Bài 1. SỐ PHỨC
Học xong bài này các em có thể
- Nhận biết được phần thực và phần ảo của số phức.
- Biết tìm số phức liện hợp.
- Biết cách tính môđun của số phức.
- Biết biểu diễn hình học của số phức.
- Biết vận dụng hai số phức bằng nhau.
1. Số phức. Phần thực và phần ảo của số phức
Số phức là số có dạng \(z=a+bi\). Trong đó
- \(a,\ b\in \mathbb{R}\) là các số thực; \(i\) là số đơn vị ảo thỏa mãn \(i^2=-1\).
- Số \(a\) gọi là phần thực, số \(b\) gọi là phần ảo.
Ví dụ 1.Tìm phần thực và phần ảo của các số phức \(z_1=2+3i\), \(z_2=3-4i\), \(z_3=-5\), \(z_4=\sqrt{3}i\), \(z_5=-\sqrt{2}-i\).
- Số phức \(z_1=2+3i\) có phần thực bằng \(2\) và phần ảo bằng \(3\).
- Số phức \(z_2=3-4i\) có phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(-4\).
- Số phức \(z_3=-5\) có phần thực bằng \(-5\) và phần ảo bằng \(0\).
- Số phức \(z_4=\sqrt{3}i\) có phần thực bằng \(0\) và phần ảo bằng \(\sqrt{3}\).
- Số phức \(z_5=-\sqrt{2}-i\) có phần thực bằng \(-\sqrt{2}\) và phần ảo bằng \(-1\).
Ví dụ 2. Tính \(i^3\), \(i^4\), \(i^{10}\), \(i^{100}\), \(i^{2023}\).
- \(i^3=i^2\cdot i=-i\).
- \(i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\).
- \(i^{10}=(i^2)^5=(-1)^5=-1\).
- \(i^{100}=(i^2)^{50}=(-1)^{50}=1.\)
- \(i^{2023}=i^{2022+1}=i^{2022}\cdot i=(i^2)^{1011}\cdot i=(-1)^{1011}\cdot i=-i\).
- Nếu \(z=a+0i\) với \(a\in\mathbb{R}\), thì \(z\) được gọi là số thuần thực. Tức là
\(z=a+bi\) là số thuần thực \(\Leftrightarrow b=0\). - Nếu \(z=0+bi\) với \(b\in\mathbb{R}\), thì \(z\) được gọi là số thuần ảo. Tức là
\(z=a+bi\) là số thuần ảo \(\Leftrightarrow a=0\).
Ví dụ 3. Tìm \(m\in\mathbb{R}\) để \(z=m^2-4+(2m+1)i\) là số thuần ảo.
Ta có \(z=m^2-4+(2m+1)i\) là số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng \(0\). Tức là \[m^2-4=0\Leftrightarrow m=\pm 2.\]
2. Số phức liên hợp
Liên hợp của số phức \(z=a+bi\) (\(a,b\in\mathbb{R}\)), kí hiệu là \(\overline{z}\), được xác định \(\overline{z}=a-bi.\)
Ví dụ 1. Tìm số phức liên hợp của các số phức \(z_1=5+2i\), \(z_2=1-4i\), \(z_3=3\), \(z_4=-\sqrt{5}i\).
- Liên hợp của số phức \(z_1=5+2i\) là số phức \(\overline{z_1}=5-2i\).
- Liên hợp của số phức \(z_2=1-4i\) là số phức \(\overline{z_2}=1+4i\).
- Liên hợp của số phức \(z_3=3\) là số phức \(\overline{z_3}=3\).
- Liên hợp của số phức \(z_4=-\sqrt{5}i\) là số phức \(\overline{z_4}=\sqrt{5}i\).
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z=\overline{m-1+(2m+3)i}\) với \(m\in\mathbb{R}\).
Ta có \[z=\overline{m-1+(2m+3)i}=(m-1)-(2m+3)i.\]
Do đó \(z\) có phần thực là \(m-1\), phần ảo là \(-2m-3\).
Chú ý.
Với mọi số phức \(z\), ta có \(\overline{\overline{z}}=z\).
3. Môđun của số phức
Môđun của số phức \(z=a+bi\) (\(a,b\in\mathbb{R}\)), kí hiệu là \(|z|\), được xác định \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Vậy \(|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}.\)
Ví dụ 1. Tính môđun của các số phức sau: \(z_1=4-3i\), \(z_2=-1+i\), \(z_3=-4\), \(z_4=\sqrt{7}i\), \(z_5=m-i\) (với \(m\in \mathbb{R}\)).
- \(|z_1|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5\).
- \(|z_2|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}\).
- \(|z_3|=\sqrt{(-4)^2}=4\).
- \(|z_4|=\sqrt{(\sqrt{7})^2}=\sqrt{7}\).
- \(|z_5|=\sqrt{m^2+(-1)^2}=\sqrt{m^2+1}\).
Ví dụ 2. Tìm \(m\in\mathbb{R}\) biết rằng môđun của số phức \(z=m+2-(2m-1)i\) bằng \(\sqrt{10}\).
Số phức \(z=m+2-(2m-1)i\) có phần thực bằng \(m+2\) và phần ảo bằng \(-2m+1\). Do đó \[|z|=\sqrt{(m+2)^2+(-2m+1)^2}=\sqrt{m^2+4m+4+4m^2-4m+1}=\sqrt{5m^2+5}.\] Theo giả thiết, suy ra \[|z|=\sqrt{10}\Leftrightarrow \sqrt{5m^2+5}=\sqrt{10}\Leftrightarrow 5m^2+5=10\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm 1.\]
Chú ý
- Với mọi số phức \(z\), luôn có \(|z|\geq 0\). Dấu = xảy ra khi \(z=0\).
- Với mọi số phức \(z=a+bi\), luôn có \(|\overline{z}|=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\).
- Nếu \(z=a\) thì \(|z|=|a|\).
- Nếu \(z=bi\) thì \(|z|=|b|\).
- \(|i|=1\).
4. Biểu diễn hình học của số phức
Biểu diễn hình học của số phức \(z=a+bi\) (\(a,b\in\mathbb{R}\)) trên mặt phẳng phức \(Oxy\) là điểm \(M(a;b)\).
Nếu không sợ nhầm lẫn, ta có thể biểu diễn số phức \(z=a+bi\) như hình vẽ bên
Ví dụ 1. Gọi \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) theo thứ tự là các điểm biểu diễn hình học của các số phức \[z_1=-3+i,\ z_2=4-3i,\ z_3=5,\ z_4=-1,\ z_5=-2i,\ z_6=i,\ z_7=3+4i.\] Xác định tọa độ của các điểm trên.
Lời giải
\(A(-3;1)\), \(B(4;-3)\), \(C(5;0)\), \(D(-1;0)\), \(E(0;-2)\), \(F(0;1)\), \(G(3;4).\)
Chú ý
- Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(z=a+bi\). Khi đó \(|z|=OM\).
- Điểm biểu diễn của hai số phức \(z\) và \(\overline{z}\) đối xứng nhau qua trục hoành.
Ví dụ 2. Gọi \(A,\ B,\ C\) theo thứ tự là các điểm biểu diễn của \(z=i\), \(w=3+2i\), \(\alpha=4-i\). Tính chu vi tam giác \(ABC\).
Lời giải
Ta có \(A(0;1)\), \(B(3;2)\), \(C(4;-1)\).
Suy ra \[\begin{aligned} &AB=\sqrt{(3-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}.\\ &BC=\sqrt{(4-3)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{10}.\\ &CA=\sqrt{(0-4)^2+(1+1)^2}=2\sqrt{5}. \end{aligned}\]
Vậy \(C_{ABC}=AB+BC+CA=2\sqrt{10}+2\sqrt{5}.\)
Nhận xét.
Khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn của hai số phức \(z=x_1+y_1i\) và \(w=x_2+y_2i\) là \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\]
Ví dụ 3. Hãy tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|=2.\)
Lời giải
Gọi \(z=x+yi\) (\(x,y\in\mathbb{R}\)) và \(M(x;y)\) là điểm biểu diễn của \(z\). Theo bài ta có \[|z|=2\Leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2}=2\Leftrightarrow x^2+y^2=4.\] Đây là phương trình đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R=2\).
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng 2.
Nhận xét.
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|=R\) (với \(R>0\)) là đường tròn tâm \(O(0;0)\), bán kính \(R\).
Ví dụ 4. Gọi \(A\) và \(B\) là các điểm biểu diễn của hai số phức \(z=4-5i\) và \(w=2+6i\). Xác định tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\).
Lời giải
Ta có \(A(4;-5)\), \(B(2;6)\). Suy ra trung điểm của đoạn \(AB\) là \[I=\left(\dfrac{4+2}{2};\dfrac{-5+6}{2}\right)=\left(3;\dfrac{1}{2}\right).\]
Nhận xét.
Trung điểm \(I\) của đoạn nối hai điểm biểu diễn của \(z=x_1+y_1i\) và \(w=x_2+y_2i\) có tọa độ là \[I\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\dfrac{y_1+y_2}{2}.\right)\]
5. Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức \(z=a_1+b_1i\) và \(w=a_2+b_2i\). Khi đó \[a_1+b_1i=a_2+b_2i\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& a_1=a_2\\ &b_1=b_2.\end{aligned}\right.\]
Tức là: hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực của số phức này bằng phần thực của số phức kia và phần ảo của số phức này bằng phần ảo của số phức kia.
Ví dụ 1. Tìm \(m\in \mathbb{R}\) để hai số phức \(z=(m^2-3)+mi\), \(w=-2+(m^2-2m+2)i\) bằng nhau.
Ta có \[\begin{aligned} z=w\Leftrightarrow\ &(m^2-3)+mi=-2+(m^2-2m+2)i\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &m^2-3=-2\\ &m=m^2-2m+2\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned} &m^2=1\\ & m^2-3m+2=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} &m=\pm 1\\ &m=1\ \vee\ m=2\end{aligned}\right. \Leftrightarrow m=1. \end{aligned}\]
Ví dụ 2. Tìm \(x\), \(y\) biết rằng \(2x-y+1+(x+y)i=x-1-(3y-3)i\).
Ta có \[\begin{aligned} &2x-y+1+(x+y)i=x-1-(3y-3)i\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}& 2x-y+1=x-1\\ &x+y=-(3y-3)\end{aligned}\right.\\ \Leftrightarrow\ &\left\{\begin{aligned}&x-y=-2\\ &x+4y=3\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & x=-1\\ &y=1.\end{aligned}\right. \end{aligned}\]
BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định phần thực, phần ảo; Tính môđun; Tìm số phức liên hợp
Ví dụ 1. Số phức \(-3+7i\) có phần ảo bằng
A. \(3\)
B. \(-7\)
C. \(-3\)
D. \(7\)
Số phức \(-3+7i\) có phần ảo bằng \(7\).
Ví dụ 2. Số phức có phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(4\) là
A. \(3+4i\)
B. \(4-3i\)
C. \(3-4i\)
D. \(4+3i\)
Số phức có phần thực bằng \(3\) và phần ảo bằng \(4\) là \( z=3+4i \).
Ví dụ 3. Số phức \(5+6i\) có phần thực bằng
A. \(-5\)
B. \(5\)
C. \(-6\)
D. \(6\)
Số phức \(5+6i\) có phần thực bằng \(5\).
Ví dụ 4. Số phức có phần thực bằng \(1\) và phần ảo bằng \(3\) là
A. \( - 1 - 3i\)
B. \(1 - 3i\)
C. \( - 1 + 3i\)
D. \(1 + 3i\)
Số phức có phần thực bằng \(1\) và phần ảo bằng \(3\) là \(1+3i\).
Ví dụ 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp của số phức \(z=1+i.\)
A. Phần thực là \(1\), phần ảo là \(-1\)
B. Phần thực là \(1\), phần ảo là \(-i\)
C. Phần thực là \(1\), phần ảo là \(1\)
D. Phần thực là \(1\), phần ảo là \(i\)
\(\overline{z}=1-i,\) phần thực bằng \(1\), phần ảo bằng \(-1\).
Ví dụ 6. Cho số phức \(z=3+2i\). Tính \(\left|z\right|\).
A. \(\left|z\right|=\sqrt 5\)
B. \(\left|z\right|=\sqrt{13}\)
C. \(\left|z\right|=5\)
D. \(\left|z\right|=13\)
Ta có \(\left|z\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\).
Ví dụ 7. Tính mô-đun của số phức \(z\), biết rằng \(z\) vừa là số thuần thực, vừa là số thuần ảo.
A. \(|z|=1\)
B. \(|z|=0\)
C. \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}, \forall a,b\in\mathbb{R}\)
D. \(|z|=i\)
Do \(z\) vừa là số thực vừa là số thuần ảo nên \(z=0\).
Vậy \(|z|=|0|=0\).
Ví dụ 8. Tìm số phức liên hợp của của số \(z=5+i\).
A. \(\overline{z}=5-i\)
B. \(\overline{z}=-5-i\)
C. \(\overline{z}=5+i\)
D. \(\overline{z}=-5+i\)
Số phức liên hợp của của số \(a+bi\) là \(a-bi\). Do đó \(\overline{z}=5-i\).
Ví dụ 9. Tính mô-đun của số phức \(z=3+4i\).
A. \(3\)
B. \(5\)
C. \(7\)
D. \(\sqrt{7}\)
Ta có \(|z| = \sqrt{3^2+4^2}=5\).
Ví dụ 10. Số phức liên hợp của số phức \(z=6-4i\) là
A. \(\overline{z}=-6+4i\)
B. \(\overline{z}=4+6i\)
C. \(\overline{z}=6+4i\)
D. \(\overline{z}=-6-4i\)
Số phức liên hợp của số phức \(6-4i\) là \(6+4i\).
Ví dụ 11. Mô-đun của số phức \(z=3-2i\) bằng
A. \(1\)
B. \(13\)
C. \(\sqrt{13}\)
D. \(5\)
Số phức \(z=3-2i\) có mô-đun là \(\left|z\right|=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\).
Ví dụ 12. Cho số phức \(z=a+bi\), \((a,b \in\mathbb{R})\). Mệnh đề nào sau đây {\bf sai}?
A. \(|z|=\sqrt{a+b}\) là mô-đun của \(z\)
B. \(\overline{z} = a-bi\) là số phức liên hợp của \(z\)
C. \(a\) là phần thực của \(z\)
D. \(b\) là phần ảo của \(z\)
Theo định nghĩa có \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\). Vậy \(|z|=\sqrt{a+b}\) là mô-đun của \(z\) là mệnh đề sai.
Ví dụ 13. Cho số phức \(z=2+i\). Số phức liên hợp \(\overline{z}\) có phần thực, phần ảo lần lượt là
A. \(2\) và \(1\)
B. \(-2\) và \(-1\)
C. \(-2\) và \(1\)
D. \(2\) và \(-1\)
\(z=2+i\Rightarrow \overline{z}=2-i\). Vậy \(\overline{z}\) có phần thực, phần ảo lần lượt là \(2\) và \(-1\).
Ví dụ 14. Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(z = 3 - \mathrm{i}\) là
A. \(2\)
B. \(- 1\)
C. \(- 2\)
D. \(3\)
Ta có phần thực của \(z\) bằng \(3\) và phần ảo của \(z\) bằng \(-1\). Do đó tổng phần thực và phần ảo là \(2\).
Ví dụ 15. Gọi \(a, b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(z=-3+2i\). Giá trị của \(a+2b\) bằng
A. \(1\)
B. \(-1\)
C. \(-4\)
D. \(-7\)
Ta có \(a=-3, b=2\) nên \(a+2b=1\).
Ví dụ 16. Số phức \(z\) thỏa mãn \(\overline{z}=-3-2i\) là
A. \(z=3+2i\)
B. \(z=-3-2i\)
C. \(z=-3+2i\)
D. \(z=3-2i\)
Dễ thấy ngay \(z=\overline{\overline{z}}=\overline{-3-2i}=-3+2i\).
Ví dụ 17. Mô-đun của số phức \(z = 3 + 4i\) bằng
A. \(1\)
B. \(7\)
C. \(5\)
D. \(\sqrt{7}\)
Ta có \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
Ví dụ 18. Cho các số phức \(z_1=3i\), \(z_2=-1-3i\) và \(z_3=m-2i\). Tập giá trị của tham số \(m\) để số phức \(z_3\) có mô-đun nhỏ nhất trong \(3\) số phức đã cho là
A. \(\left[-\sqrt{5};\sqrt{5}\right]\)
B. \(\left(-\sqrt{5};\sqrt{5}\right)\)
C. \(\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\}\)
D. \(\left(-\infty;-\sqrt{5}\right)\cup \left(\sqrt{5};+\infty\right)\)
Ta có \(\left\{\begin{aligned} &\left|z_3\right| < \left|z_1\right|\\ &\left|z_3\right| < \left|z_2\right|}\Leftrightarrow \left\{&m^2+4 < 9\\ &m^2+4 < 10\end{aligned}\right.\Leftrightarrow m^2 < 5\Leftrightarrow -\sqrt{5} < m < \sqrt{5}\).
Ví dụ 19. Cho số phức \(z=3-5i\). Gọi \(a,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của \(z\). Tính \(S=a+b\).
A. \(S=-8\)
B. \(S=8\)
C. \(S=2\)
D. \(S=-2\)
Ta có \(a=3,b=-5\Rightarrow S=a+b=-2\).
Ví dụ 20. Cho số phức \(z=7-5i\). Tìm phần thực \(a\) của \(z\).
A. \(a=-7\)
B. \(a=5\)
C. \(a=-5\)
D. \(a=7\)
Số phức \(z=a+bi\) với \(a\), \(b \in \mathbb{R}\) có phần thực là \(a\) nên số phức \(z=7-5i\) có phần thực là \(7\).
Ví dụ 21. Cho số phức \(z\) thỏa mãn \((1+2i)z=4-3i+2z\). Số phức liên hợp của số phức \(z\) là
A. \(\overline{z}=2+i\)
B. \(\overline{z}=-2+i\)
C. \(\overline{z}=-2-i\)
D. \(\overline{z}=2-i\)
Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \[(1+2i)z=4-3i+2z\Leftrightarrow (-1+2i)z=4-3i \Leftrightarrow z=-2-i.\] Vậy \(\overline{z}=-2+i\).
Ví dụ 22. Cho số phức \(z=-3-2i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(z\) bằng
A. \(-1\)
B. \(-i\)
C. \(-5\)
D. \(-5i\)
Số phức \(z=-3-2i\) có phần thực bằng \(-3\), phần ảo bằng \(-2\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(z\) là \(-5\).
Ví dụ 23. Cho số phức \(z=a+bi\), (\(a,b \in \mathbb{R}\)). Tính mô-đun của số phức \(\overline{z}\).
A. \(|\overline{z}|=a^2+b^2\)
B. \(|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}\)
C. \(|\overline{z}|=\sqrt{a^2-b^2}\)
D. \(|\overline{z}|=\sqrt{a+b}\)
\(|\overline{z}|=\sqrt{a^2+b^2}\).
Ví dụ 24. Phần ảo của số phức \(z=2-3i\) là
A. \(2\)
B. \(3\)
C. \(3i\)
D. \(-3\)
Phần ảo của số phức \(z=2-3i\) là \(-3\).
Ví dụ 25. Tính mô-đun của số phức \(z=4-3i\).
A. \(|z|=7 \)
B. \(|z|=\sqrt{7} \)
C. \(|z|=5 \)
D. \(|z|=25 \)
Ta có \(|z|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5.\)
Dạng 2. Bài toán chuyển thành hệ phương trình
Ví dụ 1. Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn \((2x - 1) + (y + 1)i = 1 + 2i\). Giá trị của biểu thức \(x^2 + 2xy + y^2\) bằng
A. 2
B. 0
C. 1
D. 4
Từ \[(2x - 1) + (y + 1)i = 1 + 2i\Leftrightarrow \begin{cases}&2x - 1 = 1 \\ &y + 1 = 2\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&x = 1 \\ &y = 1.\end{cases}\]
Vậy \(x^2 + 2xy + y^2 = 4\).
Ví dụ 2. Tìm các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \((2x+5y)+(4x+3y)i=5+2i\).
A. \(x=\displaystyle\frac{5}{14}\) và \(y=-\displaystyle\frac{8}{7}\)
B. \(x=\displaystyle\frac{8}{7}\) và \(y=-\displaystyle\frac{5}{14}\)
C. \(x=-\displaystyle\frac{5}{14}\) và \(y=\displaystyle\frac{8}{7}\)
D. \(x=-\displaystyle\frac{5}{14}\) và \(y=-\displaystyle\frac{8}{7}\)
Ta có \[(2x+5y)+(4x+3y)i=5+2i \Leftrightarrow \begin{cases}&2x+5y=5\\&4x+3y=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&x=-\displaystyle\frac{5}{14}\\ &y=\displaystyle\frac{8}{7}.\end{cases}\]
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực \(x\), \(y\) sao cho: \(x-1-yi=y+(2x-5)i\).
A. \(x=3,y=2\)
B. \(x=2,y=1\)
C. \(x=-2,y=-1\)
D. \(x=-2,y=9\)
\(x-1-yi=y+(2x-5)i\Leftrightarrow \begin{cases} x-1&=y\\ -y&=2x-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x-y&=1\\ 2x+y&=5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=1.\end{cases}\)
Ví dụ 4. Tìm tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \(x^2-2+yi=-2+5i\).
A. \(x=0\), \(y=5\)
B. \(x=-2\), \(y=5\)
C. \(x=2\), \(y=5\)
D. \(x=2\), \(y=-5\)
Ta có \[x^2-2+yi=-2+5i \Leftrightarrow \begin{cases}&x^2-2=-2\\&y=5\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}&x=0\\&y=5.\end{cases}\]
Ví dụ 5. Tìm các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \((x+y)+(2x-y)i=3-6i\).
A. \(x=-1;\ y=-4\)
B. \(y=-1;\ x=4\)
C. \(x=-1;\ y=4\)
D. \(x=1;\ y=-4\)
Ta có: \[\left\{\begin{aligned} &x+y=3 \\ &2x-y=-6\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x=-1 \\ &y=4.\end{aligned}\right.\]
Ví dụ 6. Tìm cặp số thực \((x;y)\) thỏa mãn \((x+y)+(x-y)i=5+3i\).
A. \((x;y)=(3;2)\)
B. \((x;y)=(4;1)\)
C. \((x;y)=(1;4)\)
D. \((x;y)=(2;3)\)
Ta có \[(x+y)+(x-y)i=5+3i\Leftrightarrow\begin{cases}& x+y=5\\& x-y=3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}& x=4\\& y=1\end{cases}\Rightarrow (x;y)=(4;1).\]
Ví dụ 7. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((2x-3yi)+(1-3i)=x+6i\), với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x=-1\); \(y=-3\)
B. \(x=-1\); \(y=-1\)
C. \(x=1\); \(y=-1\)
D. \(x=1\); \(y=-3\)
Ta có \[(2x-3yi)+(1-3i)=x+6i \Leftrightarrow x+1-(3y+9)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x+1=0\\ &3y+9=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=-1 \\ &y=-3.\end{aligned}\right.\]
Ví dụ 8. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i\) với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x = - 2\); \(y = - 2\)
B. \(x = - 2\); \(y = - 1\)
C. \(x = 2\); \(y = - 2\)
D. \(x = 2\); \(y = - 1\)
\[\begin{aligned} &(3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i \Leftrightarrow (3x+2)+(2y+1)i=2x-3i\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}&3x+2=2x\\&2y+1=-3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&x=-2\\&y=-2.\end{cases} \end{aligned}\]
Ví dụ 9. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((3x+yi)+(4-2i)=5x+2i\) với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x=-2\); \(y=4\)
B. \(x=2\); \(y=4\)
C. \(x=-2\); \(y=0\)
D. \(x=2\); \(y=0\)
\[(3x+yi)+(4-2i)=5x+2i \Leftrightarrow 2x-4+(4-y)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &2x-4=0 \\ &4-y=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=2 \\ &y=4.\end{aligned}\right.\]
Ví dụ 10. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((2x-3yi)+(1-3i)=x+6i\), với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x=-1\); \(y=-3\)
B. \(x=-1\); \(y=-1\)
C. \(x=1\); \(y=-1\)
D. \(x=1\); \(y=-3\)
\[(2x-3yi)+(1-3i)=x+6i \Leftrightarrow x+1-(3y+9)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &x+1=0 \\ &3y+9=0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=-1 \\ &y=-3.\end{aligned}\right.\]
Ví dụ 11. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i\) với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x = - 2\); \(y = - 2\)
B. \(x = - 2\); \(y = - 1\)
C. \(x = 2\); \(y = - 2\)
D. \(x = 2\); \(y = - 1\)
\[\begin{aligned} &(3x + 2yi) + (2 + i) = 2x - 3i \Leftrightarrow (3x+2)+(2y+1)i=2x-3i\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}&3x+2=2x\\&2y+1=-3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}&x=-2\\&y=-2.\end{cases} \end{aligned}\]
Ví dụ 12. Tìm hai số thực \(x\) và \(y\) thỏa mãn \((3x+yi)+(4-2i)=5x+2i\) với \(i\) là đơn vị ảo.
A. \(x=-2\); \(y=4\)
B. \(x=2\); \(y=4\)
C. \(x=-2\); \(y=0\)
D. \(x=2\); \(y=0\)
\[(3x+yi)+(4-2i)=5x+2i \Leftrightarrow 2x-4+(4-y)i=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&2x-4=0 \\ &4-y=0\end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned}&x=2 \\ &y=4. \end{aligned}\right.\]
Ví dụ 13. Tìm các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(2x+1+(1-2y)i=2-x+(3y-2)i\).
A. \(x=\displaystyle\frac{1}{3};y=\displaystyle\frac{3}{5}\)
B. \(x=1;y=\displaystyle\frac{3}{5}\)
C. \(x=1;y=\displaystyle\frac{1}{5}\)
D. \(x=\displaystyle\frac{1}{3};y=\displaystyle\frac{1}{5}\)
\[\begin{cases}&2x+1=2-x\\&1-2y=3y-2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&x=\displaystyle\frac{1}{3}\\ &y=\displaystyle\frac{3}{5}.\end{cases}\]
Ví dụ 14. Cho số thực \(x,\ y\) thỏa mãn \(2x+y+(2y-x)\mathrm{i}=x-2y+3+(y+2x+1)\mathrm{i}\). Khi đó giá trị của \(M=x^2+4xy-y^2\) bằng
A. \(-1\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \(-2\)
\[\begin{aligned} & 2x+y+(2y-x)\mathrm{i}=x-2y+3+(y+2x+1)\mathrm{i}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}& 2x+y=x-2y+3\\ & 2y-x=y+2x+1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}& x+3y=3\\ & 3x-y=-1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}& x=0\\ & y=1.\end{cases} \end{aligned}\]
Vậy \(M=-1\).
Dạng 3. Bài toán về tập hợp điểm
Ví dụ 1. Điểm nào sau đây là biểu diễn của số phức \(z=2-3i\)?
A. \(M(2;-3)\)
B. \(M(-2;-3)\)
C. \(M(-2;3)\)
D. \(M(2;3)\)
Điểm biểu diễn số phức \(z=2-3i\) là \(M(2;-3)\).
Ví dụ 2. Tìm điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z=i-2\).
A. \(M=(1;-2)\)
B. \(M=(2;1)\)
C. \(M=(2;-1)\)
D. \(M=(-2;1)\)
Viết lại \(z=-2+i\). Từ đó điểm biểu diễn \(z\) là \(M(-2;1)\).
Ví dụ 3. Cho số phức \(z=1+2i\). Điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là
A. \(M(-1;2)\)
B. \(M(-1;-2)\)
C. \(M(1;-2)\)
D. \(M(2;1)\)
\(\overline{z}=1-2i\). Suy ra điểm biểu diễn của số phức \(\overline{z}\) là \(M(1;-2)\).
Ví dụ 4. Cho số phức \(z=4-3i\). Điểm biểu diễn của \(z\) trên mặt phẳng phức là
A. \(M(4;3)\)
B. \(M(-4;3)\)
C. \(M(4;-3)\)
D. \(M(-3;4)\)
Điểm biểu diễn của \(z\) trên mặt phẳng phức là \(M(4;-3)\).
Ví dụ 5. Điểm biểu diễn của các số phức \(z=7+bi\) với \(b\in\mathbb{R}\) nằm trên đường thẳng có phương trình là
A. \(y=x+7\)
B. \(y=7\)
C. \(x=7\)
D. \(y=x\)
Các điểm biểu diễn của các số phức \(z=7+bi, b\in\mathbb{R}\) có tọa độ \(M_b=(7;b),b\in\mathbb{R}\). Tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \(x=7\).
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(A(4;0)\), \(B(1;4)\) và \(C(1;-1)\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Biết rằng \(G\) là điểm biểu diễn số phức \(z\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(z=3-\displaystyle\frac{3}{2}i\)
B. \(z=3+\displaystyle\frac{3}{2}i\)
C. \(z=2-i\)
D. \(z=2+i\)
\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) suy ra \(G\left(\displaystyle\frac{4+1+1}{3};\displaystyle\frac{0+4+(-1)}{3}\right)=\left(2;1\right)\).
Vậy \(G\) là điểm biểu diễn của số phức \(z=2+i\).
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm điểm biểu diễn của số phức \(z=2-3i\).
A. \(Q(-2;3)\)
B. \(P(2;-3)\)
C. \(N(-2;-3)\)
D. \(M(2;3)\)
Số phức \(z=2-3i\) có điểm biểu diễn \(P(2;-3)\).
Ví dụ 8. Tìm số phức \(z\) có điểm biểu diễn là \(M(3;-4)\).
A. \(z=-4+3i\)
B. \(z=3+4i\)
C. \(z=4+3i\)
D. \(z=3-4i\)
Do \(M(3;-4)\) nên phần thực bằng \(3\), phần ảo bằng \(-4\), suy ra \(z=3-4i\).
Ví dụ 9. Cho số phức \(z=2+i.\) Tìm tọa độ điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức \(z\).
A. \((-2;-1)\)
B. \((-2;1)\)
C. \((2;1)\)
D. \((2;-1)\)
Dễ thấy \(\bar z=2-i,\) điểm biểu diễn tương ứng có tọa độ là \((2;-1).\)
Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tọa độ điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z=4-i\) là
A. \(M(4;1)\)
B. \(M(-4;1)\)
C. \(M(4;-1)\)
D. \(M(-4;-1)\)
Điểm biểu diễn số phức \(z=4-i\) là \(M(4;-1)\).
Ví dụ 11. Điểm biểu diễn của số phức \( z=2-3i \) trên mặt phẳng \( Oxy \) là điểm nào sau đây?
A. \( (-2;3) \)
B. \( (-3;2) \)
C. \( (2;3) \)
D. \( (2;-3) \)
Điểm biểu diễn của số phức \( z=2-3i \) trong mặt phẳng \( Oxy \) là \( (2;-3) \).
Ví dụ 12. Cho số phức \( z \) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \) là điểm \( M(-1;5) \). Tính mô-đun của \( z. \)
A. \( |z| = \sqrt{26} \)
B. \( |z| = 4\)
C. \( |z| = 2\)
D. \( |z| = \sqrt{24} \)
Điểm \( M(-1;5) \) biểu diễn của số phức \( z = -1+5i. \)
Vậy mô-đun của \( z \) là \( |z| = \sqrt{26} \).
Ví dụ 13. Cho số phức \(z=6+17i\). Điểm biểu diễn cho số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là
A. \(M(-6;-17)\)
B. \(M(-17;-6)\)
C. \(M(17;6)\)
D. \(M(6;17)\)
Điểm biểu diễn cho số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là \(M(6;17)\).
Ví dụ 14. Cho số phức \(z=1+3i\). Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức liên hợp \(\overline{z}\). Tọa độ điểm \(M\) là
A. \(M(1;3)\)
B. \(M(-1;-3)\)
C. \(M(1;-3)\)
D. \(M(-1;3)\)
Số phức liên hợp \(\overline{z}=1-3i\) nên \(M(1;-3)\).
Ví dụ 15. Trên mặt phẳng phức, cho điểm \(A\) biểu diễn số phức \(-2+3i\), điểm \(B\) biểu diễn số phức \(4-5i\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó, điểm \(M\) biểu diễn số phức nào trong các số phức sau
A. \(3-4i\)
B. \(3+4i\)
C. \(1+i\)
D. \(1-i\)
Ta có \(A(-2;3)\), \(B(4;-5)\). \(M\) là trung điểm của \(AB\) \(\Rightarrow M(1;-1)\). Vậy \(M\) biểu diễn số phức \(1-i\).
Ví dụ 16. Điểm \(M\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức \(z\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\).
A. {Phần thực là \(-4\) và phần ảo là \(3\)
B. {Phần thực là \(3\) và phần ảo là \(-4i\)
C. Phần thực là \(3\) và phần ảo là \(-4\)
D. {Phần thực là \(-4\) và phần ảo là \(3i\)
Dựa vào hình vẽ ta được số phức \(z=3-4i\). Vậy số phức \(z\) có phần thực là \(3\) và phần ảo là \(-4\).
Ví dụ 17. Điểm \(M\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
A. \(z=-2+3i\)
B. \(z=3+2i\)
C. \(z=2-3i\)
D. \(z=3-2i\)
Vì điểm \(M(3;-2)\) nên nó là điểm biểu diễn của số phức \(z=3-2i\).
Ví dụ 18. Cho số phức \(z\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là \(M\) (như hình vẽ). Số phức \(\overline{z}\) là
A. \(3+2i\)
B. \(3-2i\)
C. \(2-3i\)
D. \(-2+3i\)
Từ hình vẽ, ta có \(z=3+2i\). Suy ra số phức liên hợp của số phức \(z\) là \(\overline{z} = 3-2i\).
Ví dụ 19. Điểm \(M\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn cho số phức nào trong \(4\) số phức được liệt kê dưới đây?
A. \(z=4-2i\)
B. \(z=2+4i\)
C. \(z=4+2i\)
D. \(z=2-4i\)
Ta có tọa độ \(M(2;4)\), suy ra số phức biểu diễn bởi \(M\) là \(z=2+4i\).
Ví dụ 20. Số phức \(z=-4+2i\) có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm sau?
A. \(D\)
B. \(B\)
C. \(C\)
D. \(A\)
Điểm biểu diễn của số phức \(z=-4+2i\) có tọa độ là \((-4;2)\). Vậy đó là điểm \(B\).
Ví dụ 21. Hai số phức nào trong hình vẽ dưới đây liên hợp nhau?
A. \(z_1\) và \(z_2\)
B. \(z_1\) và \(z_4\)
C. \(z_3\) và \(z_4\)
D. \(z_3\) và \(z_1\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy hai số phức \(z_4\) và \(z_3\) liên hợp nhau.
Ví dụ 22. Cho số phức \(z = a + \left(a - 5\right)\mathrm{i}\) với \(a\in \mathbb{R}\). Tìm \(a\) để điểm biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư
A. \(a = - \displaystyle\frac{1}{2}\)
B. \(a = \displaystyle\frac{5}{2}\)
C. \(a = 0\)
D. \(a = \displaystyle\frac{3}{2}\)
Để thỏa mãn bài toán suy ra \(a - 5 = - a\Leftrightarrow 2a - 5 = 0\Leftrightarrow a = \displaystyle\frac{5}{2}\).
Ví dụ 23. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(A\) là điểm biểu diễn số phức \(z=1+2i\), \(B\) là điểm thuộc đường thẳng \(y=2\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\). Điểm \(B\) là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số phức dưới đây?
A. \(-3+2i\)
B. \(-1+2i\)
C. \(3+2i\)
D. \(1-2i\)
\(z=1+2i\Rightarrow A(1;2)\); điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(y=2\Rightarrow B(a;2)\). Tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) \(\Leftrightarrow OA=OB\Leftrightarrow 5=a^2+4\Leftrightarrow a=\pm 1\). Vậy điểm \(B\) biểu diễn cho số phức \(z=\pm 1+2i\).
Ví dụ 24. Cho số phức \(z = a + a^2i\) với \(a \in \mathbb{R}\). Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của \(z\) nằm trên đường nào?
A. Đường thẳng \(y = -x + 1\)
B. Đường thẳng \(y = 2x\)
C. Parabol \(y = x^2\)
D. Parabol \(y = -x^2\)
Điểm biểu diễn của số phức liên hợp \(\bar{z}\) là \(M \left(a; -a^2 \right)\). Do đó điểm \(M\) thuộc \(y = -x^2\).
Ví dụ 25. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z=x+yi\) là nửa hình tròn tâm \(O(0;0)\) bán kính \(R=2\) (phần tô đậm, kể cả đường giới hạn) như hình bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(x\ge0\) và \(|z|=\sqrt{2}\)
B. \(y\ge0\) và \(|z|=2\)
C. \(x\ge0\) và \(|z|\le2\)
D. \(y\ge0\) và \(|z|\le2\)
Dựa vào hình vẽ trên ta thấy số phức \(z\) có phần thực không âm và \(|z|\le2\).
Vậy số phức \(z\) thỏa mãn \(x\geq 0,\ |z|\le2\).