Bài 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Học xong bài này các em có thể
- Nhận biết được tam thức bậc hai một ẩn.
- Biết cách xét dấu của tam thức bậc hai.
1. Tam thức bậc hai
Đa thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các hệ số, \(a\neq 0\) và \(x\) là biến số được gọi là tam thức bậc hai.
Ví dụ 1. Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai biến \(x\)? \[f(x)=2x^2-3x+1,\ g(x)=4-x^2,\ h(x)=5x^2,\ k(x)=x^2-x^3.\]
Các tam thức bậc hai là \[f(x)=2x^2-3x+1,\ g(x)=4-x^2,\ h(x)=5x^2.\]
Chú ý.
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq 0\)). Khi thay \(x\) bằng giá trị \(x_0\) vào \(f(x)\), ta được \(f(x_0)=ax_0^2+bx_0+c\), gọi là giá trị của \(f(x)\) tại điểm \(x_0\).
\(\bullet\quad\) Nếu \(f(x_0) > 0\) thì ta nói \(f(x)\) dương tại \(x_0\).
\(\bullet\quad\) Nếu \(f(x_0) < 0\) thì ta nói \(f(x)\) âm tại \(x_0\).
\(\bullet\quad\) Nếu \(f(x)\) luôn dương (hoặc luôn âm) tại mọi điểm \(x\) thuộc khoảng hoặc đoạn thì ta nói \(f(x)\) luôn dương (hoặc âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.
Ví dụ 2. Cho tam thức bậc hai \(f(x)=2x^2-5x+3\). Tính giá trị của hàm số lần lượt tại các điểm \(x=1\), \(x=2\), \(x=3\) và \(x=-4\).
Ta có
\(\bullet\quad\) \(f(1)=2\cdot 1^2-5\cdot 1+3=0.\)
\(\bullet\quad\) \(f(2)=2\cdot 2^2-5\cdot 2+3=1.\)
\(\bullet\quad\) \(f(3)=2\cdot 3^2-5\cdot 3+3=6.\)
\(\bullet\quad\) \(f(-4)=2\cdot (-4)^2-5\cdot (-4)+3=55.\)
Chú ý.
Nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\) cũng là nghiệm của tam thức \(f(x)=ax^2+bx+c\).
Biểu thức \(\Delta=b^2-4ac\) và \(\Delta'=\left(\dfrac{b}{2}\right)^2-ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của \(f(x)\).
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Dưới đây là đồ thị của hàm số \(f(x)=ax^2+bx+c\). Quan sát và hãy cho biết:
\(\bullet\quad\) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta\).
\(\bullet\quad\) Các khoảng giá trị của \(x\) mà trên đó \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) của \(x^2\).
Đối với hình 1.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) vô nghiệm, biệt thức \(\Delta < 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Đối với hình 2.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) có nghiệm kép \(x=1\), biệt thức \(\Delta = 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\setminus \{1\}\).
Đối với hình 3.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x=-1\) và \(x=3\), biệt thức \(\Delta > 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x < -1\) hoặc \(x > 3\), \(f(x)\) trái dấu với \(a\) với \(-1 < x < 3\).
Đối với hình 4.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) vô nghiệm, biệt thức \(\Delta < 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Đối với hình 5.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) có nghiệm kép \(x=1\), biệt thức \(\Delta = 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\setminus \{1\}\).
Đối với hình 6.
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x=-3\) và \(x=1\), biệt thức \(\Delta > 0\).
\(\bullet\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x < -3\) hoặc \(x > 1\), \(f(x)\) trái dấu với \(a\) với \(-3 < x < 1\).
Định lí.
Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)).
\(\bullet\quad\) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\).
\(\bullet\quad\) Nếu \(\Delta = 0\) và \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) là nghiệm kép thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi giá trị \(x\neq x_0\).
\(\bullet\quad\) Nếu \(\Delta > 0\) và \(x_1\), \(x_2\) là hai nghiệm của \(f(x)\) (với \(x_1 < x_2\)) thì
\(+\quad\) \(f(x)\) trái dấu với \(a\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \((x_1;x_2)\);
\(+\quad\) \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\) thuộc khoảng \((-\infty;x_1)\), \((x_2;+\infty)\).
Chú ý. Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\) ta có hai cách:
Cách 1. Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta\).
Bước 2. Xác định nghiệm của \(f(x)\) (nếu có).
Bước 3. Xác định dấu của hệ số \(a\).
Bước 4. Xác định dấu của \(f(x)\).
Cách 2. Thực hiện theo các bước sau
Bước 1. Tìm tất cả các nghiệm \(x_1\), \(x_2\) (\(x_1\leq x_2)\) của \(f(x)\) (nếu có) và xác định tính chất của từng nghiệm (nghiệm đơn hay nghiệm kép).
Bước 2. Nếu \(f(x)\) vô nghiệm thì kết luận dấu của \(f(x)\) cùng dấu với \(a\), kết thúc. Còn nếu \(f(x)\) có nghiệm thì chuyển sang bước 3.
Bước 3. Xác định dấu của \(f(x)\) trên khoảng vô hạn \((x_2;+\infty)\): cùng dấu với \(a\).
Bước 4. Xác định dấu của \(f(x)\) trên các khoảng còn lại theo quy tắc sau: qua nghiệm đơn thì \(f(x)\) đổi dấu, còn qua nghiệm kép thì \(f(x)\) không đổi dấu.
Ví dụ 1. Xét dấu tam thức \(f(x)=-x^2+3x+10\).
Ta có \(-x^2+3x+10=0\Leftrightarrow x=-2,\ x=5\).
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x)\) dương trên khoảng \((-2;5)\) và âm trên hai khoảng \((-\infty;-2)\), \((5;+\infty)\).
Ví dụ 2. Xét dấu tam thức \(f(x)=x^2-2x+2\).
Ta có \(x^2-2x+2=0\) vô nghiệm.
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x)\) dương trên \(\mathbb{R}\).
Ví dụ 3. Xét dấu tam thức \(f(x)=-x^2+4x-4\).
Ta có \(-x^2+4x-4=0\Leftrightarrow x=2\) là nghiệm kép.
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x)\) âm trên hai khoảng \((-\infty;2)\), \((2;+\infty)\).
Ví dụ 4. Xét dấu tam thức \(f(x)=x^2+3x-4\).
Ta có \(x^2+3x-4=0\Leftrightarrow x=1,\ x=-4\).
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x)\) âm trên khoảng \((-4;1)\) và dương trên hai khoảng \((-\infty;-4)\), \((1;+\infty)\).
BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định tam thức bậc hai
Ví dụ 1. Đa thức nào dưới đây là tam thức bậc hai? \[f(x)=4x^2-2x-1,\ g(x)=-3x^2+5x+2,\ k(x)=x^3+2x^2-6,\ h(x)=2x-3x^2.\]
Các đa thức là tam thức bậc hai là \[f(x)=4x^2-2x-1,\ g(x)=-3x^2+5x+2,\ h(x)=2x-3x^2.\]
Ví dụ 2. Xác định \(m\) để đa thức \(f(x)=(m-1)x^2+3x-2\) là tam thức bậc hai.
\(f(x)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(a\neq 0\Leftrightarrow m-1\neq 0\Leftrightarrow m\neq 1\).
Ví dụ 3. Xác định \(m\) để đa thức \(f(x)=(m^2-m-2)x^2+4mx+3\) là tam thức bậc hai.
\(f(x)\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(a\neq 0\Leftrightarrow m^2-m-2\neq 0\Leftrightarrow \begin{cases}m\neq -1\\ m\neq 2.\end{cases}\)
Ví dụ 4. Xác định \(m\) để đa thức \(f(x)=-x^2+(m+2)x+3\) là tam thức bậc hai.
Vì hệ số của \(x^2\) là \(a=-1\) luôn khác \(0\) với mọi \(m\) nên \(f(x)\) là tam thức bậc hai với mọi \(m\).
Dạng 2. Xét dấu tam thức bậc hai
Ví dụ 1. Hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau
Ví dụ 2. Hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau
Ví dụ 3. Hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau
Ví dụ 4. Hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f(x)\) có đồ thị như hình bên dưới.
Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau
Ví dụ 5. Xét dấu tam thức \(f(x)=2x^2+4x+2\).
Ta có \(2x^2+4x+2=0\Leftrightarrow x=-1\) (nghiệm kép).
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x)>0\Leftrightarrow x\in (-\infty;-1)\cup (-1;+\infty)\).
Ví dụ 6. Xét dấu tam thức \(f(x)=-3x^2+2x+21\).
Ta có \(-3x^2+2x+21=0\Leftrightarrow x=3,\ x=-\dfrac{7}{3}\).
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x) < 0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;-\dfrac{7}{3}\right)\cup (3;+\infty)\), \(f(x) > 0 \Leftrightarrow x\in \left(-\dfrac{7}{3};3\right)\).
Ví dụ 7. Xét dấu tam thức \(f(x)=(2x+5)(x-2)\).
Ta có \((2x+5)(x-2)=0\Leftrightarrow x=2,\ x=-\dfrac{5}{2}\).
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x) > 0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;-\dfrac{5}{2}\right)\cup (2;+\infty)\), \(f(x) < 0 \Leftrightarrow x\in \left(-\dfrac{5}{2};2\right)\).
Ví dụ 8. Xét dấu tam thức \(f(x)=-4x(x+3)-9\).
Ta có \(f(x)=-4x(x+3)-9=-4x^2-12x-9\). Suy ra \[f(x)=0\Leftrightarrow -4x^2-12x-9=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}.\]
Bảng xét dấu của \(f(x)\)
Vậy \(f(x) < 0\Leftrightarrow x\in \left(-\infty;-\dfrac{3}{2}\right)\cup \left(-\dfrac{3}{2};+\infty\right)\).
Dạng 3. Ứng dụng
Ví dụ 1.
Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được \(x\) mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h(x)=-0{,}1x^2+x-1\). Trong các khoảng nào của \(x\) thì bóng nằm cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười, \(h\) là chiều cao của rổ.
Ta có \[-0{,}1x^2+x-1=0\Leftrightarrow x=5-\sqrt{5}\approx 1{,}1\ \vee\ x=5+\sqrt{5}\approx 8{,}9.\]
Bảng xét dấu
Vậy:
\(\bullet\quad\) Bóng nằm cao hơn vành rổ khi \(x\in (1{,}1;8{,}9)\).
\(\bullet\quad\) Bóng nằm ngang vành rổ khi \(x=1{,}1\) hoặc \(x=8{,}9\).
\(\bullet\quad\) Bóng nằm dưới vành rổ khi \(x\in (0;1{,}1)\cup (8{,}9;+\infty)\).
Ví dụ 2. Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài \(20\) cm và chiều rộng \(15\) cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước \((20+x)\) cm và \((15-x)\) cm. Với \(x\) nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên, không thay đổi, giảm đi?
Do các chiều của hình chữ nhật phải dương nên \(-20 < x < 15\).
\(\bullet\quad\) Diện tích của hình chữ nhật lúc đầu: \(S_1=20\cdot15=300\) (cm\(^2\)).
\(\bullet\quad\) Diện tích của hình chữ nhật lúc sau: \(S_2=(20+x)(15-x)=300-5x-x^2\) (cm\(^2\)).
Xét hiệu \(S(x)=S_2-S_1=-5x-x^2\). Ta có \[-5x-x^2=0\Leftrightarrow x=0,\ x=-5.\]
Bảng xét dấu của \(S(x)\)
Vậy
\(\bullet\quad\) Với \(x\in (-20;-5)\cup (0;15)\) thì \(S(x) < 0\Leftrightarrow S_2-S_1 < 0\Leftrightarrow S_2 < S_1.\) Tức là diện tích của khung mới nhỏ hơn diện tích của khung ban đầu.
\(\bullet\quad\) Với \(x\in (-5;0)\) thì \(S(x) > 0\Leftrightarrow S_2-S_1 > 0\Leftrightarrow S_2 > S_1.\) Tức là diện tích của khung mới lớn hơn diện tích của khung ban đầu.
\(\bullet\quad\) Với \(x=-5\) hoặc \(x=0\) thì \(S(x) = 0\Leftrightarrow S_2-S_1 = 0\Leftrightarrow S_2 = S_1.\) Tức là diện tích của khung mới bằng diện tích của khung ban đầu.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với mọi số thực \(m\) ta luôn có \(9m^2+2m > -3\).
Ta có \(9m^2+2m > -3\Leftrightarrow 9m^2+2m+3 > 0\).
Xét tam thức bậc hai \(f(m)=9m^2+2m+3\). Ta có phương trình \[9m^2+2m+3=0\ \text{vô nghiệm.}\]
Bảng xét dấu của \(f(m)\)
Từ bảng xét dấu suy ra \[f(m) > 0,\ \forall m\in\mathbb{R}\Leftrightarrow 9m^2+2m+3 > 0,\ \forall m\in\mathbb{R}\Leftrightarrow 9m^2+2m > -3,\ \forall m\in\mathbb{R}.\]
Ví dụ 4. Tìm giá trị \(m\) để \(2x^2+3x+m+1 > 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Tam thức \(2x^2+3x+m+1\) có hệ số \(a=2 > 0\) nên nó mang dấu dương trên toàn \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\Delta < 0\Leftrightarrow 3^2-4\cdot2(m+1) < 0\Leftrightarrow 9-8m-8 < 0 \Leftrightarrow -8m < -1\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{8}.\]
Ví dụ 5. Tìm giá trị \(m\) để \(-x^2+4x+2m-1 \leq 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).
Tam thức \(-x^2+4x+2m-1\) có hệ số \(a=-1 < 0\) nên \(-x^2+4x+2m-1 \leq 0\) trên toàn \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\Delta' \leq 0\Leftrightarrow 2^2+(2m-1) \leq 0\Leftrightarrow 4+2m-1 \leq 0 \Leftrightarrow 2m \leq -3\Leftrightarrow m \leq -\dfrac{3}{2}.\]