CĐ-1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Ta có \[f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=0\ (\text{đơn})\\ &x=2\ (\text{kép}) \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\).

Ta có \[f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=0\ (\text{đơn})\\ &x=-1\ (\text{kép}) \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\).

Ta có \[f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=1\ (\text{kép})\\ &x=-1\ (\text{bội 3})\\ &x=3\ (\text{đơn}). \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;3)\).

Ta có \[f'(x)=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=\pm 1\\ &x=-1\\ &x=5\end{aligned}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=-1\ (\text{kép})\\ &x=1\ (\text{đơn})\\ &x=5\ (\text{đơn}). \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(f(1) < f(2) < f(4)\).

Ta có \[f'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=-1\ (\text{kép})\\ &x=1\ (\text{bội 3})\\ &x=2\ (\text{đơn}). \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số đồng biến trên hai khoảng \((-\infty;-1)\) và \((1;2)\).

Ta có \[g'(x)=-5f'(x)=-5(-x^2+5x-6)=5(x^2-5x+6).\]

Suy ra \[g'(x)=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x=2\ (\text{đơn})\\ &x=3\ (\text{đơn}) \end{aligned}\right.\]

Bảng xét dấu của đạo hàm

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((2;3)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có ba nghiệm \(x=-3\) (đơn), \(x=-2\) (đơn) và \(x=0\) (kép). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;+\infty)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có ba nghiệm đơn là \(x=-2\), \(x=0\) và \(x=2\). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có ba nghiệm đơn là \(x=-1\), \(x=1\) và \(x=4\). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;4)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có nghiệm đơn \(x=0\) và nghiệm kép \(x=3\). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có nghiệm đơn \(x=-1\) và có nghiệm kép \(x=2\). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy khẳng định sai là: hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x)\) có bốn nghiệm đơn là \(x=-4\), \(x=0\), \(x=2\) và \(x=4\). Từ đó ta có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Vậy hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;2)\).

\(\bullet\quad\) Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=(x+4)(x+1)(x-2).\]

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra \[g'(x)=2xf'(x^2-5)=2x(x^2-1)(x^2-4)(x^2-7).\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((0;1)\).

Từ bảng xét dấu của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=(x+2)(x+1)(x-2)(x-4).\]

Ta có \[g'(x)=f'(x-1)=(x+1)(x)(x-3)(x-5).\]

Bảng xét đâu của \(g'(x)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\).

\(\bullet\quad\) Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=(x+2)(x-2)(x-5).\]

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra \[g'(x)=-2f'(3-2x)=-2(5-2x)(1-2x)(-2-2x).\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x).\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\).

Từ bảng biến thiên của \(f(x)\) ta thấy \(f(x)\) có hệ số \(a < 0\), có ba cực trị là \(x=-1\), \(x=0\) và \(x=1\). Suy ra \[f'(x)=-(x+1)(x)(x-1).\]

Ta có \[g'(x)=2f'(2x+7)=-2(2x+8)(2x+7)(2x+6).\]

Bảng xét dấu của hàm \(g'(x)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-3;0)\).

\(\bullet\quad\) Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=-(x+1)(x-1)(x-4).\]

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra \[g'(x)=2xf'(x^2)=-2x(x^2+1)(x^2-1)(x^2-4).\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x).\)

Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\displaystyle\frac{1}{2};0\right)\).

\(\bullet\quad\) Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=-(x+1)(x-1)(x-2)(x-4).\]

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra \[g'(x)=-f'(1-x)=(2-x)(x)(-1-x)(-3-x).\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x).\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\).

\(\bullet\quad\) Từ đồ thị của \(f'(x)\) ta có \[f'(x)=-(x+2)(x)^2(x-2).\]

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra \[g'(x)=2xf'(1+x^2)=-2x(3+x^2)(1+x^2)^2(x^2-1).\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x).\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;0)\).

\(\bullet\quad\) Đây là đồ thị của hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\), đi qua điểm \(A(1;2)\) và có đỉnh \(I(2;-1)\).

\(\bullet\quad\) Từ đó suy ra

\[\begin{cases}2=a1^2+b1+c\\ -1=a2^2+b2+c\\ -\dfrac{b}{2a}=2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b+c=2\\ 4a+2b+c=-1\\ -4a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a=3\\ b=-12\\ c=11.\end{cases}\]

\(\bullet\quad\) Vậy đồ thị trên có phương trình là \(y=3x^2-12x+11\).

\(\bullet\quad\) Theo giả thiết suy ra \[f'(x-2)+2=3x^2-12x+11.\]

\(\bullet\quad\) Đặt \(t=x-2\Rightarrow x=t+2\), thu được

\[f'(t)+2=3(t+2)^2-12(t+2)+11\Leftrightarrow f'(t)=3t^2-3.\]

\(\bullet\quad\) Thay \(t\) bởi \(x\), ta được \(f'(x)=3x^2-3\).

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(f'(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\).

\(\bullet\quad\) Đây là đồ thị của hàm số bậc ba \(y=ax^3+bx^2+cx+d\), đi qua các điểm \(A(0;-2)\), \(B(2;0)\) và có hai cực trị là \(x=-1\), \(x=1\).

\(\bullet\quad\) Ta có \(y'=3ax^2+2bx+c\). Suy ra

\[\begin{cases}-2=a0^3+b0^2+c0+d\\ 0=a2^3+b2^2+c2+d\\ 3a(-1)^2+2b(-1)+c=0\\ 3a1+2b1+c=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}d=-2\\ 8a+4b+2c=2\\ 3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}d=-2\\ a=1\\ b=0\\ c=-3\end{cases}\]

\(\bullet\quad\) Vậy phương trình của đồ thị đã cho là \(y=x^3-3x-2\).

\(\bullet\quad\) Từ giả thiết suy ra \(f'(1-x)-2=x^3-3x-2\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(t=1-x\Leftrightarrow x=1-t\), thu được

\[f'(t)-2=(1-t)^3-3(1-t)-2\Leftrightarrow f'(t)=-t^3-3t^2+6t-2.\]

\(\bullet\quad\) Thay \(t\) bởi \(x\), ta được \(f'(x)=-x^3-3x^2+6x-2\).

\[f'(x)=0\Leftrightarrow -x^3-3x^2+6x-2=0\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&x=1\\ &x\approx -4{,}4\\ &x\approx 0{,}4.\end{aligned}\right.\]

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(f'(x).\)

Vậy hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\).

\(\bullet\quad\) Ta có \(g'(x)=2f(x)f'(x).\)

\(\bullet\quad\) Bảng biến thiên của hàm \(f(x)\)

\(\bullet\quad\) Do \(f(-1)=f(3)=0\) nên từ bảng biến thiên suy ra \(f(x)\leq 0,\ \forall x\in\mathrm{R}\).

\(\bullet\quad\) Suy ra dấu của \(g'(x)\) trái dấu với dấu của \(f'(x)\).

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(g'(x)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\).

Ta có \(g'(x)=f'(x)-2\). Suy ra \(g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x)=2\).

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình này có bốn nghiệm đơn

Bảng xét dấu của \(g'(x)\)

Vậy \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\subset (c;d)\).

Bảng xét dấu của \(g'(x)\)

Vậy \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((-1;0)\).

Vậy \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;4)\).

Vậy \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\).

Ta có \(g'(x)=f'(x-2)-x+1\). Suy ra \[g'(x)=0\Leftrightarrow f'(x-2)=x-1.\]

Vậy \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;2)\).

Ta có \(g'(x)=f'(x-1)+x-4\). Suy ra

Vậy \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;3)\).

Ta có \(g'(x)=f'(2x-1)-4x^2+4x-1\). Suy ra

\[g'(x)=0\Leftrightarrow x=\displaystyle\frac{a+1}{2} < -1,\ x=0,\ x=1,\ x=\displaystyle\frac{b+1}{2} > 2.\]

Bảng xét dấu của \(g'(x)\) (ta có \(g'(2)=f'(3)-9 =-6 < 0\))

Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

Ta có \(y'=3x^2-6mx+9m-6\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[y'\geqslant 0, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}3 > 0 \\ \Delta '=9m^2-27m+18\le 0 \end{cases}\Leftrightarrow 1\le m\le 2.\]

Vì \(m\) nguyên và \(m\in[0;2019]\) nên \(m=1\) hoặc \(m=2\).

Ta có \(y'=3x^2-2(m-1)x+3\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[y'\ge0,\,\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\begin{cases}a=3 > 0\\ \Delta=4(m-1)^2-36\le 0\end{cases}\Leftrightarrow m^2-2m-8\le0\Leftrightarrow-2\le m\le4.\]

Ta có \( y'=x^2-2mx+3m, \forall x\in \mathbb{R} \).

Yêu cầu bài toán tương đương với \( \Delta'=m^2-3m\leq 0\Leftrightarrow 0\leq m\leq 3 \).

Đạo hàm \(y'=3x^2-4x-(2m-5)\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \[\Leftrightarrow y'\ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 2^2+3(2m-5)\le 0\Leftrightarrow 6m-11\le 0\Leftrightarrow m\le \displaystyle\frac{11}{6}.\]

Các giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \([-10;10]\) là \(-10;-9;\ldots;2\), có \(13\) giá trị.

Ta có \( y'=x^{2}-2mx+8-2m \). Để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) thì \( y'\geq 0 \) với mọi \( x \)

\[\Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\ \Delta'\leq 0 \end{cases}\Leftrightarrow m^{2}+2m-8\leq 0\Leftrightarrow -4\leq m\leq 2.\]

Ta có \(y'=x^2-4mx+4\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[y'\ge 0,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \heva{&a>0\\&\Delta'\le 0}\Leftrightarrow \begin{cases} a=1 > 0\\ 4m^2-4\le 0\end{cases}\Leftrightarrow-1\le m\le 1.\]

Do \(m\) là số nguyên nên \(m\in \{-1;0;1\}\).

Ta có \(y'=x^2-2(m-1)x+1\).

Hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi \[y'\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases}a > 0\\ \Delta' \le 0\end{cases} \Leftrightarrow (m-1)^2-1\le 0 \Leftrightarrow 0\le m\le 2.\]

Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên \(m\in \{0;1;2\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) là \(0+1+2=3\).

Ta có \(y'=x^2-2mx+3m\).

Hàm số \(y=\displaystyle\frac{1}{3}x^3-mx^2+3mx-1\) đồng biến trên \((-\infty;+\infty )\)

\[\Leftrightarrow y'\ge 0,\ \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta'\le 0 \Leftrightarrow m^2-3m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 3.\]

Ta có \(y' = - x^2 - 2mx + \left(2m - 3\right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\ \forall x\in\mathbb{R}\)

\[\Leftrightarrow \Delta'\leq 0\Leftrightarrow m^2 + 2m - 3\leq 0\Leftrightarrow - 3\leq m\leq 1.\]

Vậy tập hợp \(S = \left[-3; 1\right]\).

Ta có \(y' = x^2 - 2(m - 1)x + 2(m - 1)\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(y' \geq 0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}\). \[\Leftrightarrow\Delta' = (m - 1)^2 - 2(m - 1) \leq 0 \Leftrightarrow (m - 1)(m - 3) \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 3.\]

Ta có \(y'=-x^2-4mx+m\), \(\Delta'=4m^2+m\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\Delta'\leq 0\Leftrightarrow 4m^2+m\leq 0\Leftrightarrow -\displaystyle\frac{1}{4}\leq m\leq 0.\]

Ta có \(y'=-3x^2-2mx+(4m+9)\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[ \Delta'\le 0 \Leftrightarrow m^2+12m+27\le 0 \Leftrightarrow -9\le m\le -3. \]

Vậy có tất cả \(7\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Ta có \(y'=-x^2+2mx+3m+2\) có biệt thức \(\Delta'=m^2+3m+2\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{cases}\Delta'\leq 0\\ a < 0\end{cases}\Leftrightarrow m^2+3m+2\leq 0\Leftrightarrow -2\leq m\leq -1.\]

Ta có \(y'=3mx^2+2mx-(m+1)\).

\(\bullet\quad\) Với \(m=0\), ta có \(y'=-1 < 0\), \(\forall x\in\mathbb{R}\). Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn) \(\Rightarrow\) nhận \(m=0\).

\(\bullet\quad\) Với \(m\neq 0\). Hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y'\leq 0\), \(\forall x\in\mathbb{R}\).

\[\Leftrightarrow \begin{cases} m < 0\\ 4m^2+3m\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} m < 0\\ -\displaystyle\frac{3}{4}\leq m\leq 0\end{cases} \Leftrightarrow -\displaystyle\frac{3}{4}\leq m < 0.\]

Vậy \(-\displaystyle\frac{3}{4}\leq m\leq 0\).

Ta có \(y'=3(m-1)x^2+6mx+4 m+4\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \Rightarrow y'=6 x+8\). Do đó hàm số không đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\(\bullet\quad\) TH2. \(m\ne 1\). Để hàm số \(y=(m-1)x^3+3mx^2+(4m+4)x+1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì

\[\begin{aligned}y' \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}a>0 \\ \Delta' \leq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m-1>0 \\ 9 m^2-3(m-1)(4 m+4) \leq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases} m>1 \\ -3 m^2+12 \leq 0\end{cases}\Leftrightarrow m \in[2;+\infty).\end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Vì \(m\in \mathbb{Z}\) và \(m\in [-2019;2019]\) nên có \(2018\) giá trị cần tìm.

Ta có \( y'=3(m-1)x^2+2(m-1)x+1 \).

Để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \) thì \( y'\geqslant 0 \;\forall x\in \mathbb{R} \).

\(\bullet\quad\) TH1. \( m=1 \) thì \( y'=1 > 0 \), suy ra \( m=1 \) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

\(\bullet\quad\) TH2. \( m\ne 1 \) thì yêu cầu bài toán tương đương với \[ \begin{cases}m-1 > 0\\ (m-1)^2-3(m-1)\leqslant 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m > 1\\ 1\leqslant m\leqslant 4.\end{cases}\]

Vì \( m \) nguyên nên \( m\in \{1;2;3;4\} \).

Ta có \(y'=3(m-7)x^2+2(m-7)x-2m\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow y'\le 0\), \(\forall x\in \mathbb{R}\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m=7\). Khi đó \(y'=-14 < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) \(\Rightarrow\) nhận \(m=7\).

\(\bullet\quad\) TH2. \(m\ne 7\). Khi đó \(y'\le 0\), \(\forall x\in \mathbb{R}\) \[\Leftrightarrow \begin{cases}a < 0\\ \Delta' \le 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m-7 < 0\\ 7m^2-56m+49\le 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m < 7\\ 1\le m \le 7\end{cases} \Leftrightarrow 1\le m < 7.\]

Vậy kết hợp \(2\) trường hợp ta được \(7\) giá trị \(m\) thỏa đề.

Ta có: \(y'=\left(m^2-2m\right)x^2+2mx+3\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m^2-2m=0 \Leftrightarrow m=0\ \vee\ m=2\).

\(\quad\,\,\,\circ\) Với \(m=0\) thì \(y'=3 > 0,\ \forall x\in\mathbb{R}\) nên hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

\(\quad\,\,\,\circ\) Với \(m=2\) thì \(y=2x^2+3x\) là hàm bậc chẵn nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\(\bullet\quad\) TH2. \(m^2-2m \neq 0\). Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned}y' \geq 0 \, , \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m^2-2m > 0\\ m^2-3(m^2-2m)\leq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m^2-2m > 0\\ -2m^2+6m \leq 0\end{cases} \Leftrightarrow m < 0\ \vee\ m \geq 3.\end{aligned}\]

Vậy \(m\le 0\) hoặc \(m\ge 3\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m-1=0 \Leftrightarrow m=1\) khi đó \(y=-2x+5\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Do đó nhận \(m=1\).

\(\bullet\quad\) TH2. \(m-1\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1\). Ta có \(y'=3(m-1)x^2+2(m-1)x-2\). Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{cases} 3(m-1) < 0 \\ (m-1)^2-3(m-1)\cdot (-2) \le 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 1 \\ -5 \le m \le 1\end{cases} \Leftrightarrow -5 \le m < 1.\]

Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m\in \{-5;-4;-3;-2;-1;0\}\).

Vậy cả \(2\) trường hợp thì ta có tất cả \(7\) giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là \(\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1\}\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1+m}{(x+1)^2}\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' > 0\Leftrightarrow 1+m > 0\Leftrightarrow m > -1. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{m^2-9}{(x+m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' < 0\Leftrightarrow m^2-9 < 0\Leftrightarrow -3 < m < 3. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{m}{2}\right\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{m^2-4}{(2x+m)^2}\).

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' > 0\Leftrightarrow m^2-4 > 0\Leftrightarrow m < -2\ \text{hoặc}\ m > 2. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{m-2}{(x+m)^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-8)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' > 0\\ (-\infty;-8)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m-2 > 0\\ -m\not\in (-\infty;-8)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m > 2\\ -m \geq -8\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m > 2\\ m \leq 8\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &2 < m \leq 8. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{3;4;5;6;7;8\}\). Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{m^2-1}{(x+m)^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty;-3)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' > 0\\ (-\infty;-3)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-1 > 0\\ -m\not\in (-\infty;-3)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}\left[\begin{aligned}&m < -1\\ &m > 1\end{aligned}\right.\\ -m \geq -3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{aligned}&m < -1\\ &m > 1\end{aligned}\right.\\ m \leq 3\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&m < -1\\ &1 < m \leq 3.\end{aligned}\right. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m\in \{2;3\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{-2m-(-m+3)}{(x-m)^2}=\dfrac{-m-3}{(x-m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (1;+\infty)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m-3 < 0\\ m\not\in (1;+\infty)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m > -3\\ m\leq 1\end{cases}\Leftrightarrow -3 < m \leq 1. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{-2;-1;0;1\}\). Vậy có 4 giá trị nguyên thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{1-2m}{(x-m)^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' > 0\\ (0;+\infty)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1-2m > 0\\ m\not\in (0;+\infty)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m < \dfrac{1}{2}\\ m\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow m\leq 0. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{m^2-4}{(x+m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((1;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (1;+\infty)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-4 < 0\\ -m \not\in (1;+\infty)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2 < m < 2\\ -m \leq 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-2 < m < 2\\ m\geq -1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-1\leq m < 2. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\).

Đạo hàm \(y'=\displaystyle\frac{2-m}{(x+2)^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' > 0\\ (0;+\infty)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow 2-m > 0\Leftrightarrow m < 2. \end{aligned}\]

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{m\}\).

Đạo hàm \(y'=\dfrac{-m+1}{(x-m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((4;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (4;+\infty)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m+1 < 0\\ m\not\in (4;+\infty)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m > 1\\ m\leq 4\end{cases}\Leftrightarrow 1 < m \leq 4. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{2;3;4\}=S\). Vậy \(P=9\).

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\dfrac{m^2-4}{(x+m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (-1;1)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-4 < 0\\ -m\not\in (-1;1)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2 < m < 2\\ \left[\begin{aligned}&-m\leq -1\\ &-m\geq 1\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-2 < m < 2\\ \left[\begin{aligned}&m\geq 1\\ &m\leq -1\end{aligned}\right.\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\left[\begin{aligned}&-2 < m\leq -1\\ &1\leq m < 2\end{aligned}\right. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{-1;1\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{m}{4}\right\}\).

Đạo hàm \(y'=\dfrac{m^2-36}{(4x+m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;4)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (0;4)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-36 < 0\\ -\dfrac{m}{4}\not\in (0;4)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-6 < m < 6\\ \left[\begin{aligned}&-\dfrac{m}{4}\leq 0\\ &-\dfrac{m}{4}\geq 4\end{aligned}\right.\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-6 < m < 6\\ \left[\begin{aligned}&m\geq 0\\ &m\leq -16\end{aligned}\right.\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &0\leq m < 6. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{0;1;2;3;4;5\}\). Vậy có 6 giá trị nguyên thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{-m\}\).

Đạo hàm \(y'=\dfrac{m^2 -4m + 3}{(x+m)^2}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;4)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' < 0\\ (-1;4)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 -4m + 3 < 0\\ -m\not\in (-1;4)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}1 < m < 3\\ -m\leq -1\ \text{hoặc}\ -m \geq 4\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1 < m < 3\\ m\geq 1\ \text{hoặc}\ m\leq -4\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & 1 < m < 3. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in \{2\}\). Vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn.

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus\{m\}\).

Đạo hàm \(y'=\dfrac{-m^2 -m + 2}{(x-m)^2}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;6)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &\begin{cases}y' > 0\\ (0;6)\subset D\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m^2 -m + 2 > 0\\ m\not\in (0;6)\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2 < m < 1\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m \geq 6\end{cases} \Leftrightarrow -2 < m \leq 0. \end{aligned}\]

Ta có \(y'=-3x^2-12x+4m-12\).

Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;-1)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned}y' \leq 0, \ \forall x \in (-\infty;-1) \Leftrightarrow\ &-3x^2 - 12x + 4m-12 \leq 0,\ \forall x \in (-\infty;-1)\\ \Leftrightarrow\ &m\leq \dfrac{3}{4}x^2+3x+3=g(x),\ \forall x \in (-\infty;-1).\end{aligned}\]

Ta có \(g'(x)=\dfrac{3}{2}x+3\). Suy ra \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=-2.\)

Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị \(m\) cần tìm là \(m \leq 0\).

Ta có \(y'=-x^2+2(m-1)x+m+3\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;3)\) khi và chỉ khi \(y'\ge 0,\forall x\in(0;3)\). Điều này tương đương với

\[\begin{aligned} &-x^2+2(m-1)x+m+3\geq 0,\ \forall x\in (0;3)\\ \Leftrightarrow\ &-x^2-2x+3+m(2x+1)\geq 0,\ \forall x\in (0;3)\\ \Leftrightarrow\ &m\geq \dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}=g(x),\ \forall x\in (0;3) \end{aligned}\]

Ta có \(g'(x)=\dfrac{(2x+2)(2x+1)-2(x^2+2x-3)}{(2x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x+8}{(2x+1)^2} > 0,\ \forall x\in (0;3).\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((0;3)\).

Từ đó suy ra \(m\geq g(3)=\dfrac{12}{7}\).

Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi \(y'\geq 0,\forall x>2\). Điều này tương đương với

\[\begin{aligned}4x(x^2-m)\geq 0,\forall x>2\Leftrightarrow\ &x^2-m\geq 0,\ \forall x>2\\ \Leftrightarrow\ &m\leq x^2=g(x),\ \forall x>2.\end{aligned}\]

Ta có \(g'(x)=2x > 0,\ \forall x > 2\) nên \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\).

Từ đó suy ra \(m\leq g(2)=4\).

Lại có \(m\) nguyên dương nên \(T=\{1;2;3;4\}\).

Do đó tổng giá trị các phần tử của \(T\) là \(10\).

Ta có \(y'=3x^2+2mx\).

Hàm số đồng biến trên \((0;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &y'\geq 0,\ \forall x > 0\Leftrightarrow 3x^2+2mx\geq 0,\ \forall x > 0\\ \Leftrightarrow\ & 3x+2m \geq 0,\ \forall x > 0\\ \Leftrightarrow\ &m\geq -\dfrac{3}{2}x=g(x),\ \forall x > 0\Rightarrow m\geq g(0)=0. \end{aligned}\]

Ta có \(y'=3x^2-6mx\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;6)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} & y'\leq 0,\ \forall x\in (0;6)\Leftrightarrow 3x^2-6mx\leq 0,\ \forall x\in (0;6)\\ \Leftrightarrow\ &x-2m\leq 0,\ \forall x\in (0;6)\Leftrightarrow m\geq \dfrac{x}{2}=g(x),\ \forall x\in (0;6)\\ \Leftrightarrow\ &m\geq g(6)=3. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Ta có \(y' = -3x^2 -6x+ 3m\).

\(\bullet\quad\) Hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 0)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &-3x^2-3x+3m \leq 0,\ \forall x \in (-\infty; 0)\\ \Leftrightarrow\ &m \leq x^2 + 2x=g(x),\ \forall x \in (-\infty; 0). \end{aligned}\]

Ta có \(g'(x)=2x+2\). Suy ra \(g'(x)=0\Leftrightarrow x=-1\).

Bảng biến thiên của \(g(x)\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là \(m\leq -1\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m=0\). Hàm số trở thành \(y=2x^2+1\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\) nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\). Do đó \(m=0\) thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) TH2. Với \(m\ne 0\). Hàm số đã cho là hàm số trùng phương với hệ số \(a=m^2 > 0\). Ta có:

\[y'=4m^2x^3-4\left(4m-1\right)x=4x\left(m^2x^2-4m+1\right).\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\geq 0,\ \forall x > 1\Leftrightarrow\ & 4x(m^2x^2-4m+1) \geq 0,\ \forall x > 1\\ \Leftrightarrow\ &m^2x^2-4m+1 \geq 0,\ \forall x > 1\\ \Leftrightarrow\ & x^2\geq \dfrac{4m-1}{m^2},\ \forall x > 1. \end{aligned}\]

Do hàm số \(g(x)=x^2\) có \(g'(x)=2x > 0,\ \forall x > 1\) nên \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\). Vậy nên từ bất phương trình trên suy ra

\[\dfrac{4m-1}{m^2} \leq g(1)=1\Leftrightarrow \dfrac{4m-1-m^2}{m^2}\leq 0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned}&m\leq 2-\sqrt{3}\quad (m\neq 0)\\ &m\geq 2+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\]

Kết hợp cả hai trường hợp, ta được \(\left[\begin{aligned}&m\leq 2-\sqrt{3}\\ &m\geq 2+\sqrt{3}.\end{aligned}\right.\)

Vì \(m\) nguyên và \(m\in(-10;10)\) nên \(m\in \left\{-9,-8,\ldots ,0,4,5,\ldots ,9\right\}\). Vậy có \(16\) giá trị thỏa mãn.

Ta có \(y'=4x^3-4(m-1)x\). Hàm số đồng biến trên khoảng \((1;3)\) \(\Leftrightarrow y'\ge 0\), \(\forall x\in (1;3)\).

Tiếp tục biến đổi, ta được

\[\begin{aligned}&4x^3-4(m-1)x\ge0,\ \forall x\in (1;3)\\ \Leftrightarrow\ &4x^3+4x\geq 4mx,\ \forall x\in (1;3)\\ \Leftrightarrow\ &x^2+1\geq m,\ \forall x\in (1;3).\end{aligned}\]

Vì hàm số \(g(x)=x^2+1\) có \(g'(x)=2x > 0,\ \forall x\in (1;3)\) nên \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\). Vậy nên bất phương trình trên tương đương

\[m\leq g(1)=2.\]

Đạo hàm \( y'=3x^2-6(2m-3)x-72m \).

Hàm số nghịch biến trên đoạn \([-2;4]\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} &3x^2-6(2m-3)x-72m \leq 0,\ \forall x \in [-2;4]\\ \Leftrightarrow\ &3x^2-12mx+18x - 72m \leq 0,\ \forall x\in [-2;4]\\ \Leftrightarrow\ & 3x^2+18x-3m(4x+24)\leq 0,\ \forall x\in [-2;4]\\ \Leftrightarrow\ & \dfrac{x^2+6x}{4x+24} \leq m, \forall x\in [-2;4]\quad (\text{do}\ 4x+24 > 0,\ \forall x\in [-2;4])\\ \Leftrightarrow\ &\dfrac{x(x+6)}{4(x+6)} \leq m,\ \forall x\in[-2;4]\\ \Leftrightarrow\ &\dfrac{x}{4}\leq m,\ forall x\in [-2;4]\\ \Leftrightarrow\ &m \geq \dfrac{4}{4}=1. \end{aligned}\]

Vậy \(m\in [1;+\infty)\).

\(\bullet\quad\) TH1. \(m=0\). Khi đó \(y=2x^2-1\), hàm số đồng biến trên \((0;+\infty)\) nên đồng biến trên \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\). Suy ra \(m=0\) nhận.

\(\bullet\quad\) TH2. \(m\neq 0\). Khi đó, hàm số đã cho là hàm trùng phương có \(y'=4mx^3+4x\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\geq 0,\ \forall x\in \left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\Leftrightarrow\ &4mx^3+4x \geq 0,\ \forall x\in \left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\ &mx^2+1\geq 0,\ \forall x\in \left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\\ \Leftrightarrow\ &m\geq -\dfrac{1}{x^2},\ \forall x\in \left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right). \end{aligned}\]

Ta có hàm \(g(x)=-\dfrac{1}{x^2}\) có \(g'(x)=\dfrac{2x}{x^4} > 0,\ \forall x\in\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) nên \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\displaystyle\frac{1}{2}\right)\). Do đó bất phương trình trên tương đương

\[m\geq g\left(\dfrac{1}{2}\right)=-4.\]

Mặt khác, do \(m\) nguyên và \(m\in (-2018;2018)\) nên \(m\in \{-4;-3;\ldots;2017\}\).

Suy ra có \(2017-(-4)+1=2022\) giá trị nguyên.

Ta có \(y'=3x^2-6(m+1)x+3m(m+2)\) có hệ số \(a > 0\) và phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_1=m,\ x_2=m+2\).

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn \([0;1]\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\leq 0,\ \forall x\in[0;1]\Leftrightarrow\ & x_1\le 0 < 1\le x_2\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\le 0\\ 1\le m+2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\le 0\\ m \ge -1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-1\le m\le 0. \end{aligned}\]

Suy ra \(S=\{-1;0\}\). Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng \(-1\).

Ta có \(y'=x^2-2mx+m^2-1\) có hệ số \(a > 0\) và phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_1=m-1\) và \(x_2=m+1\) (chú ý \(x_1 < x_2\)).

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn \([0;1]\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} x_1\leq 0 < 1 \leq x_2\Leftrightarrow\ &\begin{cases}m-1 \leq 0\\ m+1\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\leq 1\\ m\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &0\leq m\leq 1. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in\{0;1\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên.

Ta có \(y'=3x^2-6(m+2)x+3(m^2+4m)\) có hệ số \(a > 0\) và phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm \(x_1=m\), \(x_2=m+4\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;1)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} x_1\leq 0 < 1 \leq x_2\Leftrightarrow\ &\begin{cases}m \leq 0\\ m+4\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\leq 0\\ m\geq -3\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-3\leq m\leq 0. \end{aligned}\]

Vậy có 4 giá trị nguyên là \(m\in\{-3;-2;-1;0\}\).

Ta có \(y' = x^3-3mx+2 - \displaystyle\frac{4}{x^3}\). Hàm số đồng biến trên nửa khoảng \([1;+\infty)\) khi \(y' \geq 0,\ \forall x \geq 1.\) Điều này tương đương với

\[x^3-3mx+2 - \displaystyle\frac{4}{x^3} \geq 0,\ \forall x \geq 1 \Leftrightarrow x^2+\displaystyle\frac{2}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^4} \geq 3m,\ \forall x\geq 1.\]

Hàm số \(g(x)=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{4}{x^4}\) có đạo hàm \(g'(x)=2x-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{16}{x^5}=\dfrac{2}{x^2}(x^3-1)+\dfrac{16}{x^5} > 0\) với mọi \(x\geq 1\) nên \(g(x)\) đồng biến trên \([1;+\infty)\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(3m\leq g(1)=-1\Leftrightarrow m\leq -\dfrac{1}{3}\). Suy ra \(S\) có 0 phần tử.

Ta có \(y' = 3x^3-2(m-1)x+\displaystyle\frac{1}{x^5}\). Hàm số đồng biến trên nửa khoảng \((0;+\infty)\) khi \(y' \geq 0,\ \forall x > 0.\) Điều này tương đương với

\[3x^3-2(m-1)x+\displaystyle\frac{1}{x^5} \geq 0,\ \forall x > 0 \Leftrightarrow 3x^2+2 +\displaystyle\frac{1}{x^6} \geq 2m,\ \forall x > 0.\]

Ta có \[3x^2+2+\dfrac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\dfrac{1}{x^6}+2\geq 4\sqrt[4]{x^2x^2x^2\dfrac{1}{x^6}}+2=6.\]

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=\dfrac{1}{x^6}\Leftrightarrow x=1\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(2m\leq 6\Leftrightarrow m\leq 3\). Suy ra \(S=\{1;2;3\}\) có 3 phần tử.

Ta có \(y'=2m-3+(3m+1)\sin x\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\leq 0,\ \forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow\ &2m-3+(3m+1)\sin x\leq 0,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &(3m+1)\sin x\leq 3-2m,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &|3m+1|\leq 3-2m\\ \Leftrightarrow\ &-(3-2m)\leq 3m+1\leq 3-2m\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-3+2m\leq 3m+1\\ 3m+1\leq 3-2m\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq -4\\ m\leq \dfrac{2}{5}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-4\leq m\leq \dfrac{2}{5}. \end{aligned}\]

Do \(m\) nguyên nên \(m\in\{-4;-3;-2;-1;0\}\). Vậy có 5 giá trị nguyên thỏa mãn.

Ta có \( y' = (2m+3)\cos x + (2-m) \).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\geq 0,\ forall x\Leftrightarrow\ &(2m+3)\cos x + (2-m)\geq 0,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &(2m+3)\cos x\geq m-2,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &-|2m+3|\geq m-2\\ \Leftrightarrow\ &|2n+3|\leq 2-m\\ \Leftrightarrow\ &-(2-m) \leq 2m+3 \leq 2-m\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2+m\leq 2m+3\\ 2m+3\leq 2-m\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq -5\\ m\leq -\dfrac{1}{3}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-5\leq m\leq -\dfrac{1}{3}. \end{aligned}\]

Do \(m\) nguyên nên \(m\in\{-5;-4;-3;-2;-1\}\). Vậy có 5 giá trị nguyên thỏa mãn.

Ta có \(y'=(2m-1)+(3m+2)\sin x\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\leq 0,\ \forall x\Leftrightarrow\ &(2m-1)+(3m+2)\sin x\leq 0,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &(3m+2)\sin x\leq 1-2m,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &|3m+2|\leq 1-2m\\ \Leftrightarrow\ &-1+2m\leq 3m+2\leq 1-2m\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-1+2m\leq 3m+2\\ 3m+2\leq 1-2m\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq -3\\ m\leq -\dfrac{1}{5}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &-3\leq m\leq -\dfrac{1}{5}. \end{aligned}\]

Do \(m\) nguyên nên \(m\in\{-3;-2;-1\}=X\). Vậy tổng các phần tử của \(X\) bằng \(-6\).

Ta có \(y'=(m+1)\cos x+3\sin x-5\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\leq 0,\ \forall x\Leftrightarrow\ &(m+1)\cos x+3\sin x-5\leq 0,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &(m+1)\cos x+3\sin x\leq 5,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &\sqrt{(m+1)^2+3^2}\leq 5\\ \Leftrightarrow\ &(m+1)^2+9\leq 25\\ \Leftrightarrow\ &m^2+2m-15\leq 0\\ \Leftrightarrow\ &-5\leq m \leq 3. \end{aligned}\]

Do \(m\) nguyên nên \(m\in\{-5;-4;\ldots;3\}\). Vậy có \(3-(-5)+1=9\) giá trị nguyên thỏa mãn.

Ta có \(y'=3+m\cos x-m\sin x\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y'\geq 0,\ \forall x\Leftrightarrow\ &3+m\cos x-m\sin x \geq 0,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &m\sin x-m\cos x\leq 3,\ \forall x\\ \Leftrightarrow\ &\sqrt{m^2+(-m)^2}\leq 3\\ \Leftrightarrow\ &2m^2\leq 9\Leftrightarrow -\sqrt{\dfrac{9}{2}}\leq m\leq \sqrt{\dfrac{9}{2}}. \end{aligned}\]

Do \(m\) nguyên nên \(m\in\{-2;-1;0;1;2\}\). Vậy có \(5\) giá trị nguyên thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì \(\cos x\in (0;1)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho nghịch biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \((0;1)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) > 0\\ m\not\in (0;1)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m+2 > 0\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &m \leq 0\ \text{hoặc}\ 1\leq m < 2. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)\) thì \(\cos x\in \left(\dfrac{1}{2};1\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{mx+1}{x+m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{3}\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{mx+1}{x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) < 0\\ -m\not\in \left(\dfrac{1}{2};1\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m^2-1 < 0\\ -m\leq \dfrac{1}{2}\ \text{hoặc}\ -m\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-1 < m < 1\\ m\geq -\dfrac{1}{2}\ \text{hoặc}\ m\leq -1\end{cases}\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} \leq m < 1. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) thì \(\cot x\in \left(0;1\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho nghịch biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;1\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) > 0\\ m\not\in \left(0;1\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m+2 > 0\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & m\leq 0\ \text{hoặc}\ 1 \leq m < 2. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\) thì \(\sin x\in \left(0;1\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{x-m}{mx-4}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho đồng biến trên \(\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{x-m}{mx-4}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(0;1\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) < 0\\ m\not\in \left(0;1\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-4+m^2 < 0\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}-2 < m < 2\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq 1\end{cases}\Leftrightarrow -2 < m\leq 0\ \text{hoặc}\ 1 \leq m < 2. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên nên \(m\in\{-1;0;1\}\). Vậy có 3 giá trị nguyên thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) thì \(\sin x\in \left(0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\sin x\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{x-3}{x-m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho đồng biến trên \(\left(0;\dfrac{\pi}{4}\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{x-3}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) > 0\\ m\not\in \left(0;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m+3 > 0\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m < 3\\ m\leq 0\ \text{hoặc}\ m\geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}\Leftrightarrow m\leq 0\ \text{hoặc}\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq m < 3. \end{aligned}\]

Vì \(m\) nguyên dương nên \(m\in\{1;2\}\). Vậy có 2 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(-\dfrac{\pi}{4};0\right)\) thì \(\tan x\in \left(-1;0\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\tan x\) đồng biến trên khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{4};0\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho đồng biến trên \(\left(-\dfrac{\pi}{4};0\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{x-2}{x-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) > 0\\ m\not\in \left(-1;0\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-m+2 > 0\\ m\leq -1\ \text{hoặc}\ m\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & m\leq -1\ \text{hoặc}\ 0 \leq m < 2. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Với \(x\in \left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\) thì \(\cos x\in \left(-1;0\right)\).

\(\bullet\quad\) Hàm số \(u(x)=\cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\).

\(\bullet\quad\) Đặt \(f(x)=\dfrac{-x+m}{x+m}\). Ta có \(g(x)=f(u)\).

\(\bullet\quad\) Suy ra hàm số \(g(x)\) đã cho nghịch biến trên \(\left(\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)=\dfrac{-x+m}{x+m}\) nghịch biến trên khoảng \(\left(-1;0\right)\).

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x) < 0\\ -m\not\in \left(-1;0\right)\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-2m < 0\\ -m\leq -1\ \text{hoặc}\ -m\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases}m > 0\\ m\geq 1\ \text{hoặc}\ m\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow m\geq 1. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) và \(f(-1)\geq 0\).

\(\bullet\quad\) Ta có \[f(-1)\geq 0\Leftrightarrow 3+4-12+m\geq 0\Leftrightarrow m\geq 5.\]

\(\bullet\quad\) Đạo hàm \(f'(x)=12x^3-12x^2-24x=0\Leftrightarrow x=0;\ x=-1;\ x=2.\)

\(\bullet\quad\) Bảng xét dấu của \(f'(x)\)

Suy ra \(f(x)\) luôn nghịch biến trên khoảng \((-\infty;-1)\) với mọi \(m\).

Vậy giá trị \(m\) cần tìm là \(m\geq 5\).

Do \(m\) nguyên và nhỏ hơn 10 nên \(m\in\{5;6;7;8;9\}\). Tức có 5 giá trị nguyên thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=4x^3-mx+1\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\) và \(f(1)\geq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) Ta có \[f(1)\geq 0\Leftrightarrow 4-m+1\geq 0\Leftrightarrow m\leq 5.\]

\(\qquad\circ\quad\) Đạo hàm \(f'(x)=12x^2-m.\) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' \geq 0,\ \forall x\in (1;+\infty)\Leftrightarrow\ &12x^2-m\geq 0,\ \forall x > 1\\ \Leftrightarrow\ &12x^2 \geq m,\ \forall x > 1. \end{aligned}\]

Hàm số \(h(x)=12x^2\) có đạo hàm \(h'(x)=24x > 0,\ \forall x > 1\) nên \(h(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;+\infty)\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(m\leq h(1)=12\).

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\leq 5\).

\(\bullet\quad\) Vì \(m\) nguyên dương nên \(m\in\{1;2;3;4;5\}\). Vậy có 5 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=x^3-3x^2+mx\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) và \(f(2)\geq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) Ta có \[f(2)\geq 0\Leftrightarrow 8-12+2m\geq 0\Leftrightarrow m\geq 2.\]

\(\qquad\circ\quad\) Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-6x+m.\) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' \geq 0,\ \forall x\in (2;+\infty)\Leftrightarrow\ &3x^2-6x+m\geq 0,\ \forall x > 2\\ \Leftrightarrow\ &m \geq -3x^2+6x,\ \forall x > 2. \end{aligned}\]

Hàm số \(h(x)=-3x^2+6x\) có đạo hàm \(h'(x)=-6x+6=-6(x-1) < 0,\ \forall x > 2\) nên \(h(x)\) nghịch biến trên khoảng \((2;+\infty)\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(m\geq h(2)=0\).

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\geq 2\).

\(\bullet\quad\) Vậy có vô số giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=x^3-3x^2-mx\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) và \(f(2)\geq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) Ta có \[f(2)\geq 0\Leftrightarrow 8-12-2m\geq 0\Leftrightarrow m\leq -2.\]

\(\qquad\circ\quad\) Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-6x-m.\) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' \geq 0,\ \forall x\in (2;+\infty)\Leftrightarrow\ &3x^2-6x-m\geq 0,\ \forall x > 2\\ \Leftrightarrow\ &m \leq 3x^2-6x,\ \forall x > 2. \end{aligned}\]

Hàm số \(h(x)=3x^2-6x\) có đạo hàm \(h'(x)=6x-6=6(x-1) > 0,\ \forall x > 2\) nên \(h(x)\) đồng biến trên khoảng \((2;+\infty)\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(m\leq h(2)=0\).

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\leq -2\).

\(\bullet\quad\) Vậy không có giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=x^3-mx+1\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \([1;+\infty)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \([1;+\infty)\) và \(f(1)\geq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) Ta có \[f(1)\geq 0\Leftrightarrow 1-m+1\geq 0\Leftrightarrow m\leq 2.\]

\(\qquad\circ\quad\) Đạo hàm \(f'(x)=3x^2-m.\) Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \([1;+\infty)\) khi và chỉ khi

\[\begin{aligned} y' \geq 0,\ \forall x\in [1;+\infty)\Leftrightarrow\ &3x^2-m\geq 0,\ \forall x \geq 1\\ \Leftrightarrow\ &m \leq 3x^2,\ \forall x \geq 1. \end{aligned}\]

Hàm số \(h(x)=3x^2\) có đạo hàm \(h'(x)=6x > 0,\ \forall x \geq 1\) nên \(h(x)\) đồng biến trên nửa khoảng \([1;+\infty)\).

Do đó từ bất phương trình trên suy ra \(m\leq h(1)=3\).

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\leq 2\).

\(\bullet\quad\) Vì \(m\in\mathbb{N}\) nên \(m\in\{0;1;2\}\). Vậy có 3 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=x^4-2(m-1)x^2+m-2\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\geq 0\) hoặc hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\leq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) TH1. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\geq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\geq0,\ \forall x\in (1;3)\\ f(1)\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4x^3-4(m-1)x \geq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ 1-2(m-1)+m-2\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x^2-(m-1)\geq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ 1-2m+2+m-2\geq0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m\leq x^2+1,\ \forall x\in (1;3)\\ m\leq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\leq 2\\ m\leq 1\end{cases}\Leftrightarrow m\leq 1. \end{aligned}\]

\(\qquad\circ\quad\) TH2. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\leq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\leq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ f(1)\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4x^3-4(m-1)x \leq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ 1-2(m-1)+m-2\leq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x^2-(m-1)\leq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ 1-2m+2+m-2\leq0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}m\geq x^2+1,\ \forall x\in (1;3)\\ m\geq 1\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq 10\\ m\geq 1\end{cases}\Leftrightarrow m\geq 10. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\leq 1\) hoặc \(m\geq 10\).

\(\bullet\quad\) Vì \(m\in\mathbb{N^*}\) nên \(m\in\{1;10;11;\ldots;20\}\). Vậy có 12 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-(m-1)x^2-(m+3)x+4\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\geq 0\) hoặc hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\leq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) TH1. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\geq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\geq0,\ \forall x\in (1;3)\\ f(1)\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-2(m-1)x-(m+3) \geq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ \dfrac{1}{3}-(m-1)-(m+3)+4\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x^2-2mx+2x-m-3\geq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ -\dfrac{7}{3} -2m\geq 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\leq \dfrac{x^2+2x-3}{2x+1},\ \forall x\in (1;3)\\ m\leq \dfrac{7}{6}.\end{cases} \end{aligned}\]

Hàm số \(h(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{2x+1}\) có đạo hàm \(h'(x)=\dfrac{2x^2+2x+8}{(2x+1)^2} > 0\), \(\forall x\in (1;3)\) nên \(h(x)\) đồng biến trên khoảng \((1;3)\). Do đó tiếp tục biến đổi hệ trên ta được

\[\begin{cases}m\leq h(1)=0\\ m\leq \dfrac{7}{6}\end{cases}\Leftrightarrow m\leq 0.\]

\(\qquad\circ\quad\) TH2. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((1;3)\) và \(f(1)\leq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\leq0,\ \forall x\in (1;3)\\ f(1)\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-2(m-1)x-(m+3) \leq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ \dfrac{1}{3}-(m-1)-(m+3)+4\leq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}x^2-2mx+2x-m-3\leq 0,\ \forall x\in (1;3)\\ -\dfrac{7}{3} -2m\leq 0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq \dfrac{x^2+2x-3}{2x+1},\ \forall x\in (1;3)\\ m\geq \dfrac{7}{6}.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m\geq h(3)=\dfrac{12}{7}\\ m\geq \dfrac{7}{6}\end{cases}\Leftrightarrow m\geq \dfrac{12}{7}. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(m\leq 0\) hoặc \(m\geq \dfrac{12}{7}\).

\(\bullet\quad\) Vì \(m\in\mathbb{N^*}\) nên \(m\in\{-9;-8;\ldots;0;2;3;\ldots;9\}\). Vậy có 18 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

\(\bullet\quad\) Xét hàm số \(f(x)\) bên trong dấu giá trị tuyệt đối: \(f(x)=x^3 -3x^2 - 3mx - 2\).

\(\bullet\quad\) Hàm số đã cho \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-4;-1)\) khi và chỉ khi hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-4;-1)\) và \(f(-1)\leq 0\) hoặc hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-4;-1)\) và \(f(-1)\geq 0\).

\(\qquad\circ\quad\) TH1. Hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \((-4;-1)\) và \(f(-1)\leq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\geq0,\ \forall x\in (-4;-1)\\ f(-1)\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2-6x-3m \geq 0,\ \forall x\in (-4;-1)\\ -6+3m\leq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\leq x^2-2x,\ \forall x\in (-4;-1)\\ m\leq 2\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}m\leq 3\\ m\geq 2.\end{cases}\Leftrightarrow 2\leq m\leq 3. \end{aligned}\]

\(\qquad\circ\quad\) TH2. Hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \((-4;-1)\) và \(f(-1)\geq 0\)

\[\begin{aligned} \Leftrightarrow\ &\begin{cases}f'(x)\leq 0,\ \forall x\in (-4;-1)\\ f(-1)\geq 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}3x^2-6x-3m \leq 0,\ \forall x\in (-4;-1)\\ -6+3m\geq 0\end{cases}\\ \Leftrightarrow\ &\begin{cases}m\geq x^2-2x,\ \forall x\in (-4;-1)\\ m\geq 2\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases}m\geq 24\\ m\geq 2.\end{cases}\Leftrightarrow m\geq 24. \end{aligned}\]

\(\bullet\quad\) Kết hợp hai trường hợp ta được \(2\leq m\leq 3\) hoặc \(m\geq 24\).

\(\bullet\quad\) Vì \(m\) nguyên và \(m\in[-25;25]\) nên \(m\in\{2;3;24;25\}\). Vậy có 4 giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.