Bài 3. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Học xong bài này các em có thể
- Giải được phương trình có dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\).
- Giải được phương trình có dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e\).
1. Phương trình dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\), ta tiến hành theo các bước sau
Bước 1. Bình phương hai vế của phương trình để khử căn, ta được phương trình \[ax^2+bx+c=dx^2+ex+f.\]
Bước 2. Giải phương trình nhận được từ bước 1.
Bước 3. Thử lại các giá trị \(x\) tìm được ở bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình \(\sqrt{-2x^2-2x+11}=\sqrt{-x^2+3}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
\[\begin{aligned} &-2x^2-2x+11 = -x^2+3\\ \Leftrightarrow\ &x^2+2x-8=0\\ \Leftrightarrow\ &x=2\ \vee\ x=-4. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy cả hai giá trị \(x=2\) và \(x=-4\) đều không thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình \(\sqrt{2x^2-6x-8}= \sqrt{x^2-5x-2}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
\[\begin{aligned} &2x^2-6x-8 = x^2-5x-2\\ \Leftrightarrow\ & x^2-x-6=0\\ \Leftrightarrow\ & x=-2\ \vee\ x=3. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy chỉ có \(x=-2\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=-2\).
Ví dụ 3. Giải phương trình \(\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{2-x^2}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &x^2+x-1 = 2-x^2\\ \Leftrightarrow\ &2x^2+x-3=0\\ \Leftrightarrow\ &x=1\ \vee\ x=-\dfrac{3}{2}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy chỉ có \(x=1\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\).
2. Phương trình dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e\)
Để giải phương trình \(\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e\), ta tiến hành theo các bước sau
Bước 1. Bình phương hai vế của phương trình để khử căn, thu được phương trình \[ax^2+bx+c=(dx+e)^2.\]
Bước 2. Giải phương trình nhận được ở bước 1.
Bước 1. Thử lại các giá trị \(x\) tìm được ở bước 2 có thỏa mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình \(\sqrt{-x^2+x+1}=x\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
\[\begin{aligned} &-x^2+x+1=x^2\\ \Leftrightarrow\ &-2x^2+x+1=0\\ \Leftrightarrow\ & x=1\ \vee\ x=-\dfrac{1}{2}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy chỉ có \(x=1\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1\).
Ví dụ 2. Giải phương trình \(\sqrt{3x^2+5x-13}=x+1.\)
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
\[\begin{aligned} &3x^2+5x-13=(x+1)^2\\ \Leftrightarrow\ &3x^2+5x-13=x^2+2x+1\\ \Leftrightarrow\ &2x^2+3x-14=0\\ \Leftrightarrow\ & x=2\ \vee\ x=-\dfrac{7}{2}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy chỉ có \(x=2\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2\).
Ví dụ 3. Giải phương trình \(\sqrt{3x^2+27x-41}=2x+3.\)
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được
\[\begin{aligned} &3x^2+27x-41=(2x+3)^2\\ \Leftrightarrow\ &3x^2+27x-41=4x^2+12x+9\\ \Leftrightarrow\ &-x^2+15x-50=0\\ \Leftrightarrow\ &x=10\ \vee\ x=5. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x=10\) và \(x=5\).
BÀI TẬP
Dạng 1. Giải phương trình dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{dx^2+ex+f}\)
Ví dụ 1. Giải phương trình \(\sqrt{11x^2-14x-12}=\sqrt{3x^2+4x-7}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &11x^2-14x-12 = 3x^2+4x-7\Leftrightarrow 8x^2-18x-5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}\ \vee\ x=-\dfrac{1}{4}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy chỉ có \(x=\dfrac{5}{2}\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{5}{2}\).
Ví dụ 2. Giải phương trình \(\sqrt{x^2+x-42}=\sqrt{2x-30}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &x^2+x-42 = 2x-30\Leftrightarrow x^2-x-12=0\Leftrightarrow x=4\ \vee\ x=-3. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy cả hai giá trị \(x=4\) và \(x=-3\) đều không thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình \(2\sqrt{x^2-x-1}=\sqrt{x^2+2x+5}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &4(x^2-x-1) = x^2+2x+5\Leftrightarrow 3x^2-6x-9=0\Leftrightarrow x=-1\ \vee\ x=3. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=-1\) và \(x=3\).
Ví dụ 4. Giải phương trình \(3\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{7x^2+2x-5}=0\).
Phương trình đã cho tương đương \(3\sqrt{x^2+x-1} = \sqrt{7x^2+2x-5}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &9(x^2+x-1) = 7x^2+2x-5\Leftrightarrow 2x^2+7x-4=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ \vee\ x=-4. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy chỉ có \(x=-4\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=-4\).
Ví dụ 5. Giải phương trình \(\sqrt{2x^2-4x-2} = \sqrt{x^2-x-2}\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &2x^2-4x-2 = x^2-x-2\Leftrightarrow x^2-3x=0\Leftrightarrow x=0\ \vee\ x=3. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy chỉ có \(x=3\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=3\).
Bài tập. Giải các phương trình sau
a. \(\sqrt{3x^2-6x+1} = \sqrt{-2x^2-9x+1}\).
b. \(\sqrt{2x^2-3x-5} = \sqrt{x^2-7}\).
c. \(\sqrt{3x^2-4x-1} = \sqrt{2x^2-4x+3}\).
d. \(\sqrt{x^2+2x-3} = \sqrt{-2x^2+5}\).
e. \(\sqrt{2x^2+3x-3} = \sqrt{-x^2-x+1}\).
f. \(\sqrt{-x^2+5x-4} = \sqrt{-2x^2+4x+2}\).
g. \(\sqrt{3x^2+6x+3} = \sqrt{2x^2-5x+3}\).
h. \(\sqrt{2x^2-3x+1} = \sqrt{x^2+2x-3}\).
i. \(\sqrt{3+2x-x^2} = \sqrt{x^2-4x+3}\).
j. \(\sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{1-x}\).
Dạng 2. Giải phương trình dạng \(\sqrt{ax^2+bx+c}=dx+e\)
Ví dụ 1. Giải phương trình \(\sqrt{x^2+3x+1}=3\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &x^2+3x+1 = 9\Leftrightarrow x^2+3x-8=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{2}\ \vee\ x=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{2}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{-3-\sqrt{41}}{2}\) và \(x=\dfrac{-3+\sqrt{41}}{2}\).
Ví dụ 2. Giải phương trình \(\sqrt{x^2-x-4}=x+2\).
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &x^2-x-4 = (x+2)^2\Leftrightarrow x^2-x-4=x^2+4x+4\Leftrightarrow -5x-8=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy \(x=-\dfrac{8}{5}\) không thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình \(2+\sqrt{12-2x}=x\).
Phương trình đã cho tương đương \(\sqrt{12-2x} = x-2.\)
\(\bullet\quad\) Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &12-2x = (x-2)^2\Leftrightarrow 12-2x=x^2-4x+4\Leftrightarrow -x^2+2x+8=0\Leftrightarrow x=4\ \vee\ x=-2. \end{aligned}\]
\(\bullet\quad\) Thử lại, ta thấy chỉ có \(x=4\) thỏa mãn phương trình đã cho.
\(\bullet\quad\) Vậy phương trình có nghiệm \(x=4\).
Ví dụ 4. Giải phương trình \(\sqrt{2x^2-3x-10}=-5\).
Với điều kiện xác định thì vế trái không âm còn vế phải âm, do đó phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập. Giải các phương trình sau
a. \(\sqrt{6x^2+13x+13} = 2x+4\).
b. \(\sqrt{2x^2+5x+3} = -x-3\).
c. \(\sqrt{3x^2-17x+23} = x-3\).
d. \(\sqrt{-x^2+2x+4} = x-2\).
e. \(\sqrt{-x^2+9x-5} = x\).
f. \(\sqrt{3x^2+6x+3} = 2x+1\).
g. \(\sqrt{2x^2-3x+1} = x-1\).
h. \(\sqrt{-x^2-3x+3} = x\).
i. \(\sqrt{3x^2-4x+4} = 3x+2\).
j. \(\sqrt{x-1} = x-3\).
Dạng 3. Ứng dụng
Ví dụ 1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB\) ngắn hơn \(AC\) là 2 cm.
a. Biểu diễn độ dài cạnh huyền \(BC\) theo \(AB\).
b. Biết chu vi của tam giác \(ABC\) là 24 cm. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.
a. Biểu diễn độ dài cạnh huyền \(BC\) theo \(AB\).
Đặt \(x=AB\). Khi đó \(AC=x+2\).
Theo định lý Pitago, ta có \[\begin{aligned}BC=\ &\sqrt{AB^2+AC^2} =\sqrt{x^2+(x+2)^2}\\ =\ &\sqrt{x^2+x^2+4x+4}=\sqrt{2x^2+4x+4}.\end{aligned}\]
b. Tìm độ dài ba cạnh của tam giác đó.
Vì chu vi của tam giác \(ABC\) bằng 24 cm nên ta có
\[\begin{aligned} &x+(x+2)+\sqrt{2x^2+4x+4}=24\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+4x+4}=22-2x. \end{aligned}\]
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\[\begin{aligned} &2x^2+4x+4=(22-2x)^2\\ \Leftrightarrow\ &2x^2+4x+4=484-88x+4x^2\\ \Leftrightarrow\ &-2x^2+92x-480=0\\ \Leftrightarrow\ &x=40\ \vee\ x=6. \end{aligned}\]
Thử lại ta thấy \(x=6\) thỏa mãn phương trình.
Vậy độ dài của ba cạnh là \(AB=6\) cm, \(AC=8\) cm, \(BC=10\) cm.
Ví dụ 2. Một con tàu biển \(M\) rời cảng \(O\) và chuyển động thẳng theo phương tạo với bờ biển một góc \(60^\circ\). Trên bờ biển có hai đài quan sát \(A\) và \(B\) nằm về hai phía so với cảng \(O\) và lần lượt cách cảng \(O\) khoảng cách 1 km và 2 km (xem hình bên).
a. Đặt độ dài của \(MO\) là \(x\) km. Biểu diễn khoảng cách từ tàu đến \(A\) và từ tàu đến \(B\) theo \(x\).
b. Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) bằng \(\dfrac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến \(A\).
c. Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến \(O\) đúng 500 m.
(Lưu ý: làm tròn đến hàng phần trăm.)
a. Biểu diễn \(MA\) và \(MB\) qua \(x\)
Áp dụng định lý côsin, ta có
\[\begin{aligned} AM=\ &\sqrt{AO^2+OM^2-2AO\cdot OM\cos\widehat{AOM}}=\sqrt{1^2+x^2-2\cdot 1\cdot x\cos120^\circ}\\ =\ &\sqrt{1+x^2+x}=\sqrt{x^2+x+1}.\\ BM=\ &\sqrt{BO^2+OM^2-2BO\cdot OM\cos\widehat{BOM}}=\sqrt{2^2+x^2-2\cdot 2\cdot x\cos60^\circ}\\ =\ &\sqrt{4+x^2-2x}=\sqrt{x^2-2x+4}. \end{aligned}\]
b. Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) bằng \(\dfrac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến \(A\).
Theo giả thiết ta có
\[\begin{aligned} &BM=\dfrac{4}{5}AM\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+4}=\dfrac{4}{5}\cdot\sqrt{x^2+x+1}. \end{aligned}\]
Bình phương hai vế của phương trình, ta được
\[\begin{aligned} &x^2-2x+4=\dfrac{16}{25}\cdot(x^2+x+1)\\ \Leftrightarrow\ &25(x^2-2x+4)=16(x^2+x+1)\\ \Leftrightarrow\ &9x^2-66x+84=0\\ \Leftrightarrow\ &x\approx 5{,}69\ \vee\ x\approx 1{,}64. \end{aligned}\]
Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy có hai giá trị \(x\) cần tìm là \(x\approx 5{,}69\) km và \(x\approx 1{,}64\) km.
c. Tìm \(x\) để khoảng cách từ tàu đến \(B\) nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến \(O\) đúng 500 m.
Theo giả thiết bài toán thì
\(MB=MO-0{,}5\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x+4}=x-0{,}5.\)
Bình phương hai vế, ta được
\[x^2-2x+4=x^2-x+0{,}25\Leftrightarrow -x+3{,}75=0\Leftrightarrow x=3{,}75\ km.\]
Ví dụ 3. Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB\perp CD\), \(AB=2\), \(BC=13\), \(CD=8\), \(DA=5\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\) và đặt \(x=AH\).
Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài \(x\), từ đó tính diện tích tứ giác \(ABCD\).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác \(HAD\), ta có
\[HD=\sqrt{AD^2-HA^2}=\sqrt{25-x^2}.\]
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác \(HBC\), ta có
\[\begin{aligned} BC^2=HB^2+HC^2\Leftrightarrow\ &13^2=(x+2)^2+\left[\sqrt{25-x^2}+8\right]^2\\ \Leftrightarrow\ &169=x^2+4x+4+25-x^2+16\sqrt{25-x^2}+64\\ \Leftrightarrow\ &169=4x+93+16\sqrt{25-x^2}\\ \Leftrightarrow\ &16\sqrt{25-x^2}=76-4x\\ \Leftrightarrow\ &4\sqrt{25-x^2}=19-x. \end{aligned}\]
Bình phương hai vế ta được
\[16(25-x^2)=361-38x+x^2\Leftrightarrow -17x^2+38x+39=0\Leftrightarrow x=3\ \vee\ x=-\dfrac{13}{17}\]
Vì \(x\) là độ dài cạnh nên \(x=3\).
Khi đó diện tích của tứ giác \(ABCD\) là
\[S_{ABCD}=S_{HBC}-S_{HAD}=\dfrac{1}{2}HB\cdot HC-\dfrac{1}{2}HA\cdot HD=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot12-\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=24.\]
Ví dụ 4. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \(A\) cách lề đường một khoảng 50 m để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \(B\), cách mình một đoạn 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí \(C\) trên lề đường (tham khảo hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Cần tìm vị trí điểm \(C\) sao cho thời gian đi của bạn Hùng từ \(B\) đến \(C\) bằng thời gian của bạn Minh đi từ \(A\) đến \(C\).
Thời gian của bạn Hùng đi từ \(B\) đến \(C\) là \(\dfrac{BC}{15}\).
Thời gian của bạn Minh đi từ \(A\) đến \(C\) là \(\dfrac{AC}{5}\).
Ta có \(\dfrac{BC}{15}=\dfrac{AC}{5}\Leftrightarrow BC=3AC.\quad\quad\) \((*)\)
Đặt \(x=BC\). Khi đó
\[\begin{aligned} BH=\ &\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{200^2-50^2}=50\sqrt{15}.\\ CH=\ &BH-BC=50\sqrt{15}-x.\\ AC=\ &\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{(50\sqrt{15}-x)^2+50^2}=\sqrt{37500-100\sqrt{15}x+x^2+2500}\\ =\ &\sqrt{x^2-100\sqrt{15}x+40000}. \end{aligned}\]
Thay vào \((*)\) ta được phương trình
\[\begin{aligned} &x=3\sqrt{x^2-100\sqrt{15}x+40000}. \end{aligned}\]
Bình phương hai vế, ta được
\[\begin{aligned} &x^2=9(x^2-100\sqrt{15}x+40000)\\ \Leftrightarrow\ &-8x^2+900\sqrt{15}x-360000=0\\ \Leftrightarrow\ & x\approx 267{,}5m\ \vee\ x\approx 168{,}2m. \end{aligned}\]
Do \(x < BH=50\sqrt{15}\approx 193{,}6\) nên nhận \(x=168{,}2m.\)
Vậy \(C\) cách \(B\) một khoảng bằng \(168{,}2\) mét.