Bài 1. QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

Học xong bài này các em có thể

Nắm được khái niệm quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Phân biệt được quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Biết cách vận dụng vào các bài toán đếm.

1. Quy tắc cộng

Ví dụ 1. Trong một cửa hàng bán kem có \(5\) loại kem que khác nhau và \(4\) loại kem ốc quế khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn mua một loại kem que hoặc kem ốc quế ở cửa hàng này?

\(\bullet\quad\) Nếu chọn mua kem que thì có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Nếu chọn mua kem ốc quế thì có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Vậy để chọn mua một loại kem thì ta có \(5+4=9\) cách chọn.

Quy tắc cộng

Giả sử có một công việc có thể được hoàn thành theo phương án \(A\) hoặc \(B\). Phương án \(A\) có \(m\) cách thực hiện, phương án \(B\) có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án \(A\). Khi đó, công việc có thể thực hiện theo \(m+n\) cách.

Ví dụ 2. Lớp \(10A\) có \(36\) học sinh, lớp \(10B\) có \(40\) học sinh. Có bao nhiêu cách cử một học sinh của lớp \(10A\) hoặc của lớp \(10B\) tham gia một công việc tình nguyện sắp diễn ra?

Công việc chọn một học sinh có hai phương án thực hiện:

\(\bullet\quad\) Nếu chọn học sinh lớp \(10A\) thì có \(36\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Nếu chọn học sinh lớp \(10B\) thì có \(40\) cách chọn.

Theo quy tắc cộng, việc chọn một học sinh lớp \(10A\) hoặc \(10B\) có thể thực hiện theo \(36+40=76\) cách.

Ví dụ 3. Một ngày có \(6\) chuyến xe khách, \(3\) chuyến tàu hỏa và \(4\) chuyến máy bay từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\). Mỗi ngày có bao nhiêu cách chọn chuyến di chuyển từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) bằng một trong ba loại phương tiện trên.

Để đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\), có thể thực hiện theo 3 phương án:

\(\bullet\quad\) Phương án 1: Đi bằng xe khách, có \(6\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Phương án 2: Đi bằng tàu hỏa, có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Phương án 3: Đi bằng máy bay, có \(3\) cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có \(6+4+3=13\) cách chọn một phương tiện để đi từ \(A\) đến \(B\).

Ví dụ 4. Hà có \(5\) cuốn sách khoa học, \(4\) cuốn tiểu thuyết và \(3\) cuốn truyện tranh (các cuốn sách đều khác nhau). Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đó để đọc. Nam có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để mượn?

Nam có ba phương án để mượn:

\(\bullet\quad\) Phương án 1. Mượn sách khoa học, có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Phương án 2. Mượn sách tiểu thuyết, có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Phương án 3. Mượn sách truyện tranh, có \(3\) cách chọn.

Theo quy tắc cộng, bạn Nam có \(5+4+3=12\) cách để mượn một cuốn sách.

2. Quy tắc nhân

Ví dụ 1. An có \(3\) chiếc áo thể thao \(A\), \(B\), \(C\) và \(4\) chiếc quần thể thao \(a\), \(b\), \(c\). An muốn chọn một bộ quần áo trong số đó để mặc chơi thể thao cuối tuần này. An có bao nhiêu cách chọn bộ quần áo?

Để chọn được một bộ quần áo, An có thể kết hợp như sau

\(\bullet\quad\) Áo \(A\) kết hợp với một trong \(4\) chiếc quần, có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Áo \(B\) kết hợp với một trong \(4\) chiếc quần, có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Áo \(C\) kết hợp với một trong \(4\) chiếc quần, có \(4\) cách chọn.

Vậy An có thể có \(4+4+4=12\) cách chọn một bộ quần áo.

Nhận xét. Rõ ràng để chọn một bộ quần áo cần phải trải qua 2 công đoạn: công đoạn thứ nhất là chọn áo và công đoạn thứ hai là chọn quần. Ta thấy, công đoạn chọn áo có \(3\) cách chọn; Ứng với mỗi cách chọn áo, công đoạn chọn quần có \(4\) cách chọn. Theo sơ đồ cây, bạn An có \(4\cdot3=12\) cách chọn bộ quần áo.

Quy tắc nhân

Giả sử có một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có \(m\) cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có \(n\) cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo \(m\cdot n\) cách.

Ví dụ 2. Có ba thị trấn \(A\), \(B\), \(C\). Có \(5\) con đường để đi từ \(A\) đến \(B\), có \(3\) con đường để đi từ \(B\) đến \(C\) (tham khảo hình vẽ).

Có bao nhiêu cách chọn một con đường để đi từ \(A\), qua \(B\) rồi đến \(C\).

Việc đi từ \(A\), qua \(B\) rồi đến \(C\) gồm 2 công đoạn:

\(\bullet\quad\) Công đoạn thứ nhất: Đi từ \(A\) đến \(B\), có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Công đoạn thứ hai: Ứng với mỗi cách đi từ \(A\) đến \(B\), có \(3\) cách chọn đi tiếp từ \(B\) đến \(C\).

Theo quy tắc nhân, có \(3\cdot 5=15\) cách chọn đường đi từ \(A\), qua \(B\) rồi đến \(C\).

Ví dụ 3. Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (kí hiệu \(S\) và \(N\)). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại kết quả. Tìm số kết quả có thể xảy ra, theo hai cách sau đây:

a. Vẽ sơ đồ hình cây.

b. Sử dụng quy tắc nhân.

a. Vẽ sơ đồ hình cây

Vậy có tất cả \(8\) kết quả có thể xảy ra.

b. Đếm bằng quy tắc nhân

Kết quả của ba lần tung liên tiếp bao gồm kết quả của mỗi lần tung.

\(\bullet\quad\) Lần tung thứ nhất, có 2 khả năng xảy ra.

\(\bullet\quad\) Lần tung thứ hai, có 2 khả năng xảy ra.

\(\bullet\quad\) Lần tung thứ ba, có 2 khả năng xảy ra.

Theo quy tắc nhân, có \(2\cdot 2\cdot 2=8\) kết quả có thể xảy ra.

Ví dụ 4. Từ các chữ số \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) có thể lập được bao nhiêu

a. số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

b. số tự nhiên có 3 chữ số?

c. số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau?

a. Từ \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abcd}\).

Để tạo thành số \(\overline{abcd}\), ta thực hiện qua 4 công đoạn như sau:

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(a\), có \(6\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(b\), có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(c\), có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(d\), có \(3\) cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân, có thể lập được \(6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) số.

b. Từ \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số?

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abc}\).

Để tạo thành số \(\overline{abc}\), ta thực hiện qua 3 công đoạn như sau:

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(a\), có \(6\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(b\), có \(6\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(c\), có \(6\) cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân, có thể lập được \(6\cdot6\cdot6=216\) số.

c. Từ \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 5 chữ số khác nhau?

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abcde}\).

Để tạo thành số \(\overline{abcde}\) lẻ, ta thực hiện qua 5 công đoạn như sau:

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(e\) lẻ, có \(3\) cách chọn (hoặc 1, hoặc 3, hoặc 5).

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(a\), có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(b\), có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(c\), có \(3\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(d\), có \(2\) cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân, có thể lập được \(3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=360\) số.

Ví dụ 5. Từ các chữ số \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau.

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abc}\).

+) TH1. \(c=0\)

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(c\) chẵn, có \(3\) cách chọn (hoặc 1, hoặc 3, hoặc 5).

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(a\), có \(5\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(b\), có \(4\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(c\), có \(3\) cách chọn.

\(\bullet\quad\) Chọn chữ số \(d\), có \(2\) cách chọn.

Vậy, theo quy tắc nhân, có thể lập được \(3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=360\) số.

BÀI TẬP

Dạng 1. Bài toán sử dụng quy tắc cộng

Ví dụ 1. Một hộp chứa 5 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách lấy 1 viên bi trong hộp?

Có hai phương án lấy bi

+) Phương án 1. Lấy bi xanh: có 5 cách lấy.

+) Phương án 2. Lấy bi đỏ: có 6 cách lấy.

Theo quy tắc cộng, có \(5+6=11\) cách lấy ra 1 viên bi.

Ví dụ 2. Ban thường trực Đoàn trường có 3 học sinh 12 và 2 học sinh 11. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh trong ban thường trực để dự đại hội đoàn cấp trên?

Có 2 phương án để chọn.

+) Phương án 1. Chọn học sinh lớp 12: có 3 cách chọn.

+) Phương án 2. Chọn học sinh lớp 11: có 2 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có \(3+2=5\) cách chọn.

Ví dụ 3. Trong hình vẽ dưới đây có tất cả bao nhiêu hình vuông?

Có 3 loại hình vuông.

+) Loại thứ nhất có cạnh bằng 1, có 21 hình.

+) Loại thứ hai có cạnh bằng 2, có 12 hình.

+) Loại thứ ba có cạnh bằng 3, có 5 hình.

Theo quy tắc cộng, suy ra có \(21+12+5=38\) hình vuông.

Ví dụ 4. Một thùng chứa 6 quả dưa hấu, một thùng khác chứa 15 quả thanh long. Từ hai thùng này,

a. có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu hoặc thanh long?

b. có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long?

a. Có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu hoặc thanh long?

+) Phương án 1. Chọn 1 quả dưa hấu: có 6 cách chọn.

+) Phương án 2. Chọn 1 quả thanh long: có 15 cách chọn.

Theo quy tắc cộng, có \(6+15=21\) cách chọn.

b. có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long?

Để chọn 1 quả dưa hấu và 1 quả thanh long ta phải thực hiện qua 2 công đoạn.

+) Công đoạn 1. Chọn 1 quả dưa hấu: có 6 cách.

+) Công đoạn 2. Chọn 1 quả thanh long: có 15 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có \(6\cdot15=90\) cách chọn.

Dạng 2. Bài toán sử dụng quy tắc nhân

Ví dụ 1. Tung đồng thời một đồng xu và một con xúc xắc, nhận được kết quả là mặt xuất hiện trên đồng xu (sắp hay ngửa) và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a. Tính số kết quả có thể xảy ra.

b. Vẽ sơ đồ hình cây và liệt kê tất cả các kết quả đó.

a. Tính số kết quả có thể xảy ra.

+) Có 2 kết quả có thể xảy ra đối với đồng xu.

+) Có 6 kết quả có thể xảy ra đối với con xúc xắc.

Theo quy tắc nhân, số kết quả có thể xảy ra là \(2\cdot6=12\).

b. Vẽ sơ đồ hình cây và liệt kê tất cả các kết quả đó.

Vậy tất cả các kết quả có thể xảy ra là

\(S1\), \(S2\), \(S3\), \(S4\), \(S5\), \(S6\), \(N1\), \(N2\), \(N3\), \(N4\), \(N5\), \(N6\).

Ví dụ 2. Tại một nhà hàng chuyên phục vụ cơm trưa văn phòng, thực đơn có 5 món chính, 3 món phụ và 4 loại đồ uống. Tại đây, thực khách có bao nhiêu cách chọn bữa trưa gồm một món chính, một món phụ và một loại đồ uống?

Thực khách thực hiện 3 công đoạn.

+) Công đoạn 1. Chọn món chính: có 5 cách chọn.

+) Công đoạn 2. Chọn món phụ: có 3 cách chọn.

+) Công đoạn 3. Chọn đồ uống: có 4 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn của thực khách bằng \(5\cdot3\cdot4=60\) cách chọn.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ?