3 , ⇒ B C = 6 2 + 4 2 = 2 1 3 , ⇒ A C = 8 2 + 1 2 = 6 5 .
Vậy chu vi của tam giác A B C ABC A B C C v A B C = A B + B C + A C = 13 + 2 13 + 65 ≈ 18 , 9. Cv_{ABC}=AB+BC+AC=\sqrt{13}+2\sqrt{13}+\sqrt{65}\approx 18{,}9. C v A B C = A B + B C + A C = 1 3 + 2 1 3 + 6 5 ≈ 1 8 , 9 .
b. Chứng minh tam giác A B C ABC A B C
Cách 1. (Sử dụng Pitago)
Ta có
A B 2 = ( 13 ) 2 = 13 ; B C 2 = ( 2 13 ) 2 = 52 ; A C 2 = ( 65 ) 2 = 65. AB^2=\left(\sqrt{13}\right)^2=13;\quad BC^2=\left(2\sqrt{13}\right)^2=52;\quad AC^2=\left(\sqrt{65}\right)^2=65. A B 2 = ( 1 3 ) 2 = 1 3 ; B C 2 = ( 2 1 3 ) 2 = 5 2 ; A C 2 = ( 6 5 ) 2 = 6 5 .
Nhận thấy 13 + 52 = 65 13+52=65 1 3 + 5 2 = 6 5 A B 2 + B C 2 = A C 2 AB^2+BC^2=AC^2 A B 2 + B C 2 = A C 2 A B C ABC A B C B B B
Cách 2. (Sử dụng véctơ)
Ta có A B → = ( 2 ; − 3 ) , B C → = ( 6 ; 4 ) \overrightarrow{AB}=(2;-3),\quad \overrightarrow{BC}=(6;4) A B = ( 2 ; − 3 ) , B C = ( 6 ; 4 )
Suy ra A B → ⋅ B C → = 2 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 4 = 0 ⇒ A B → ⊥ B C → \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=2\cdot 6+(-3)\cdot4=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC} A B ⋅ B C = 2 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 4 = 0 ⇒ A B ⊥ B C A B C ABC A B C B B B
Diện tích tam giác A B C ABC A B C S A B C = 1 2 A B ⋅ B C = 1 2 ⋅ 13 ⋅ 2 13 = 13. S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot2\sqrt{13}=13. S A B C = 2 1 A B ⋅ B C = 2 1 ⋅ 1 3 ⋅ 2 1 3 = 1 3 .
Ví dụ 6. Cho hai điểm A ( − 1 ; 2 ) A(-1;2) A ( − 1 ; 2 ) B ( 5 ; 4 ) B(5;4) B ( 5 ; 4 )
a. Tìm tọa độ của điểm M M M O x Ox O x A B M ABM A B M M M M
b. Tìm tọa độ của điểm N N N O y Oy O y A A A B B B N N N
a. Tìm tọa độ điểm M M M
∙ \bullet\quad ∙ M ∈ O x M\in Ox M ∈ O x M ( x ; 0 ) M(x;0) M ( x ; 0 )
∙ \bullet\quad ∙ A M → = ( x + 1 ; − 2 ) \overrightarrow{AM}=(x+1;-2) A M = ( x + 1 ; − 2 ) B M → = ( x − 5 ; − 4 ) \overrightarrow{BM}=(x-5;-4) B M = ( x − 5 ; − 4 )
∙ \bullet\quad ∙ A M → ⊥ B M → \overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{BM} A M ⊥ B M
A M → ⋅ B M → = 0 ⇔ ( x + 1 ) ( x − 5 ) + ( − 2 ) ( − 4 ) = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ; x = 3. \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0\Leftrightarrow (x+1)(x-5)+(-2)(-4)=0\Leftrightarrow x^2-4x+3=0\Leftrightarrow x=1;\ x=3. A M ⋅ B M = 0 ⇔ ( x + 1 ) ( x − 5 ) + ( − 2 ) ( − 4 ) = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ; x = 3 .
Vậy có hai điểm M M M M ( 1 ; 0 ) M(1;0) M ( 1 ; 0 ) M ( 3 ; 0 ) M(3;0) M ( 3 ; 0 )
b. Tìm tọa độ điểm N N N
∙ \bullet\quad ∙ N ∈ O y N\in Oy N ∈ O y N ( 0 ; y ) N(0;y) N ( 0 ; y )
∙ \bullet\quad ∙ A N → = ( 1 ; y − 2 ) \overrightarrow{AN}=(1;y-2) A N = ( 1 ; y − 2 ) B N → = ( − 5 ; y − 4 ) \overrightarrow{BN}=(-5;y-4) B N = ( − 5 ; y − 4 )
∙ \bullet\quad ∙ A N → \overrightarrow{AN} A N B N → \overrightarrow{BN} B N
1 ⋅ ( y − 4 ) − ( y − 2 ) ( − 5 ) = 0 ⇔ y − 4 + 5 y − 10 = 0 ⇔ 6 y − 14 = 0 ⇔ y = 7 3 . 1\cdot(y-4)-(y-2)(-5)=0\Leftrightarrow y-4+5y-10=0\Leftrightarrow 6y-14=0\Leftrightarrow y=\dfrac{7}{3}. 1 ⋅ ( y − 4 ) − ( y − 2 ) ( − 5 ) = 0 ⇔ y − 4 + 5 y − 1 0 = 0 ⇔ 6 y − 1 4 = 0 ⇔ y = 3 7 .
Vậy N ( 0 ; 7 3 ) N\left(0;\dfrac{7}{3}\right) N ( 0 ; 3 7 )
Ví dụ 7. Cho tam giác A B C ABC A B C A ( 2 ; 2 ) A(2;2) A ( 2 ; 2 ) B ( 6 ; 2 ) B(6;2) B ( 6 ; 2 ) C ( 2 ; 6 ) C(2;6) C ( 2 ; 6 )
a. Tìm tọa độ điểm H H H A B C ABC A B C A A A
b. Giải tam giác A B C ABC A B C
a. Tìm tọa độ chân đường cao H H H
∙ \bullet\quad ∙ H ( x ; y ) H(x;y) H ( x ; y )
A H → = ( x − 2 ; y − 2 ) , B H → = ( x − 6 ; y − 2 ) , B C → = ( − 4 ; 4 ) . \overrightarrow{AH}=(x-2;y-2),\ \overrightarrow{BH}=(x-6;y-2),\ \overrightarrow{BC}=(-4;4). A H = ( x − 2 ; y − 2 ) , B H = ( x − 6 ; y − 2 ) , B C = ( − 4 ; 4 ) .
∙ \bullet\quad ∙ A H → ⊥ B C → \overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC} A H ⊥ B C
( x − 2 ) ( − 4 ) + ( y − 2 ) 4 = 0 ⇔ − 4 x + 4 y = 0 ⇔ − x + y = 0. ( 1 ) \begin{aligned}
&(x-2)(-4)+(y-2)4=0\Leftrightarrow -4x+4y=0\\
\Leftrightarrow\ &-x+y=0. \quad (1)
\end{aligned} ⇔ ( x − 2 ) ( − 4 ) + ( y − 2 ) 4 = 0 ⇔ − 4 x + 4 y = 0 − x + y = 0 . ( 1 )
∙ \bullet\quad ∙ B H → \overrightarrow{BH} B H B C → \overrightarrow{BC} B C
( x − 6 ) 4 − ( y − 2 ) ( − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + 4 y − 32 = 0 ⇔ x + y − 8 = 0. ( 2 ) \begin{aligned}
&(x-6)4-(y-2)(-4)=0\Leftrightarrow 4x+4y-32=0\\
\Leftrightarrow\ &x+y-8=0.\quad (2)
\end{aligned} ⇔ ( x − 6 ) 4 − ( y − 2 ) ( − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + 4 y − 3 2 = 0 x + y − 8 = 0 . ( 2 )
Từ ( 1 ) (1) ( 1 ) ( 2 ) (2) ( 2 ) { − x + y = 0 x + y − 8 = 0 ⇔ { x = 4 y = 4 ⇒ H ( 4 ; 4 ) \begin{cases}-x+y=0\\ x+y-8=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\ y=4\end{cases}\Rightarrow H(4;4) { − x + y = 0 x + y − 8 = 0 ⇔ { x = 4 y = 4 ⇒ H ( 4 ; 4 )
b. Giải tam giác
Tính độ dài các cạnh
∙ A B → = ( 4 ; 0 ) ⇒ A B = 4 2 + 0 2 = 4 , ∙ B C → = ( − 4 ; 4 ) ⇒ B C = ( − 4 ) 2 + 4 2 = 4 2 , ∙ A C → = ( 0 ; 4 ) ⇒ A C = 0 2 + 4 2 = 4. \begin{aligned}
&\bullet\quad \overrightarrow{AB}=(4;0) && \Rightarrow AB=\sqrt{4^2+0^2}=4,\\
&\bullet\quad \overrightarrow{BC}=(-4;4) && \Rightarrow BC=\sqrt{(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2},\\
&\bullet\quad \overrightarrow{AC}=(0;4) && \Rightarrow AC=\sqrt{0^2+4^2}=4.
\end{aligned} ∙ A B = ( 4 ; 0 ) ∙ B C = ( − 4 ; 4 ) ∙ A C = ( 0 ; 4 ) ⇒ A B = 4 2 + 0 2 = 4 , ⇒ B C = ( − 4 ) 2 + 4 2 = 4 2 , ⇒ A C = 0 2 + 4 2 = 4 .
Tính số đo các góc
∙ cos A = cos ( A B → , A C → ) = A B → ⋅ A C → A B ⋅ A C = 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 4 ⋅ 4 = 0 ⇒ A ^ = 9 0 ∘ , ∙ cos B = cos ( B A → , B C → ) = B A → ⋅ B C → B A ⋅ B C = ( − 4 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 ⋅ 4 4 ⋅ 4 2 = 2 2 ⇒ B ^ = 4 5 ∘ , ∙ ⇒ C ^ = 9 0 ∘ − B ^ = 4 5 ∘ . \begin{aligned}
&\bullet\quad \cos A=\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}= \dfrac{4\cdot0 + 0\cdot4}{4\cdot 4}=0 && \Rightarrow \widehat{A}=90^\circ,\\
&\bullet\quad \cos B=\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}= \dfrac{(-4)\cdot(-4) + 0\cdot4}{4\cdot 4\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} && \Rightarrow \widehat{B}=45^\circ,\\
&\bullet\quad \Rightarrow \widehat{C}=90^\circ-\widehat{B}=45^\circ.
\end{aligned} ∙ cos A = cos ( A B , A C ) = A B ⋅ A C A B ⋅ A C = 4 ⋅ 4 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 = 0 ∙ cos B = cos ( B A , B C ) = B A ⋅ B C B A ⋅ B C = 4 ⋅ 4 2 ( − 4 ) ⋅ ( − 4 ) + 0 ⋅ 4 = 2 2 ∙ ⇒ C = 9 0 ∘ − B = 4 5 ∘ . ⇒ A = 9 0 ∘ , ⇒ B = 4 5 ∘ ,
BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định tọa độ của điểm, tọa độ của véctơ
Ví dụ 1. Trên trục ( O , e → ) (O,\overrightarrow{e}) ( O , e ) A A A B B B C C C D D D 4 4 4 − 1 -1 − 1 − 5 -5 − 5 0 0 0
a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục đó.
b. Hai véctơ A B → \overrightarrow{AB} A B C D → \overrightarrow{CD} C D
a. Vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục đó.
b. Hai véctơ A B → \overrightarrow{AB} A B C D → \overrightarrow{CD} C D
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng O x y Oxy O x y A ( 3 ; 4 ) A(3;4) A ( 3 ; 4 ) B ( − 2 ; 0 ) B(-2;0) B ( − 2 ; 0 ) C ( − 1 ; − 2 ) C(-1;-2) C ( − 1 ; − 2 ) D ( 4 ; − 4 ) D(4;-4) D ( 4 ; − 4 ) E ( 0 ; − 3 ) E(0;-3) E ( 0 ; − 3 ) F ( 2 ; 2 ) F(2;2) F ( 2 ; 2 )
a. Biểu diễn các điểm đã cho trên mặt phẳng O x y Oxy O x y
b. Trong các điểm đã cho, tìm điểm thuộc trục hoành, điểm thuộc trục tung, điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
a. Biểu diễn các điểm đã cho trên mặt phẳng O x y Oxy O x y
b. Tìm điểm thuộc trục hoành, điểm thuộc trục tung, điểm thuộc đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
∙ \bullet\quad ∙ B B B
∙ \bullet\quad ∙ E E E
∙ \bullet\quad ∙ F F F
Ví dụ 3. Trên mặt phẳng O x y Oxy O x y a → = 2 i → + 5 j → \overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j} a = 2 i + 5 j b → = − i → + 3 j → \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j} b = − i + 3 j c → = − 5 i → \overrightarrow{c}=-5\overrightarrow{i} c = − 5 i d → = − 3 j → \overrightarrow{d}=-3\overrightarrow{j} d = − 3 j v → = 2 i → − 3 j → \overrightarrow{v}=\sqrt{2}\overrightarrow{i}-\sqrt{3}\overrightarrow{j} v = 2 i − 3 j
a → = 2 i → + 5 j → ⇒ a → = ( 2 ; 5 ) , b → = − i → + 3 j → ⇒ b → = ( − 1 ; 3 ) , c → = − 5 i → ⇒ c → = ( − 5 ; 0 ) , d → = − 3 j → ⇒ d → = ( 0 ; − 3 ) , v → = 2 i → − 3 j → ⇒ v → = ( 2 ; − 3 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j} &&\Rightarrow \overrightarrow{a}=(2;5),\\
&\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j} &&\Rightarrow \overrightarrow{b}=(-1;3),\\
&\overrightarrow{c}=-5\overrightarrow{i} &&\Rightarrow \overrightarrow{c}=(-5;0),\\
&\overrightarrow{d}=-3\overrightarrow{j} &&\Rightarrow \overrightarrow{d}=(0;-3),\\
&\overrightarrow{v}=\sqrt{2}\overrightarrow{i}-\sqrt{3}\overrightarrow{j} &&\Rightarrow \overrightarrow{v}=(\sqrt{2};-\sqrt{3}).
\end{aligned} a = 2 i + 5 j b = − i + 3 j c = − 5 i d = − 3 j v = 2 i − 3 j ⇒ a = ( 2 ; 5 ) , ⇒ b = ( − 1 ; 3 ) , ⇒ c = ( − 5 ; 0 ) , ⇒ d = ( 0 ; − 3 ) , ⇒ v = ( 2 ; − 3 ) .
Ví dụ 4. Trên mặt phẳng O x y Oxy O x y A A A B B B C C C O A → = − i → + 2 j → \overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j} O A = − i + 2 j O B → = i → − 5 j → \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j} O B = i − 5 j O C → = − j → \overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{j} O C = − j
O A → = − i → + 2 j → ⇒ A ( − 1 ; 2 ) , O B → = i → − 5 j → ⇒ B ( 1 ; − 5 ) , O C → = − j → ⇒ C ( 0 ; − 1 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j} &&\Rightarrow A(-1;2),\\
&\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j} &&\Rightarrow B(1;-5),\\
&\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{j} &&\Rightarrow C(0;-1).
\end{aligned} O A = − i + 2 j O B = i − 5 j O C = − j ⇒ A ( − 1 ; 2 ) , ⇒ B ( 1 ; − 5 ) , ⇒ C ( 0 ; − 1 ) .
Ví dụ 5. Trên mặt phẳng O x y Oxy O x y M ( x 0 ; y 0 ) M(x_0;y_0) M ( x 0 ; y 0 )
a. Điểm H H H M M M O x Ox O x
b. Điểm M 1 M_1 M 1 M M M O x Ox O x
c. Điểm K K K M M M O y Oy O y
d. Điểm M 2 M_2 M 2 M M M O y Oy O y
e. Điểm C C C M M M O O O
Tọa độ của các điểm như sau:
∙ \bullet\quad ∙ H ( x 0 ; 0 ) H(x_0;0) H ( x 0 ; 0 )
∙ \bullet\quad ∙ M 1 ( x 0 ; y 0 ) M_1(x_0;y_0) M 1 ( x 0 ; y 0 )
∙ \bullet\quad ∙ K ( 0 ; y 0 ) K(0;y_0) K ( 0 ; y 0 )
∙ \bullet\quad ∙ M 2 ( − x 0 ; y 0 ) M_2(-x_0;y_0) M 2 ( − x 0 ; y 0 )
∙ \bullet\quad ∙ C ( − x 0 ; − y 0 ) C(-x_0;-y_0) C ( − x 0 ; − y 0 )
Ví dụ 6. Cho tam giác A B C ABC A B C A ( − 3 ; 4 ) A(-3;4) A ( − 3 ; 4 ) B ( 5 ; − 2 ) B(5;-2) B ( 5 ; − 2 ) C ( 1 ; 7 ) C(1;7) C ( 1 ; 7 )
a. Tìm tọa độ của các điểm M M M N N N A B AB A B A C AC A C
b. Tìm tọa độ của trọng tâm G G G A B C ABC A B C
a. Tìm tọa độ điểm M M M N N N
x M = x A + x B 2 = − 3 + 5 2 = 1 ; y M = y A + y B 2 = 4 − 2 2 = 1 ⇒ M ( 1 ; 1 ) , x N = x A + x C 2 = − 3 + 1 2 = − 1 ; y N = y A + y C 2 = 4 + 7 2 = 11 2 ⇒ N ( 1 ; 11 2 ) . \begin{aligned}
&x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{-3+5}{2}=1;\ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{4-2}{2}=1 &&\Rightarrow M(1;1),\\
&x_N=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1;\ y_N=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4+7}{2}=\dfrac{11}{2} &&\Rightarrow N\left(1;\dfrac{11}{2}\right).
\end{aligned} x M = 2 x A + x B = 2 − 3 + 5 = 1 ; y M = 2 y A + y B = 2 4 − 2 = 1 x N = 2 x A + x C = 2 − 3 + 1 = − 1 ; y N = 2 y A + y C = 2 4 + 7 = 2 1 1 ⇒ M ( 1 ; 1 ) , ⇒ N ( 1 ; 2 1 1 ) .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G G G A B C ABC A B C
x G = x A + x B + x C 3 = − 3 + 5 + 1 3 = 1 ; y G = y A + y B + y C 3 = 4 − 2 + 7 3 = 3 ⇒ G ( 1 ; 3 ) . \begin{aligned}
&x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{-3+5+1}{3}=1;\ y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{4-2+7}{3}=3 \Rightarrow G(1;3).
\end{aligned} x G = 3 x A + x B + x C = 3 − 3 + 5 + 1 = 1 ; y G = 3 y A + y B + y C = 3 4 − 2 + 7 = 3 ⇒ G ( 1 ; 3 ) .
Ví dụ 7. Cho ba véctơ a → = ( − 6 ; 2 ) \overrightarrow{a}=(-6;2) a = ( − 6 ; 2 ) b → = ( 3 ; − 1 ) \overrightarrow{b}=(3;-1) b = ( 3 ; − 1 ) c → = ( 1 ; 3 ) \overrightarrow{c}=(1;3) c = ( 1 ; 3 )
a. Chứng minh rằng hai véctơ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
b. Chứng minh rằng hai véctơ a → \overrightarrow{a} a c → \overrightarrow{c} c
a. Chứng minh rằng hai véctơ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
Ta có a → = ( − 6 ; 2 ) = − 2 ( 3 ; − 1 ) ⇒ a → = − 2 b → \overrightarrow{a}=(-6;2)=-2(3;-1)\Rightarrow \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b} a = ( − 6 ; 2 ) = − 2 ( 3 ; − 1 ) ⇒ a = − 2 b a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
b. Chứng minh rằng hai véctơ a → \overrightarrow{a} a c → \overrightarrow{c} c
Ta có a → ⋅ c → = ( − 6 ) 1 + 2 ⋅ 3 = 0 ⇒ a → ⊥ c → \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=(-6)1+2\cdot3=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c} a ⋅ c = ( − 6 ) 1 + 2 ⋅ 3 = 0 ⇒ a ⊥ c
Ví dụ 8. Chứng minh rằng:
a. a → = ( 4 ; − 6 ) \overrightarrow{a}=(4;-6) a = ( 4 ; − 6 ) b → = ( − 2 ; 3 ) \overrightarrow{b}=(-2;3) b = ( − 2 ; 3 )
b. a → = ( − 2 ; 3 ) \overrightarrow{a}=(-2;3) a = ( − 2 ; 3 ) b → = ( − 8 ; 12 ) \overrightarrow{b}=(-8;12) b = ( − 8 ; 1 2 )
c. a → = ( 0 ; 4 ) \overrightarrow{a}=(0;4) a = ( 0 ; 4 ) b → = ( 0 ; − 4 ) \overrightarrow{b}=(0;-4) b = ( 0 ; − 4 )
d. a → = ( 1 ; − 3 ) \overrightarrow{a}=(1;-3) a = ( 1 ; − 3 ) b → = ( 6 ; 2 ) \overrightarrow{b}=(6;2) b = ( 6 ; 2 )
a. a → = ( 4 ; − 6 ) \overrightarrow{a}=(4;-6) a = ( 4 ; − 6 ) b → = ( − 2 ; 3 ) \overrightarrow{b}=(-2;3) b = ( − 2 ; 3 )
Ta có ( 4 ; − 6 ) = − 2 ( − 2 ; 3 ) ⇒ a → = − 2 b → (4;-6)=-2(-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b} ( 4 ; − 6 ) = − 2 ( − 2 ; 3 ) ⇒ a = − 2 b a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
b. a → = ( − 2 ; 3 ) \overrightarrow{a}=(-2;3) a = ( − 2 ; 3 ) b → = ( − 8 ; 12 ) \overrightarrow{b}=(-8;12) b = ( − 8 ; 1 2 )
Ta có ( − 8 ; 12 ) = 4 ( − 2 ; 3 ) ⇒ b → = 4 a → (-8;12)=4(-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{b}=4\overrightarrow{a} ( − 8 ; 1 2 ) = 4 ( − 2 ; 3 ) ⇒ b = 4 a a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
c. a → = ( 0 ; 4 ) \overrightarrow{a}=(0;4) a = ( 0 ; 4 ) b → = ( 0 ; − 4 ) \overrightarrow{b}=(0;-4) b = ( 0 ; − 4 )
Ta có a → + b → = ( 0 + 0 ; 4 − 4 ) = ( 0 ; 0 ) = 0 → \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(0+0;4-4)=(0;0)=\overrightarrow{0} a + b = ( 0 + 0 ; 4 − 4 ) = ( 0 ; 0 ) = 0 a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
d. a → = ( 1 ; − 3 ) \overrightarrow{a}=(1;-3) a = ( 1 ; − 3 ) b → = ( 6 ; 2 ) \overrightarrow{b}=(6;2) b = ( 6 ; 2 )
Ta có a → ⋅ b → = 1 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 2 = 0 ⇒ a → ⊥ b → \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot6+(-3)\cdot2=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b} a ⋅ b = 1 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 2 = 0 ⇒ a ⊥ b
Dạng 2. Toán liên quan đến độ dài véctơ và góc giữa hai véctơ
Ví dụ 1. Cho hai véctơ a → = ( 4 ; 2 ) \overrightarrow{a}=(4;2) a = ( 4 ; 2 ) b → = ( 6 ; − 2 ) \overrightarrow{b}=(6;-2) b = ( 6 ; − 2 )
a. Tính độ dài của các véctơ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
b. Tính góc giữa hai véctơ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
a. Tính độ dài
a → = ( 4 ; 2 ) ⇒ ∣ a → ∣ = 4 2 + 2 2 = 2 5 , b → = ( 6 ; − 2 ) ⇒ ∣ b → ∣ = 6 2 + ( − 2 ) 2 = 2 10 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{a}=(4;2)&& \Rightarrow\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5},\\
&\overrightarrow{b}=(6;-2)&& \Rightarrow\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{6^2+(-2)^2}=2\sqrt{10}.
\end{aligned} a = ( 4 ; 2 ) b = ( 6 ; − 2 ) ⇒ ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ = 4 2 + 2 2 = 2 5 , ⇒ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ = 6 2 + ( − 2 ) 2 = 2 1 0 .
b. Tính góc
cos ( a → , b → ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = 4 ⋅ 6 + 2 ⋅ ( − 2 ) 2 5 ⋅ 2 10 = 2 2 ⇒ ( a → , b → ) = 4 5 ∘ . \begin{aligned}
&\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|} = \dfrac{4\cdot 6+2\cdot(-2)}{2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= 45^\circ.
\end{aligned} cos ( a , b ) = ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ⋅ b = 2 5 ⋅ 2 1 0 4 ⋅ 6 + 2 ⋅ ( − 2 ) = 2 2 ⇒ ( a , b ) = 4 5 ∘ .
Ví dụ 2. Tính góc giữa hai véctơ a → \overrightarrow{a} a b → \overrightarrow{b} b
a. a → = ( 2 ; − 3 ) \overrightarrow{a}=(2;-3) a = ( 2 ; − 3 ) b → = ( 6 ; 4 ) \overrightarrow{b}=(6;4) b = ( 6 ; 4 )
b. a → = ( 3 ; 2 ) \overrightarrow{a}=(3;2) a = ( 3 ; 2 ) b → = ( 5 ; − 1 ) \overrightarrow{b}=(5;-1) b = ( 5 ; − 1 )
c. a → = ( − 2 ; − 2 3 ) \overrightarrow{a}=(-2;-2\sqrt{3}) a = ( − 2 ; − 2 3 ) b → = ( 3 ; 3 ) \overrightarrow{b}=(3;\sqrt{3}) b = ( 3 ; 3 )
a. Tính góc giữa hai véctơ a → = ( 2 ; − 3 ) \overrightarrow{a}=(2;-3) a = ( 2 ; − 3 ) b → = ( 6 ; 4 ) \overrightarrow{b}=(6;4) b = ( 6 ; 4 )
cos ( a → , b → ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = 2 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 4 2 2 + ( − 3 ) 2 ⋅ 6 2 + 4 2 = 0 ⇒ ( a → , b → ) = 9 0 ∘ . \begin{aligned}
&\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|} = \dfrac{2\cdot 6+(-3)\cdot 4}{\sqrt{2^2+(-3)^2}\cdot\sqrt{6^2+4^2}}=0 &&\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= 90^\circ.
\end{aligned} cos ( a , b ) = ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ⋅ b = 2 2 + ( − 3 ) 2 ⋅ 6 2 + 4 2 2 ⋅ 6 + ( − 3 ) ⋅ 4 = 0 ⇒ ( a , b ) = 9 0 ∘ .
b. Tính góc giữa hai véctơ a → = ( 3 ; 2 ) \overrightarrow{a}=(3;2) a = ( 3 ; 2 ) b → = ( 5 ; − 1 ) \overrightarrow{b}=(5;-1) b = ( 5 ; − 1 )
cos ( a → , b → ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( − 1 ) 3 2 + 2 2 ⋅ 5 2 + ( − 1 ) 2 = 2 2 ⇒ ( a → , b → ) = 4 5 ∘ . \begin{aligned}
&\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|} = \dfrac{3\cdot5+2\cdot(-1)}{\sqrt{3^2+2^2}\cdot\sqrt{5^2+(-1)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} &&\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= 45^\circ.
\end{aligned} cos ( a , b ) = ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ⋅ b = 3 2 + 2 2 ⋅ 5 2 + ( − 1 ) 2 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( − 1 ) = 2 2 ⇒ ( a , b ) = 4 5 ∘ .
c. Tính góc giữa hai véctơ a → = ( − 2 ; − 2 3 ) \overrightarrow{a}=(-2;-2\sqrt{3}) a = ( − 2 ; − 2 3 ) b → = ( 3 ; 3 ) \overrightarrow{b}=(3;\sqrt{3}) b = ( 3 ; 3 )
cos ( a → , b → ) = a → ⋅ b → ∣ a → ∣ ⋅ ∣ b → ∣ = ( − 2 ) ⋅ 3 + ( − 2 3 ) ⋅ 3 ( − 2 ) 2 + ( − 2 3 ) 2 ⋅ 3 2 + ( 3 ) 2 = − 3 2 ⇒ ( a → , b → ) = 15 0 ∘ . \begin{aligned}
&\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= \dfrac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|} = \dfrac{(-2)\cdot3+(-2\sqrt{3})\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{(-2)^2+(-2\sqrt{3})^2}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)= 150^\circ.
\end{aligned} cos ( a , b ) = ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ ∣ ∣ a ⋅ b = ( − 2 ) 2 + ( − 2 3 ) 2 ⋅ 3 2 + ( 3 ) 2 ( − 2 ) ⋅ 3 + ( − 2 3 ) ⋅ 3 = − 2 3 ⇒ ( a , b ) = 1 5 0 ∘ .
Ví dụ 3. Cho tam giác A B C ABC A B C A ( 2 ; 1 ) A(2;1) A ( 2 ; 1 ) B ( − 4 ; 3 ) B(-4;3) B ( − 4 ; 3 ) C ( 4 ; − 3 ) C(4;-3) C ( 4 ; − 3 )
a. Tính độ dài các cạnh A B AB A B A C AC A C
b. Tính số đo của góc A ^ \widehat{A} A
c. Tính diện tích tam giác A B C ABC A B C
a. Tính độ dài A B AB A B A C AC A C
A B → = ( − 6 ; 2 ) ⇒ A B = ( − 6 ) 2 + 2 2 = 2 10 , A C → = ( 2 ; − 4 ) ⇒ A C = 2 2 + ( − 4 ) 2 = 2 5 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(-6;2) &&\Rightarrow AB=\sqrt{(-6)^2+2^2}=2\sqrt{10},\\
&\overrightarrow{AC}=(2;-4) &&\Rightarrow AC=\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}.
\end{aligned} A B = ( − 6 ; 2 ) A C = ( 2 ; − 4 ) ⇒ A B = ( − 6 ) 2 + 2 2 = 2 1 0 , ⇒ A C = 2 2 + ( − 4 ) 2 = 2 5 .
b. Tính số đo của góc A ^ \widehat{A} A
cos A = cos ( A B → , A C → ) = A B → ⋅ A C → ∣ A B → ∣ ⋅ ∣ A C → ∣ = ( − 6 ) 2 + 2 ( − 4 ) 2 10 ⋅ 2 5 = − 2 2 ⇒ A ^ = 13 5 ∘ . \begin{aligned}
\cos A=\ &\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AC}\right|}\\ =\ &\dfrac{(-6)2+2(-4)}{2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{5}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\
\Rightarrow \widehat{A}=\ &135^\circ.
\end{aligned} cos A = = ⇒ A = cos ( A B , A C ) = ∣ ∣ ∣ ∣ A B ∣ ∣ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ A C ∣ ∣ ∣ ∣ A B ⋅ A C 2 1 0 ⋅ 2 5 ( − 6 ) 2 + 2 ( − 4 ) = − 2 2 1 3 5 ∘ .
c. Tính diện tích tam giác A B C ABC A B C
S A B C = 1 2 A B ⋅ A C sin A = 1 2 ⋅ 2 10 ⋅ 2 5 ⋅ sin 13 5 ∘ = 10. S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{5}\cdot\sin135^\circ=10. S A B C = 2 1 A B ⋅ A C sin A = 2 1 ⋅ 2 1 0 ⋅ 2 5 ⋅ sin 1 3 5 ∘ = 1 0 .
Ví dụ 4. Cho ba điểm A ( 2 ; 2 ) A(2;2) A ( 2 ; 2 ) B ( 3 ; 5 ) B(3;5) B ( 3 ; 5 ) C ( 5 ; 5 ) C(5;5) C ( 5 ; 5 )
a. Tìm tọa độ điểm D D D A B C D ABCD A B C D
b. Tìm tọa độ giao điểm I I I A B C D ABCD A B C D
c. Giải tam giác A B C ABC A B C
a. Tìm tọa độ điểm D D D A B C D ABCD A B C D
Do A B C D ABCD A B C D
A B → = D C → ⇔ { x B − x A = x C − x D y B − y A = y C − y D ⇔ { 3 − 2 = 5 − x D 5 − 2 = 5 − y D ⇔ { x D = 4 y D = 2 ⇒ D ( 4 ; 2 ) . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \begin{cases}x_B-x_A=x_C-x_D\\ y_B-y_A=y_C-y_D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3-2=5-x_D\\ 5-2=5-y_D\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}x_D=4\\ y_D=2\end{cases}\Rightarrow D(4;2).
\end{aligned} A B = D C ⇔ { x B − x A = x C − x D y B − y A = y C − y D ⇔ { 3 − 2 = 5 − x D 5 − 2 = 5 − y D ⇔ { x D = 4 y D = 2 ⇒ D ( 4 ; 2 ) .
b. Tìm tọa độ giao điểm I I I A B C D ABCD A B C D
Vì I I I I I I A C AC A C x I = x A + x C 2 = 2 + 5 2 = 7 2 ; y I = y A + y C 2 = 2 + 5 2 = 7 2 ⇒ I ( 7 2 ; 7 2 ) . x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac{7}{2};\ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac{7}{2}\Rightarrow I\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2}\right). x I = 2 x A + x C = 2 2 + 5 = 2 7 ; y I = 2 y A + y C = 2 2 + 5 = 2 7 ⇒ I ( 2 7 ; 2 7 ) .
c. Giải tam giác A B C ABC A B C
Độ dài các cạnh
A B → = ( 1 ; 3 ) ⇒ A B = 1 2 + 3 2 = 10 , B C → = ( 2 ; 0 ) ⇒ B C = 2 2 + 0 2 = 2 , A C → = ( 3 ; 3 ) ⇒ A C = 3 2 + 3 2 = 3 2 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(1;3)&&\Rightarrow AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10},\\
&\overrightarrow{BC}=(2;0)&&\Rightarrow BC=\sqrt{2^2+0^2}=2,\\
&\overrightarrow{AC}=(3;3)&&\Rightarrow AC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.
\end{aligned} A B = ( 1 ; 3 ) B C = ( 2 ; 0 ) A C = ( 3 ; 3 ) ⇒ A B = 1 2 + 3 2 = 1 0 , ⇒ B C = 2 2 + 0 2 = 2 , ⇒ A C = 3 2 + 3 2 = 3 2 .
Số đo các góc
cos A = cos ( A B → , A C → ) = A B → ⋅ A C → A B ⋅ A C = 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 10 ⋅ 3 2 = 2 5 5 ⇒ A ^ ≈ 2 7 ∘ , cos B = cos ( B A → , B C → ) = B A → ⋅ B C → B A ⋅ B C = ( − 1 ) ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ 0 10 ⋅ 2 = − 10 10 ⇒ B ^ ≈ 10 8 ∘ , ⇒ C ^ = 18 0 ∘ − ( A ^ + B ^ ) ≈ 4 5 ∘ . \begin{aligned}
&\cos A=\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\dfrac{1\cdot3+3\cdot3}{\sqrt{10}\cdot3\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}&&\Rightarrow \widehat{A}\approx 27^\circ,\\
&\cos B=\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\dfrac{(-1)\cdot2+(-3)\cdot0}{\sqrt{10}\cdot2}=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}&&\Rightarrow \widehat{B}\approx 108^\circ,\\
&\Rightarrow \widehat{C}=180^\circ-(\widehat{A}+\widehat{B})\approx 45^\circ.
\end{aligned} cos A = cos ( A B , A C ) = A B ⋅ A C A B ⋅ A C = 1 0 ⋅ 3 2 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = 5 2 5 cos B = cos ( B A , B C ) = B A ⋅ B C B A ⋅ B C = 1 0 ⋅ 2 ( − 1 ) ⋅ 2 + ( − 3 ) ⋅ 0 = − 1 0 1 0 ⇒ C = 1 8 0 ∘ − ( A + B ) ≈ 4 5 ∘ . ⇒ A ≈ 2 7 ∘ , ⇒ B ≈ 1 0 8 ∘ ,
Ví dụ 5. Cho tam giác A B C ABC A B C A ( − 1 ; 3 ) A(-1;3) A ( − 1 ; 3 ) B ( − 2 ; − 2 ) B(-2;-2) B ( − 2 ; − 2 ) M ( 2 ; − 1 ) M(2;-1) M ( 2 ; − 1 ) B C BC B C
a. Tìm tọa độ đỉnh C C C
b. Tính độ dài các cạnh của tam giác A B C ABC A B C
a. Tìm tọa độ đỉnh C C C
Do M M M B C BC B C
x M = x B + x C 2 ⇒ x C = 2 x M − x B = 2 ⋅ 2 + 2 = 6 , y M = y B + y C 2 ⇒ y C = 2 y M − y B = 2 ⋅ ( − 1 ) + 2 = 0. \begin{aligned}
&x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}\Rightarrow x_C=2x_M-x_B=2\cdot2+2=6,\\
&y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}\Rightarrow y_C=2y_M-y_B=2\cdot(-1)+2=0.
\end{aligned} x M = 2 x B + x C ⇒ x C = 2 x M − x B = 2 ⋅ 2 + 2 = 6 , y M = 2 y B + y C ⇒ y C = 2 y M − y B = 2 ⋅ ( − 1 ) + 2 = 0 .
Vậy C ( 6 ; 0 ) C(6;0) C ( 6 ; 0 )
b. Tính độ dài các cạnh của tam giác A B C ABC A B C
A B → = ( − 1 ; − 5 ) ⇒ A B = ( − 1 ) 2 + ( − 5 ) 2 = 26 , B C → = ( 8 ; 2 ) ⇒ B C = ( 8 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 17 , A C → = ( 7 ; − 3 ) ⇒ A B = ( 7 ) 2 + ( − 3 ) 2 = 58 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(-1;-5)&&\Rightarrow AB=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{26},\\
&\overrightarrow{BC}=(8;2)&&\Rightarrow BC=\sqrt{(8)^2+(2)^2}=2\sqrt{17},\\
&\overrightarrow{AC}=(7;-3)&&\Rightarrow AB=\sqrt{(7)^2+(-3)^2}=\sqrt{58}.
\end{aligned} A B = ( − 1 ; − 5 ) B C = ( 8 ; 2 ) A C = ( 7 ; − 3 ) ⇒ A B = ( − 1 ) 2 + ( − 5 ) 2 = 2 6 , ⇒ B C = ( 8 ) 2 + ( 2 ) 2 = 2 1 7 , ⇒ A B = ( 7 ) 2 + ( − 3 ) 2 = 5 8 .
Ví dụ 6. Cho tam giác A B C ABC A B C M ( 2 ; 2 ) M(2;2) M ( 2 ; 2 ) N ( 3 ; 4 ) N(3;4) N ( 3 ; 4 ) P ( 5 ; 3 ) P(5;3) P ( 5 ; 3 ) A B AB A B B C BC B C C A CA C A
a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A B C ABC A B C
b. Chứng minh trọng tâm của các tam giác A B C ABC A B C M N P MNP M N P
c. Giải tam giác A B C ABC A B C
a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A B C ABC A B C
Ta có
x A + x B 2 = x M ⇔ x A + x B = 2 x M ⇔ x A + x B = 4 , x B + x C 2 = x N ⇔ x B + x C = 2 x N ⇔ x B + x C = 6 , x A + x C 2 = x P ⇔ x A + x C = 2 x P ⇔ x A + x C = 10. \begin{aligned}
&\dfrac{x_A+x_B}{2}=x_M\Leftrightarrow x_A+x_B=2x_M\Leftrightarrow x_A+x_B=4,\\
&\dfrac{x_B+x_C}{2}=x_N\Leftrightarrow x_B+x_C=2x_N\Leftrightarrow x_B+x_C=6,\\
&\dfrac{x_A+x_C}{2}=x_P\Leftrightarrow x_A+x_C=2x_P\Leftrightarrow x_A+x_C=10.
\end{aligned} 2 x A + x B = x M ⇔ x A + x B = 2 x M ⇔ x A + x B = 4 , 2 x B + x C = x N ⇔ x B + x C = 2 x N ⇔ x B + x C = 6 , 2 x A + x C = x P ⇔ x A + x C = 2 x P ⇔ x A + x C = 1 0 .
Giải hệ gồm ba phương trình trên ta được x A = 4 x_A=4 x A = 4 x B = 0 x_B=0 x B = 0 x C = 6 x_C=6 x C = 6
Tương tự
y A + y B 2 = y M ⇔ y A + y B = 2 y M ⇔ y A + y B = 4 , y B + y C 2 = y N ⇔ y B + y C = 2 y N ⇔ y B + y C = 8 , y A + y C 2 = y P ⇔ y A + y C = 2 y P ⇔ y A + y C = 6. \begin{aligned}
&\dfrac{y_A+y_B}{2}=y_M\Leftrightarrow y_A+y_B=2y_M\Leftrightarrow y_A+y_B=4,\\
&\dfrac{y_B+y_C}{2}=y_N\Leftrightarrow y_B+y_C=2y_N\Leftrightarrow y_B+y_C=8,\\
&\dfrac{y_A+y_C}{2}=y_P\Leftrightarrow y_A+y_C=2y_P\Leftrightarrow y_A+y_C=6.
\end{aligned} 2 y A + y B = y M ⇔ y A + y B = 2 y M ⇔ y A + y B = 4 , 2 y B + y C = y N ⇔ y B + y C = 2 y N ⇔ y B + y C = 8 , 2 y A + y C = y P ⇔ y A + y C = 2 y P ⇔ y A + y C = 6 .
Giải hệ gồm ba phương trình trên ta được y A = 1 y_A=1 y A = 1 y B = 3 y_B=3 y B = 3 y C = 5 y_C=5 y C = 5
Vậy tọa độ các đỉnh là A ( 4 ; 1 ) A(4;1) A ( 4 ; 1 ) B ( 0 ; 3 ) B(0;3) B ( 0 ; 3 ) C ( 6 ; 5 ) C(6;5) C ( 6 ; 5 )
b. Chứng minh trọng tâm của các tam giác A B C ABC A B C M N P MNP M N P
∙ \bullet\quad ∙ G G G A B C ABC A B C
x G = x A + x B + x C 3 = 4 + 0 + 6 3 = 10 3 ; y G = y A + y B + y C 3 = 1 + 3 + 5 3 = 3 ⇒ G ( 10 3 ; 3 ) . \begin{aligned}
&x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=\dfrac{4+0+6}{3}=\dfrac{10}{3};\ y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{1+3+5}{3}=3 \Rightarrow G\left(\dfrac{10}{3};3\right).
\end{aligned} x G = 3 x A + x B + x C = 3 4 + 0 + 6 = 3 1 0 ; y G = 3 y A + y B + y C = 3 1 + 3 + 5 = 3 ⇒ G ( 3 1 0 ; 3 ) .
∙ \bullet\quad ∙ G ′ G' G ′ M N P MNP M N P
x G ′ = x M + x N + x P 3 = 2 + 3 + 5 3 = 10 3 ; y G ′ = y M + y N + y P 3 = 2 + 4 + 3 3 = 3 ⇒ G ′ ( 10 3 ; 3 ) . \begin{aligned}
&x_G'=\dfrac{x_M+x_N+x_P}{3}=\dfrac{2+3+5}{3}=\dfrac{10}{3};\ y_G'=\dfrac{y_M+y_N+y_P}{3}=\dfrac{2+4+3}{3}=3 \Rightarrow G'\left(\dfrac{10}{3};3\right).
\end{aligned} x G ′ = 3 x M + x N + x P = 3 2 + 3 + 5 = 3 1 0 ; y G ′ = 3 y M + y N + y P = 3 2 + 4 + 3 = 3 ⇒ G ′ ( 3 1 0 ; 3 ) .
Suy ra G ′ ≡ G G'\equiv G G ′ ≡ G A B C ABC A B C M N P MNP M N P
c. Giải tam giác A B C ABC A B C
Tính độ dài các cạnh
A B → = ( − 4 ; 2 ) ⇒ A B = ( − 4 ) 2 + 2 2 = 2 5 , B C → = ( 6 ; 2 ) ⇒ B C = ( 6 ) 2 + 2 2 = 2 10 , A C → = ( 2 ; 4 ) ⇒ A C = ( 2 ) 2 + 4 2 = 2 5 . \begin{aligned}
&\overrightarrow{AB}=(-4;2)&&\Rightarrow AB=\sqrt{(-4)^2+2^2}=2\sqrt{5},\\
&\overrightarrow{BC}=(6;2)&&\Rightarrow BC=\sqrt{(6)^2+2^2}=2\sqrt{10},\\
&\overrightarrow{AC}=(2;4)&&\Rightarrow AC=\sqrt{(2)^2+4^2}=2\sqrt{5}.
\end{aligned} A B = ( − 4 ; 2 ) B C = ( 6 ; 2 ) A C = ( 2 ; 4 ) ⇒ A B = ( − 4 ) 2 + 2 2 = 2 5 , ⇒ B C = ( 6 ) 2 + 2 2 = 2 1 0 , ⇒ A C = ( 2 ) 2 + 4 2 = 2 5 .
Tính số đo các góc
cos A = cos ( A B → , A C → ) = A B → ⋅ A C → A B ⋅ A C = ( − 4 ) 2 + 2 ⋅ 4 2 5 ⋅ 2 5 = 0 ⇒ A ^ = 9 0 ∘ , cos B = cos ( B A → , B C → ) = B A → ⋅ B C → B A ⋅ B C = ( 4 ) 6 + ( − 2 ) ⋅ 2 2 5 ⋅ 2 10 = 2 2 ⇒ B ^ = 4 5 ∘ , C ^ = A ^ − B ^ = 4 5 ∘ . \begin{aligned}
&\cos A=\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\dfrac{(-4)2+2\cdot4}{2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}}=0&&\Rightarrow \widehat{A}=90^\circ,\\
&\cos B=\cos\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\dfrac{(4)6+(-2)\cdot2}{2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}&&\Rightarrow \widehat{B}=45^\circ,\\
&\widehat{C}=\widehat{A}-\widehat{B}=45^\circ.
\end{aligned} cos A = cos ( A B , A C ) = A B ⋅ A C A B ⋅ A C = 2 5 ⋅ 2 5 ( − 4 ) 2 + 2 ⋅ 4 = 0 cos B = cos ( B A , B C ) = B A ⋅ B C B A ⋅ B C = 2 5 ⋅ 2 1 0 ( 4 ) 6 + ( − 2 ) ⋅ 2 = 2 2 C = A − B = 4 5 ∘ . ⇒ A = 9 0 ∘ , ⇒ B = 4 5 ∘ ,
Ví dụ 7. Cho hai điểm A ( 1 ; 3 ) A(1;3) A ( 1 ; 3 ) B ( 4 ; 2 ) B(4;2) B ( 4 ; 2 )
a. Tìm tọa độ điểm D D D O x Ox O x D A = D B DA=DB D A = D B
b. Tính chu vi tam giác O A B OAB O A B
c. Chứng minh rằng O A OA O A A B AB A B O A B OAB O A B
Ví dụ 8. Cho bốn điểm A ( 7 ; − 3 ) A(7;-3) A ( 7 ; − 3 ) B ( 8 ; 4 ) B(8;4) B ( 8 ; 4 ) C ( 1 ; 5 ) C(1;5) C ( 1 ; 5 ) D ( 0 ; − 2 ) D(0;-2) D ( 0 ; − 2 ) A B C D ABCD A B C D
Dạng 3. Ứng dụng thực tế
Ví dụ 1. Một máy bay đang hạ cánh với vận tốc v → = ( − 210 ; − 42 ) \overrightarrow{v}=(-210;-42) v = ( − 2 1 0 ; − 4 2 ) w → = ( − 12 ; − 4 ) \overrightarrow{w}=(-12;-4) w = ( − 1 2 ; − 4 ) 1 k m 1km 1 k m v → \overrightarrow{v} v w → \overrightarrow{w} w
Section 3
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.
Section 1
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit, sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua. Ut enim ad minim veniam, quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat.
jjkkm