Bài 2. GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Học xong bài này các em có thể
- Xác định được bất phương trình bậc hai một ẩn.
- Hiểu được khái niệm về nghiệm của bất phương trình bậc hai.
- Biết cách giải một bất phương trình bậc hai một ẩn.
1. Bất phương trình bậc hai một ẩn
Bất phương trình bậc hai một ẩn \(x\) là bất phương trình có một trong các dạng sau \[ax^2+bx+c > 0,\ ax^2+bx+c < 0,\ ax^2+bx+c\geq 0,\ ax^2+bx+c\leq 0\quad (\text{với}\ a\neq 0).\]
Nghiệm của bất phương trình bậc hai là các giá trị của biến \(x\) mà khi thay vào bất phương trình ta được bất đẳng thức đúng.
Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập hợp các nghiệm của bất phương trình đó.
Ví dụ 1. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? \[2x-3x^2\leq 0,\ x^2-x-1 < 0,\ x^3-x^2 < 0,\ -2x^2+3 > 0,\ 1-2x\geq 0,\ x^2-\sqrt{3}\leq 0.\]
Trong các bất phương trình đã cho, có các bất phương trình bậc hai một ẩn là \[2x-3x^2\leq 0,\ x^2-x-1 < 0,\ -2x^2+3 > 0,\ x^2-\sqrt{3}\leq 0.\]
Ví dụ 2. Cho bất phương trình \(x^2-3x-1 > 0\). Trong các giá trị \(x=1\), \(x=-2\), \(x=3\), \(x=4\), giá trị nào là nghiệm của bất phương trình đã cho?
Lần lượt thay các giá trị đã cho vào bất phương trình ta được
\(\bullet\quad\) \(1^2-3\cdot 1-1 > 0\Leftrightarrow -3 > 0\), sai. Suy ra \(x=1\) không phải là nghiệm.
\(\bullet\quad\) \((-2)^2-3\cdot (-2)-1 > 0\Leftrightarrow 9 > 0\), đúng. Suy ra \(x=-2\) là nghiệm.
\(\bullet\quad\) \(3^2-3\cdot 3-1 > 0\Leftrightarrow -1 > 0\), sai. Suy ra \(x=3\) không phải là nghiệm.
\(\bullet\quad\) \(4^2-3\cdot 4-1 > 0\Leftrightarrow 3 > 0\), đúng. Suy ra \(x=4\) là nghiệm.
2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn
Để giải bất phương trình \(ax^2+bx+c > 0\) (\(a\neq 0\)), ta tiến hành theo các bước sau
Bước 1. Giải phương trình \(ax^2+bx+c = 0\) để tìm tất cả các nghiệm của nó.
Bước 2. Lập bảng xét dấu của vế trái.
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu, chọn các khoảng giá trị của \(x\) sao cho tam thức \(ax^2+bx+c\) mang dấu dương.
Bước 4. Các khoảng giá trị của \(x\) tìm được ở bước 3 chính là tập nghiệm cần tìm.
Chú ý: Các bất phương trình còn lại có cách giải tương tự.
Ví dụ 1. Giải bất phương trình \(x^2+4x-5\geq 0\).
Ta có \[x^2+4x-5=0\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=-5.\]
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty;-5]\cup [1;+\infty)\).
Ví dụ 2. Giải bất phương trình \(-x^2+5x-6\geq 0\).
Ta có \[-x^2+5x-6= 0\Leftrightarrow x=2\ \vee\ x=3.\]
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=[2;3]\).
Ví dụ 3. Giải bất phương trình \(4x^2-4x+1 < 0\).
Ta có phương trình \(4x^2-4x+1 = 0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\) là nghiệm kép.
Bảng xét dấu vế trái
Từ bảng xét dấu ta thấy không tồn tại giá trị nào của \(x\) để vế trái mang dấu âm.
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình \(-x^2+6x-9\leq 0\).
Ta có \(-x^2+6x-9=0\Leftrightarrow x=3\) là nghiệm kép.
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\mathbb{R}\).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình \(x^2-4 \geq 0\).
Ta có \[x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm 2.\]
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\).
Ví dụ 6. Giải bất phương trình \(x^2-25 < 0\).
Ta có \[x^2-25=0\Leftrightarrow x=\pm 5.\]
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-5;5)\).
Chú ý.
\(\bullet\quad\) \(x^2-a > 0\Leftrightarrow x^2 > a \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} &x < -\sqrt{a}\\ &x > \sqrt{a}\end{aligned}\right.\) (với \(a>0\)).
\(\bullet\quad\) \(x^2-a < 0\Leftrightarrow x^2 < a \Leftrightarrow -\sqrt{a} < x < \sqrt{a}\) (với \(a>0\)).
Ví dụ 7. Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)=x^2-2x-3\) như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình \(x^2-2x-3\leq 0\).
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=[-1;3]\).
Ví dụ 8. Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^2+2x-1\) như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình \(-x^2+2x-1 < 0\).
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
BÀI TẬP
Dạng 1. Giải bất phương trình bậc hai
Ví dụ 1. Dựa vào đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^2+2{,}5x-1{,}5\) như hình bên dưới.
Giải bất phương trình \(x^2+2{,}5x-1{,}5 \leq 0\).
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left[-3;\dfrac{1}{2}\right]\).
Ví dụ 2. Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-x^2-8x-16\) như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình \[-x^2-8x-16 < 0.\]
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\mathbb{R}\setminus\{-4\}\).
Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)=-2x^2+11x-12\) như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình \[-2x^2+11x-12 > 0.\]
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\left(\dfrac{3}{2};4\right)\).
Ví dụ 4. Cho đồ thị của hàm số \(y=f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1\) như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình \[\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+1 \leq 0.\]
Dựa vào đồ thị ta thấy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S=\varnothing\).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình \(2x^2-15x+28 \geq 0\).
Ta có \(2x^2-15x+28=0\Leftrightarrow x=4\ \vee\ x=\dfrac{7}{2}.\)
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left(-\infty;\dfrac{7}{2}\right]\cup [4;+\infty).\)
Ví dụ 6. Giải bất phương trình \(-2x^2+19x+255 > 0\).
Ta có \(-2x^2+19x+255=0\Leftrightarrow x=17\ \vee\ x=-\dfrac{15}{2}.\)
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left(-\dfrac{15}{2};17\right).\)
Ví dụ 7. Giải bất phương trình \(12x^2 < 12x-8\).
Ta có \(12x^2 < 12x-8\Leftrightarrow 12x^2-12x+8 < 0.\)
Và phương trình \(12x^2-12x+8=0\) vô nghiệm.
Từ đó ta có bảng xét dấu của vế trái như sau
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\varnothing.\)
Ví dụ 8. Giải bất phương trình \(x^2+x-1 \geq 5x^2-3x\).
Ta có \(x^2+x-1 \geq 5x^2-3x\Leftrightarrow x^2+x-1-5x^2+3x\geq 0\Leftrightarrow -4x^2+4x-1\geq 0\).
Và phương trình \(-4x^2+4x-1=0\) có nghiệm kép \(x=\dfrac{1}{2}\).
Từ đó ta có bảng xét dấu của vế trái như sau
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}.\)
Ví dụ 9. Giải bất phương trình \((x^2+3x+2)(x^2-1)\leq 0\).
Ta có các phương trình \[\begin{aligned}&x^2+3x+2 = 0\Leftrightarrow x=-1\ \vee\ x=-2;\\ &x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1.\end{aligned}\]
Suy ra vế trái có ba nghiệm \(x=-2,\ x=-1\) và \(x=1\). Trong đó \(x=-1\) là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn.
Bảng xét dấu vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=[-2;1]\).
Ví dụ 10. Giải bất phương trình \((x^2-3x+2)(4-x^2) > 0\).
Ta có các phương trình \[\begin{aligned}&x^2-3x+2 = 0\Leftrightarrow x=1\ \vee\ x=2;\\ &x^2-4=0\Leftrightarrow x=\pm 2.\end{aligned}\]
Suy ra vế trái có \(x=2\) là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn.
Bảng xét dấu vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-1;1)\).
Ví dụ 11. Giải bất phương trình \(\dfrac{x^2-4x-5}{x^2+4x+4} \geq 0\).
Ta có các phương trình \[\begin{aligned}&x^2-4x-5 = 0\Leftrightarrow x=-1\ \vee\ x=5;\\ &x^2+4x+4=0\Leftrightarrow x=-2.\end{aligned}\]
Suy ra vế trái có \(x=-2\) là nghiệm kép, còn lại là nghiệm đơn.
Bảng xét dấu vế trái
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty;-2)\cup (-2;-1]\cup [5;+\infty)\).
Bài tập. Giải các bất phương trình sau
a. \(x^2-5x+6\geq 0\).
b. \(-3x^2+2x+1 < 0\).
c. \(-36x^2-12x-1 \geq 0\).
d. \(-2x^2+3x-2 > 0\).
e. \(x^2+9 > 6x\).
f. \(6x+7 \leq x^2\).
Dạng 2. Ứng dụng
Ví dụ 1. Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 m\(^2\). Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?
Gọi \(x\) là chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện \(0 < x < 7{,}5\).
Khi đó chiều dài của mảnh vườn là \(15 - x\).
Suy ra diện tích của mảnh đất trồng hoa là \(x(15-x)=15x-x^2\).
Theo giả thiết suy ra \(15x-x^2\geq 50\Leftrightarrow -x^2+15x-50 \geq 0.\)
Ta có \(-x^2+15x-50=0\Leftrightarrow x=10\ (\text{loại})\ \vee\ x=5\ (\text{nhận})\).
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy chiều rộng của mảnh vườn cần tìm thuộc khoảng \([5;7{,}5]\).
Ví dụ 2. Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao \(1{,}6\) m so với mặt đất với vận tốc \(10\) m/s. Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau \(t\) giây được cho bởi hàm số \(h(t)=-4{,}9t^2+10t+1{,}6\). Hỏi:
a. Bóng có thể bay cao trên 7 m không?
b. Bóng ở độ cao trên 5 m trông khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
a. Bóng có thể bay cao trên 7 m không?
Để trả lời câu hỏi, ta cần lập bảng biến thiên của hàm số \(h(t)\) để tìm giá trị lớn nhất.
Ta có \(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{50}{49}\approx 1{,}02\) và \(-\dfrac{\Delta}{4a}=\dfrac{1642}{245}\approx 6{,}7.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max{h(t)}\approx 6{,}7 < 7\), suy ra bóng không thể bay cao trên 7 mét.
b. Bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Để trả lời câu hỏi ta cần giải bất phương trình
\[h(t) > 5\Leftrightarrow -4{,}9t^2+10t+1{,}6 > 5\Leftrightarrow -4{,}9t^2+10t-3{,}4 > 0.\]
Ta có \(-4{,}9t^2+10t-3{,}4=0 \Leftrightarrow t\approx 0{,}43\ \vee\ t\approx 1{,}61\).
Bảng xét dấu của vế trái
Vậy bóng ở độ cao trên \(5\) mét khi thời gian \(t\in (0{,}43;1{,}61)\), tức là được khoảng \(1{,}61-0{,}43=1{,}18\) giây.
Ví dụ 3. Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa đễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số \(y=-0{,}006x^2\) với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như trong hình bên dưới.
Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15 cm?
Từ yêu cầu bài toán ta có \(|b| \leq 15\).
Vì điểm \(A(a;b)\) thuộc parabol nên \(b=-0{,}006a^2\).
Từ đó suy ra \[|b| \leq 15\Leftrightarrow |-0{,}006a^2| \leq 15\Leftrightarrow |0{,}006a^2| \leq 15\Leftrightarrow 0{,}006a^2 \leq 15\Leftrightarrow a^2\leq 2500\Leftrightarrow -50\leq a\leq 50.\]
Vậy chiều rộng của lề đường không vượt quá \(100\) mét.